Esercizio 85studio di arcsin(modulo di x-1 su x+3) fino alla derivata seconda

Testo (Lezione 30, esercizio 1 del foglio 19-21/11). Studiare, fino alla derivata seconda, $$f(x) = \arcsin\left(\frac{|x - 1|}{x + 3}\right)$$

Teoria: Studio di funzioneLo schema dello studio di funzione: (a) dominio, simmetrie, periodicità, segno; (b) limiti alla frontiera, asintoti, prolungamenti; (c) f': monotonia, massimi e minimi, inf e sup, derivabilità (limiti di f' nei punti delicati); (d) f'': convessità e flessi. I limiti di f' si calcolano dove f è continua ma f' non è definita, negli estremi del dominio e dove f ha un limite finito senza essere definita: danno la pendenza con cui il grafico arriva.Studio di funzione →, Teorema del limite della derivataSe f è continua in x0 e derivabile vicino a x0, la derivata destra (sinistra) in x0 è il limite destro (sinistro) di f'. Quindi f è derivabile in x0 se e solo se i due limiti di f' esistono e coincidono, finiti. Senza continuità il risultato è falso; se i limiti di f' non esistono si torna al rapporto incrementale (esempio x² sin(1/x)). Funzioni di classe C⁰ e C¹.Teorema del limite della derivata →, Funzioni convesse, concave e punti di flessof è convessa se ogni corda sta sopra il grafico (concava se sta sotto). Una funzione convessa è continua e ha derivate destra e sinistra in ogni punto interno. Per f derivabile: convessa ⇔ grafico sopra ogni tangente ⇔ f' crescente ⇔ (se esiste) f'' ≥ 0. f'' > 0 ⇒ strettamente convessa, non viceversa (x⁴). Flesso: punto in cui f passa da convessa a concava; lì, se esiste, f''(x0) = 0, ma non basta (x⁴ in 0).Funzioni convesse, concave e punti di flesso →, Funzioni trigonometriche e loro inverseSeno, coseno e tangente definiti sulla circonferenza goniometrica (angoli in radianti), le loro proprietà e le inverse arcoseno, arcocoseno e arcotangente; come risolvere a sin t + b cos t ≥ c.Funzioni trigonometriche e loro inverse →.

(a) Dominio, simmetrie, segno

Dominio

L'arcoseno vuole l'argomento in $[-1, 1]$ (e $x \ne -3$ per il denominatore): $$-1 \le \frac{|x - 1|}{x + 3} \le 1 \iff \left|\frac{|x - 1|}{x + 3}\right| \le 1$$ Siccome $\frac{|x - 1|}{|x + 3|} = \left|\frac{x - 1}{x + 3}\right|$ (il modulo di un quoziente è il quoziente dei moduli), la condizione diventa $$\left|\frac{x - 1}{x + 3}\right| \le 1 \iff -1 \le \frac{x - 1}{x + 3} \le 1$$ È un sistema di due disequazioni. Si porta tutto a primo membro: $$\begin{cases} \dfrac{x - 1}{x + 3} + 1 \ge 0 \\[3mm] \dfrac{x - 1}{x + 3} - 1 \le 0 \end{cases} \iff \begin{cases} \dfrac{x - 1 + x + 3}{x + 3} = \dfrac{2(x + 1)}{x + 3} \ge 0 \\[3mm] \dfrac{x - 1 - x - 3}{x + 3} = \dfrac{-4}{x + 3} \le 0 \end{cases}$$

• La seconda: $\frac{-4}{x + 3} \le 0 \iff x + 3 > 0 \iff x > -3$.
• Con $x + 3 > 0$, la prima si riduce a $x + 1 \ge 0$, cioè $x \ge -1$.

Dominio $= [-1, +\infty[$.

Simmetrie e segno

• Il dominio non è simmetrico: nessuna simmetria.
• L'arcoseno ha il segno del suo argomento, e $\frac{|x - 1|}{x + 3} \ge 0$ nel dominio (sopra un modulo, sotto $x + 3 > 0$). Quindi $f(x) \ge 0$, e più precisamente $f(x) > 0$ per $x \ne 1$, $f(1) = \arcsin 0 = 0$.

Valori utili

$f(-1) = \arcsin\frac{|-2|}{2} = \arcsin 1 = \frac\pi2$, e $f(1) = 0$.

(b) Limiti alla frontiera e asintoti

La frontiera è $-1$ (che appartiene al dominio: si è già calcolato $f(-1)$) e $+\infty$.

Togliere il modulo. $|x - 1| = x - 1$ se $x \ge 1$, e $= -(x - 1)$ se $x < 1$. Quindi $$f(x) = \begin{cases} \arcsin\left(-\dfrac{x - 1}{x + 3}\right) = -\arcsin\left(\dfrac{x - 1}{x + 3}\right) & -1 \le x < 1 \\[3mm] \arcsin\left(\dfrac{x - 1}{x + 3}\right) & x \ge 1 \end{cases}$$ (nel primo tratto si è usato che l'[[Funzioni trigonometriche e loro inverse|arcoseno è dispari|arcsin(−u) = −arcsin(u) per ogni u in [−1, 1]: il grafico è simmetrico rispetto all'origine.]]).

A $+\infty$. Si usa il secondo tratto: $\frac{x - 1}{x + 3} \to 1$ (rapporto dei termini dominanti), e l'arcoseno è continuo in $1$: $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \arcsin 1 = \frac\pi2$$ $y = \frac\pi2$ è asintoto orizzontale a $+\infty$.

(c) Derivata prima

Si deriva la forma a tratti, solo nei punti interni di ogni tratto: $-1 < x < 1$ e $x > 1$. In $x = -1$ (estremo) e in $x = 1$ (raccordo) la derivabilità si studia a parte.

Calcolo per $x > 1$

Con $D\arcsin u = \frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$ e $u = \frac{x - 1}{x + 3}$, $u' = \frac{(x + 3) - (x - 1)}{(x + 3)^2} = \frac{4}{(x + 3)^2}$: $$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{(x - 1)^2}{(x + 3)^2}}}\cdot\frac{4}{(x + 3)^2}$$ La radice, a denominatore comune: $$\sqrt{\frac{(x + 3)^2 - (x - 1)^2}{(x + 3)^2}} = \frac{\sqrt{x^2 + 6x + 9 - x^2 + 2x - 1}}{x + 3} = \frac{\sqrt{8x + 8}}{x + 3}$$ (si è tolto il modulo da $\sqrt{(x + 3)^2} = |x + 3| = x + 3$ perché nel dominio $x + 3 > 0$). Quindi, con $\sqrt{8x + 8} = 2\sqrt2\sqrt{x + 1}$: $$f'(x) = \frac{x + 3}{2\sqrt2\sqrt{x + 1}}\cdot\frac{4}{(x + 3)^2} = \frac{4}{2\sqrt2\,\sqrt{x + 1}\,(x + 3)} = \frac{\sqrt2}{\sqrt{x + 1}\,(x + 3)}$$ (con $\frac{4}{2\sqrt2} = \frac{2}{\sqrt2} = \sqrt2$).

Per $-1 < x < 1$

Lì $f = -\arcsin\frac{x - 1}{x + 3}$: è l'opposto della stessa funzione, quindi la derivata è l'opposta.

$$f'(x) = \begin{cases} -\dfrac{\sqrt2}{\sqrt{x + 1}\,(x + 3)} & -1 < x < 1 \\[3mm] \dfrac{\sqrt2}{\sqrt{x + 1}\,(x + 3)} & x > 1 \end{cases}$$

Segno e monotonia

La frazione $\frac{\sqrt2}{\sqrt{x + 1}(x + 3)}$ è sempre positiva nel dominio. Quindi $f' < 0$ per $-1 < x < 1$ e $f' > 0$ per $x > 1$.

$$\begin{array}{c|ccccc} x & -1 & & 1 & & +\infty \\ \hline f' & & - & \nexists & + & \\ f & \tfrac\pi2 & \searrow & 0 & \nearrow & \to \tfrac\pi2 \end{array}$$

• $f$ strettamente decrescente in $[-1, 1]$, strettamente crescente in $[1, +\infty[$;
• in $x = -1$ c'è il massimo assoluto $\frac\pi2$ (è il valore più alto: a destra $f$ scende, e a $+\infty$ risale verso $\frac\pi2$ senza raggiungerlo, perché $\arcsin u = \frac\pi2$ solo per $u = 1$, e $\frac{x - 1}{x + 3} < 1$);
• in $x = 1$ c'è il minimo assoluto $0$.

Derivabilità: limiti di $f'$ in $-1^+$, $1^-$, $1^+$

In $-1^+$ ($f$ è definita solo a destra di $-1$: caso 2 dello studio di funzione): $$\lim_{x \to -1^+} f'(x) = \lim_{x \to -1^+}\left(-\frac{\sqrt2}{\sqrt{x + 1}\,(x + 3)}\right) = -\frac{\sqrt2}{0^+\cdot 2} = -\infty = f'(-1^+)$$ Il grafico parte da $\left(-1, \frac\pi2\right)$ con tangente verticale.

In $1$ ($f$ è continua in $1$: caso 1): $$\lim_{x \to 1^-} f'(x) = -\frac{\sqrt2}{\sqrt2\cdot 4} = -\frac14 = f'(1^-), \qquad \lim_{x \to 1^+} f'(x) = +\frac14 = f'(1^+)$$ Derivate destra e sinistra finite e diverse: $f$ non è derivabile in $x = 1$, che è un punto angoloso.

(d) Derivata seconda

Calcolo per $x > 1$

$f'(x) = \sqrt2\,\big[\sqrt{x + 1}\,(x + 3)\big]^{-1}$. La derivata del prodotto al denominatore è $$D\big[\sqrt{x + 1}\,(x + 3)\big] = \frac{x + 3}{2\sqrt{x + 1}} + \sqrt{x + 1} = \frac{(x + 3) + 2(x + 1)}{2\sqrt{x + 1}} = \frac{3x + 5}{2\sqrt{x + 1}}$$ e con $D\frac1g = -\frac{g'}{g^2}$: $$f''(x) = -\sqrt2\,\frac{\frac{3x + 5}{2\sqrt{x + 1}}}{(x + 1)(x + 3)^2} = -\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{3x + 5}{(x + 1)^{3/2}(x + 3)^2}$$ (con $\sqrt{x + 1}\cdot(x + 1) = (x + 1)^{3/2}$).

Per $-1 < x < 1$ il segno opposto

$$f''(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{3x + 5}{(x + 1)^{3/2}(x + 3)^2} & -1 < x < 1 \\[3mm] -\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{3x + 5}{(x + 1)^{3/2}(x + 3)^2} & x > 1 \end{cases}$$

Segno

Il denominatore è positivo, e $3x + 5 > 0 \iff x > -\frac53$: nel dominio ($x \ge -1 > -\frac53$) è sempre positivo. Quindi:

• $-1 < x < 1$: $f'' > 0$, $f$ convessa;
• $x > 1$: $f'' < 0$, $f$ concava.

In $x = 1$ la funzione è continua e passa da convessa a concava: $x = 1$ è un punto di flesso (e insieme un punto angoloso: la definizione di flesso non richiede la derivabilità).

Verifica (con Python): derivate prima e seconda calcolate simbolicamente coincidono con quelle sopra ✓.

Grafico

Parte da $\left(-1, \frac\pi2\right)$ con tangente verticale, scende convessa fino al punto $(1, 0)$, dove arriva con pendenza $-\frac14$; riparte con pendenza $\frac14$, concava, e sale verso l'asintoto $y = \frac\pi2$. (Nel grafico l'arcoseno è riscritto come $\arctan\frac{|x - 1|}{\sqrt{8(x + 1)}}$, che per $x > -1$ è la stessa funzione.)

Errori comuni

• Derivare $\frac{|x - 1|}{x + 3}$ senza togliere il modulo, o derivare anche in $x = 1$.
• Scrivere $\sqrt{(x + 3)^2} = x + 3$ senza giustificarlo: è vero solo perché nel dominio $x + 3 > 0$.
• Dire che in $x = 1$ non può esserci un flesso perché $f$ non è derivabile: il flesso è un cambio di convessità, la derivabilità non serve.