Equazioni lineari a coefficienti costanti - equazione completa

In questa pagina 6

Lezioni 47-48. Prerequisiti: Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneo, Equazioni differenziali lineari del secondo ordine (struttura dell'integrale generale della completa).

Che cosa resta da fare

Per l'equazione completa $y'' + a_1\,y' + a_0\,y = b(t), \qquad a_0, a_1 \in \mathbb{R} \tag{$E_c$}$ l'integrale generale è $y(t) = y_0(t) + y_p(t)$ dove $y_0$ è l'integrale generale dell'omogenea (che si trova con il polinomio caratteristico) e $y_p$ è una soluzione particolare di $(E_c)$ . Resta da trovare solo $y_p$ .

Lo si sa fare quando $b(t)$ è un polinomio, un esponenziale, un seno o un coseno, oppure un prodotto (o una somma) di queste funzioni: $b(t) = Q_m(t), \qquad e^{\alpha t}, \qquad \cos(\omega t),\ \sin(\omega t)$ con $Q_m(t) = b_0 + b_1 t + \dots + b_m t^m$ ( $b_m \ne 0$ ) polinomio di grado $m$ .

Il metodo di somiglianza

L'idea: se $b(t)$ è di un certo tipo, si cerca $y_p$ dello stesso tipo, con coefficienti incogniti, e li si trova sostituendo nell'equazione. Funziona perché derivando un polinomio per un esponenziale per un seno/coseno si ottiene ancora una funzione dello stesso tipo.

Metodo. Sia $b(t) = Q_m(t)\,e^{\alpha t}\cos(\omega t)$ (oppure con $\sin(\omega t)$ ), con $Q_m$ polinomio di grado $m$ , $\alpha \in \mathbb{R}$ , $\omega \ge 0$ . Si considera il numero (eventualmente complesso) $\bar\lambda = \alpha + i\omega$ e lo si confronta con le radici del polinomio caratteristico $p(\lambda) = \lambda^2 + a_1\lambda + a_0$ .

$p(\bar\lambda) \ne 0$ ( $\bar\lambda$ non è una radice): una soluzione particolare è $y_p^1(t) = e^{\alpha t}\left(Q_m^1(t)\cos(\omega t) + Q_m^2(t)\sin(\omega t)\right)$ con $Q_m^1(t) = A_0 + A_1 t + \dots + A_m t^m$ e $Q_m^2(t) = B_0 + B_1 t + \dots + B_m t^m$ polinomi di grado $m$ i cui coefficienti si trovano sostituendo $y_p^1$ nell'equazione.

$\bar\lambda$ è una radice semplice (di molteplicità $1$ ) di $p$ : $y_p(t) = t\cdot y_p^1(t)$ .

$\bar\lambda$ è una radice doppia di $p$ (succede solo con $\Delta = 0$ e $\bar\lambda$ reale): $y_p(t) = t^2\cdot y_p^1(t)$ .

Nei casi 2 e 3 si parla di fenomeno della risonanza.

Attenzione: anche se in $b(t)$ compare solo il coseno (o solo il seno), in $y_p$ vanno messi entrambi, perché derivando l'uno si ottiene l'altro.

Perché si moltiplica per $t$ . Se $\bar\lambda$ è una radice, la funzione $y_p^1$ del caso 1 risolve l'omogenea: sostituita nell'equazione dà $0$ , non $b(t)$ , e nessuna scelta dei coefficienti funziona. Moltiplicando per $t$ (o $t^2$ ) si esce dalle soluzioni dell'omogenea, come nel caso $\Delta = 0$ dell'omogenea, dove la seconda soluzione è $t\,e^{\lambda t}$ .

I casi particolari più frequenti

$b(t)$	$\bar\lambda$	$y_p^1$ (senza risonanza)
$Q_m(t)$ (polinomio)	$0$	$A_0 + A_1 t + \dots + A_m t^m$
$Q_m(t)\,e^{\alpha t}$	$\alpha$	$(A_0 + A_1 t + \dots + A_m t^m)\,e^{\alpha t}$
$b\cos(\omega t)$ o $b\sin(\omega t)$	$i\omega$	$A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)$
$b\,e^{\alpha t}\cos(\omega t)$	$\alpha + i\omega$	$e^{\alpha t}\left(A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)\right)$

Per un polinomio, $b(t) = Q_m(t) = Q_m(t)\,e^{0t}\cos(0t)$ : quindi $\alpha = 0$ , $\omega = 0$ , $\bar\lambda = 0$ , e c'è risonanza quando $0$ è radice di $p$ , cioè quando $a_0 = 0$ (manca il termine in $y$ ).

Come si trovano i coefficienti. Si calcolano $y_p'$ e $y_p''$ , si sostituisce nell'equazione e si uguagliano i coefficienti delle stesse potenze di $t$ (principio di identità dei polinomi), oppure di $\cos(\omega t)$ e $\sin(\omega t)$ (vale un principio di identità anche per queste combinazioni). Esempi: Esercizio 165 · y'' - 4y' + 4y = 1 + t² con condizioni iniziali, Esercizio 167 · oscillatore armonico forzato e risonanza.

La risonanza nell'oscillatore forzato

Per $y'' + h\,y = 2\cos(2t)$ , con $h > 0$ (un punto attaccato a una molla, senza attrito, spinto da una forza esterna periodica), le radici del polinomio caratteristico sono $\pm i\sqrt h$ e $\bar\lambda = 2i$ :

se $h \ne 4$ (la frequenza della forza è diversa da quella propria della molla) la soluzione particolare è $\frac{2}{h - 4}\cos(2t)$ , limitata;
se $h = 4$ (stessa frequenza) c'è risonanza: $y_p = \frac12 t\sin(2t)$ , che oscilla con ampiezza che cresce senza limite.

Da qui il nome: una forza limitata, con la frequenza "giusta", produce oscillazioni sempre più ampie. Dettagli nell'Esercizio 167 · oscillatore armonico forzato e risonanza.

Grafico interattivo: Risonanza: y = (1/2) t sin(2t) oscilla con ampiezza crescente

Principio di sovrapposizione (lezione 48)

Se $b(t) = b_1(t) + b_2(t)$ , l'integrale generale di $y'' + a_1 y' + a_0 y = b_1(t) + b_2(t)$ è $y(t) = y_0(t) + y_{p_1}(t) + y_{p_2}(t)$ dove $y_0$ è l'integrale generale dell'omogenea, $y_{p_1}$ una soluzione particolare di $y'' + a_1 y' + a_0 y = b_1(t)$ e $y_{p_2}$ una di $y'' + a_1 y' + a_0 y = b_2(t)$ .

Così si tratta un termine noto alla volta, ciascuno con il suo $\bar\lambda$ (uno può dare risonanza e l'altro no).

Dimostrazione (non richiesta). Si sostituisce $y = y_0 + y_{p_1} + y_{p_2}$ e si raggruppa: $y'' + a_1 y' + a_0 y = \underbrace{(y_0'' + a_1 y_0' + a_0 y_0)}_{0} + \underbrace{(y_{p_1}'' + a_1 y_{p_1}' + a_0 y_{p_1})}_{b_1(t)} + \underbrace{(y_{p_2}'' + a_1 y_{p_2}' + a_0 y_{p_2})}_{b_2(t)} = b_1(t) + b_2(t)$ Quindi $y$ è soluzione; e $y_{p_1} + y_{p_2}$ è una soluzione particolare, per cui per la struttura dell'integrale generale della completa si ottengono tutte le soluzioni ∎.

Il metodo vale per ogni ordine

Per equazioni lineari a coefficienti costanti di ordine $n$ il metodo è lo stesso: si guarda se $\bar\lambda$ è radice del polinomio caratteristico e con quale molteplicità $k$ , e si moltiplica $y_p^1$ per $t^k$ .

Errori comuni

Mettere in $y_p$ solo il coseno quando $b(t)$ contiene solo il coseno: servono sia $A\cos$ sia $B\sin$ .
Dimenticare la risonanza: prima di scrivere $y_p$ si controlla sempre se $\bar\lambda$ è radice di $p$ .
Per un polinomio di grado $m$ usare un polinomio di grado più basso: per $b(t) = 1 + t^2$ serve $A + Bt + Ct^2$ anche se manca il termine in $t$ .
Imporre le condizioni iniziali su $y_0$ invece che su $y_0 + y_p$ .