Equazioni differenziali - introduzione e problema di Cauchy

Lezione 45. Prerequisiti: Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integraleUna primitiva di f è una G con G' = f; due primitive differiscono per una costante, e l'integrale indefinito ∫f(x)dx = F(x) + k è l'insieme di tutte le primitive. La funzione integrale F_a(x) = ∫ da a a x di f è una primitiva di f continua (TFCI 2), e quindi ∫ da a a b di f = G(b) − G(a) per qualunque primitiva G (TFCI 1): gli integrali definiti si calcolano con le primitive.Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integrale →, Derivate successive e funzioni di classe CnLa derivata seconda è la derivata di f', la derivata n-esima è la derivata della (n−1)-esima. Se esiste f⁽ⁿ⁾(x0), allora f, f', …, f⁽ⁿ⁻¹⁾ sono continue in x0. Cⁿ(I) = funzioni derivabili n volte su I con f⁽ⁿ⁾ continua; Cⁿ ⊊ Cⁿ⁻¹ ⊊ … ⊊ C¹ ⊊ C⁰.Derivate successive e funzioni di classe Cn →.

Ultimo capitolo del corso (capitolo 1 del secondo volume del libro): le equazioni differenziali ordinarie (EDO).

Che cos'è un'equazione differenziale

• $x^2 = 5$ è un'equazione di secondo grado: l'incognita è un numero $x \in \mathbb{R}$, e le soluzioni sono due, $x = \pm\sqrt5$.
• $y'' = 5$ è un'equazione differenziale del secondo ordine: l'incognita è una funzione $y(t)$, di classe $C^2$ su un intervallo $I$, e l'equazione chiede che la sua derivata seconda valga $5$ in ogni istante.

La variabile della funzione incognita si chiama di solito $t$ (il tempo), perché le equazioni differenziali descrivono come un sistema evolve nel tempo. "Ordinaria" vuol dire che la funzione incognita dipende da una sola variabile.

Il caso più semplice: $y^{(n)} = f(t)$

Esempio 1. Trovare le soluzioni di $y'' = 5$, e poi quella con $y(1) = 1$, $y'(1) = -1$.

Se $y \in C^2(I)$ è una soluzione, $y'$ è una primitiva di $y'' = 5$, e $y$ è una primitiva di $y'$. Integrando due volte, e aggiungendo ogni volta una costante: $$y'(t) = \int 5\,dt = 5t + c_1, \qquad y(t) = \int(5t + c_1)\,dt = \frac52 t^2 + c_1 t + c_2 \qquad \forall c_1, c_2 \in \mathbb{R}$$ Le soluzioni sono infinite: una per ogni scelta delle due costanti $c_1, c_2$ (secondo ordine, due costanti).

Per la soluzione con le due condizioni si impongono una alla volta:

• $y'(1) = 5 + c_1 = -1 \Rightarrow c_1 = -6$;
• $y(1) = \frac52 - 6 + c_2 = 1 \Rightarrow c_2 = 7 - \frac52 = \frac92$.

C'è un'unica soluzione: $y(t) = \frac52 t^2 - 6t + \frac92$ per ogni $t \in \mathbb{R}$. (Controllo: $y'' = 5$, $y(1) = \frac52 - 6 + \frac92 = 1$, $y'(1) = 5 - 6 = -1$ ✓.)

Metodo risolvente per $y^{(n)} = f(t)$, con $f$ continua: si integra $n$ volte, aggiungendo ogni volta una costante.

• $y' = f(t)$: $y(t) = F(t) + c_1$, con $F$ una primitiva di $f$;
• $y'' = f(t)$: $y'(t) = F(t) + c_1$, quindi $y(t) = \int F(t)\,dt + c_1 t + c_2$;
• $y^{(n)} = f(t)$: $n$ integrazioni, $n$ costanti $c_1, \dots, c_n$.

A che cosa servono: due modelli

Le equazioni differenziali sono il linguaggio dei modelli matematici di fenomeni fisici, biologici, economici, statistici. Di solito sono più complicate dell'esempio 1, perché la derivata dipende anche dalla funzione stessa.

Esempio 2 (modello di crescita di Malthus). $y(t)$ è il numero di abitanti di una popolazione all'istante $t$, e $a \in \mathbb{R}$ il tasso di crescita (nati meno morti, per abitante e per unità di tempo). La popolazione cresce tanto più in fretta quanto più è numerosa: $$y' = a\,y$$ Problema: con $a = 3$ e $50$ abitanti all'inizio, quanti abitanti ci saranno dopo $100$ anni? La soluzione è nella nota Equazioni differenziali lineari del primo ordiney' + a(t)y = b(t) con a, b continue su un intervallo I. Le soluzioni sono definite su tutto I e il problema di Cauchy ha una sola soluzione. Integrale generale: y = e^(−A(t))[c + ∫e^(A(t)) b(t) dt], con A primitiva di a; per l'omogenea (b = 0) y = c e^(−A(t)). Soluzione del problema con y(t0) = x0: stessa formula con A(t) = ∫ da t0 a t di a(s) ds e integrale da t0 a t. Si dimostra moltiplicando per e^(A(t)).Equazioni differenziali lineari del primo ordine →.

Esempio 3 (oscillatore armonico smorzato). Un punto materiale di massa $m > 0$ si muove senza attrito su una guida rettilinea, attaccato a una molla di costante elastica $h > 0$ e frenato da una resistenza viscosa di costante $k > 0$. Se $y(t)$ è la posizione, $y'(t)$ la velocità e $y''(t)$ l'accelerazione, la legge di Newton $F = ma$ dà $$m\,y''(t) = -h\,y(t) - k\,y'(t) \quad\Longrightarrow\quad y'' = -\frac hm\,y - \frac km\,y'$$ (la forza elastica $-hy$ riporta verso l'origine, quella viscosa $-ky'$ si oppone alla velocità; si è diviso per $m > 0$). Si risolve con il metodo delle Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneoPer y'' + a1 y' + a0 y = 0 con a0, a1 costanti si cercano soluzioni e^(λt): funzionano se λ è radice del polinomio caratteristico p(λ) = λ² + a1 λ + a0. Δ > 0 (radici λ1 ≠ λ2): y = c1 e^(λ1 t) + c2 e^(λ2 t). Δ = 0 (radice doppia λ): y = (c1 + c2 t) e^(λt). Δ < 0 (radici α ± iω): y = e^(αt)(c1 cos ωt + c2 sin ωt). Lo stesso metodo vale per ogni ordine.Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneo → (lezione 46).

Nel corso si vedono metodi risolventi solo per alcune classi di equazioni del primo e del secondo ordine, le più usate nelle applicazioni.

Definizione

Un'equazione differenziale ordinaria è

• del primo ordine: $y' = f(t, y)$;
• del secondo ordine: $y'' = f(t, y, y')$;
• di ordine $n$: $y^{(n)} = f(t, y, y', \dots, y^{(n-1)})$.

L'integrale generale di un'equazione di ordine $n$ è l'insieme delle sue soluzioni: le funzioni $y \in C^n(I)$, con $I$ intervallo, tali che $$y^{(n)}(t) = f\big(t, y(t), y'(t), \dots, y^{(n-1)}(t)\big) \qquad \forall t \in I$$

L'ordine è quello della derivata più alta che compare.

Le soluzioni sono sempre definite su un intervallo. Se una formula ha senso su un insieme che non è un intervallo (per esempio $t \ne 0$), si sceglie l'intervallo che serve, di solito quello che contiene l'istante iniziale.

Il problema di Cauchy

Primo ordine

Dati un istante $t_0 \in \mathbb{R}$ e un valore $x_0 \in \mathbb{R}$ (la condizione iniziale), il problema di Cauchy $$\begin{cases} y' = f(t, y) \\ y(t_0) = x_0 \end{cases}$$ chiede di trovare $y \in C^1(I)$, con $I$ intervallo contenente $t_0$, che risolve l'equazione e ha $y(t_0) = x_0$.

Il più grande intervallo $I$ contenente $t_0$ su cui è definita la soluzione si chiama intervallo massimale di definizione della soluzione.

L'idea: l'equazione dice come la funzione cambia (la pendenza in ogni punto), la condizione iniziale dice da dove parte. Sotto opportune ipotesi su $f$ la soluzione del problema di Cauchy è unica.

Secondo ordine

Date due condizioni iniziali $x_0, x_1 \in \mathbb{R}$ in un istante $t_0$, il problema di Cauchy $$\begin{cases} y'' = f(t, y, y') \\ y(t_0) = x_0 \\ y'(t_0) = x_1 \end{cases}$$ chiede di trovare $y \in C^2(I)$, con $I$ intervallo contenente $t_0$, che risolve l'equazione e le due condizioni.

Per un'equazione del secondo ordine servono posizione e velocità iniziali (nell'esempio 1, $y(1)$ e $y'(1)$): l'integrale generale dipende da due costanti, e servono due condizioni per fissarle. Anche qui si definisce l'intervallo massimale, e sotto opportune ipotesi su $f$ la soluzione è unica.

Errori comuni

• Dimenticare le costanti quando si integra: si trova una sola soluzione invece dell'integrale generale.
• Prendere come dominio della soluzione un insieme che non è un intervallo.
• Per il secondo ordine dare una sola condizione iniziale: il problema di Cauchy ne richiede due, $y(t_0)$ e $y'(t_0)$.