Esercizio 79x² sin(1/x) e modulo di x alla a per sin(1/x)

Testo (Lezione 27, esercizi 11 e 13 del foglio).

11. La funzione $f(x) = \begin{cases} x^2\sin\frac1x & x \ne 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$ (a) è derivabile in $x = 0$? (b) In caso affermativo, $f'$ è continua in $x = 0$?

12. Determinare per quali $a > 0$ la funzione $f(x) = \begin{cases} |x|^a\sin\frac1x & x \ne 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$ (i) è continua in $x = 0$; (ii) è derivabile in $x = 0$; (iii) è di classe $C^1(\mathbb{R})$.

Teoria: Teorema del limite della derivataSe f è continua in x0 e derivabile vicino a x0, la derivata destra (sinistra) in x0 è il limite destro (sinistro) di f'. Quindi f è derivabile in x0 se e solo se i due limiti di f' esistono e coincidono, finiti. Senza continuità il risultato è falso; se i limiti di f' non esistono si torna al rapporto incrementale (esempio x² sin(1/x)). Funzioni di classe C⁰ e C¹.Teorema del limite della derivata → (osservazione 2 e classe $C^1$), Derivata - definizione e significatoLa derivata è il limite del rapporto incrementale; geometricamente è la pendenza della retta tangente. f è derivabile in x0 se e solo se f(x) = f(x0) + f'(x0)(x − x0) + o(x − x0); derivabile implica continua, non viceversa. Derivata destra e sinistra, punti angolosi, flessi a tangente verticale, cuspidi.Derivata - definizione e significato →.

11.

(a) Derivabilità in $0$

Prima la continuità (una funzione non continua non può essere derivabile). Serve $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0$: $$\lim_{x \to 0} x^2\sin\frac1x = 0$$ perché è un infinitesimo per una funzione limitataSe g tende a 0 e h è limitata vicino al punto, allora il prodotto g·h tende a 0. Qui g = x² e h = sin(1/x), che sta tra -1 e 1.Teoremi sui limiti di funzioni →: $x^2 \to 0$ e $\left|\sin\frac1x\right| \le 1$. Quindi $f$ è continua in $0$.

Poi il rapporto incrementale. Non si può usare il limite di $f'$ (si vedrà al punto (b) che non esiste), quindi si va con la definizione: $$f'(0) = \lim_{x \to 0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0}\frac{x^2\sin\frac1x}{x} = \lim_{x \to 0} x\sin\frac1x = 0$$ di nuovo infinitesimo ($x$) per limitata ($\sin\frac1x$). Quindi $f$ è derivabile in $0$ e $f'(0) = 0$.

(b) Continuità di $f'$ in $0$

Per $x \ne 0$ si deriva con le regole (prodotto e catena, $D\frac1x = -\frac{1}{x^2}$): $$f'(x) = 2x\sin\frac1x + x^2\cos\frac1x\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right) = 2x\sin\frac1x - \cos\frac1x$$ $f'$ è continua in $0$ se e solo se $\lim_{x \to 0} f'(x) = f'(0) = 0$. Il primo addendo tende a $0$ (infinitesimo per limitata), ma il secondo, $\cos\frac1x$, non ha limite. Per dimostrarlo bastano due successioni che tendono a $0$ su cui $f'$ ha limiti diversi (criterio di non esistenzaSe esistono due successioni che tendono al punto su cui la funzione ha limiti diversi, il limite della funzione non esiste. Segue dal teorema ponte.):

• $x_n = \frac{1}{2n\pi} \to 0$: $\sin(2n\pi) = 0$, $\cos(2n\pi) = 1$, quindi $f'(x_n) = 0 - 1 = -1$;
• $y_n = \frac{1}{(2n + 1)\pi} \to 0$: $\sin((2n + 1)\pi) = 0$, $\cos((2n + 1)\pi) = -1$, quindi $f'(y_n) = 0 + 1 = 1$.

$-1 \ne 1$: $\lim_{x \to 0} f'(x)$ non esiste.

Conclusione: $f$ è derivabile in $x = 0$, ma $f'$ non è continua in $x = 0$. Quindi $f$ è derivabile su tutto $\mathbb{R}$ ma non è di classe $C^1(\mathbb{R})$.

Il significato. Il grafico sta tra le parabole $y = x^2$ e $y = -x^2$ e oscilla sempre più fitto vicino a $0$. Le oscillazioni si schiacciano abbastanza in fretta da dare una tangente orizzontale in $0$, ma le pendenze delle oscillazioni (i valori di $f'$) continuano a variare tra circa $-1$ e $1$.

13.

(i) Continuità

$\lim_{x \to 0}|x|^a\sin\frac1x = 0 = f(0)$ per ogni $a > 0$: $|x|^a \to 0$ perché l'esponente è positivo, e $\sin\frac1x$ è limitata. $f$ è continua in $0$ per ogni $a > 0$.

(ii) Derivabilità

Serve $$f'(0) = \lim_{x \to 0}\frac{|x|^a\sin\frac1x}{x} \in \mathbb{R}$$

Un risparmio con la simmetria. $|x|^a$ è pari e $\sin\frac1x$ è dispari, quindi $f$ è dispari. Allora il rapporto incrementale in $0$, $\frac{f(x)}{x}$, è pari (dispari diviso dispari), e il suo limite da sinistra è uguale a quello da destra: $f'(0^-) = f'(0^+)$. Basta calcolare quello destro, dove $|x| = x$: $$f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+}\frac{x^a\sin\frac1x}{x} = \lim_{x \to 0^+} x^{a - 1}\sin\frac1x$$

• $a > 1$: $x^{a-1} \to 0$ (esponente positivo), per limitata: il limite è $0$.
• $a = 1$: resta $\sin\frac1x$, che non ha limite (come $\cos\frac1x$ sopra: su $\frac{1}{2n\pi}$ vale $0$, su $\frac{1}{2n\pi + \pi/2}$ vale $1$).
• $0 < a < 1$: $x^{a - 1} = \frac{1}{x^{1 - a}} \to +\infty$, moltiplicato per una funzione che oscilla tra $-1$ e $1$: sulle stesse due successioni vale $0$ e $\to +\infty$, quindi non ha limite.

$f$ è derivabile in $0$ se e solo se $a > 1$, e allora $f'(0) = 0$.

(iii) Classe $C^1(\mathbb{R})$

Per $x \ne 0$ la funzione è composta da funzioni elementari, quindi derivabile con derivata continua: $$f'(x) = \begin{cases} a x^{a-1}\sin\frac1x + x^a\cos\frac1x\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right) = a x^{a-1}\sin\frac1x - x^{a-2}\cos\frac1x & x > 0 \\[2mm] -a(-x)^{a-1}\sin\frac1x - (-x)^{a-2}\cos\frac1x & x < 0 \end{cases}$$ (per $x < 0$ si usa $|x| = -x$ e $D(-x)^a = -a(-x)^{a-1}$).

Quindi $f \in C^1(\mathbb{R})$ se e solo se $f$ è derivabile in $0$ (cioè $a > 1$) e $f'$ è continua in $0$, cioè $\lim_{x \to 0} f'(x) = f'(0) = 0$. Anche $f'$ è pari (derivata di una funzione dispari), quindi basta il limite da destra. Con $a > 1$: $$\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+}\Big[\underbrace{a x^{a-1}\sin\tfrac1x}_{\to 0 \text{ perché } a > 1} - x^{a-2}\cos\frac1x\Big]$$ Tutto dipende dal secondo addendo:

• $a > 2$: $x^{a-2} \to 0$, per limitata: il limite è $0 = f'(0)$, quindi $f'$ è continua in $0$;
• $1 < a \le 2$: il limite non esiste. Sulle $x_n = \frac{1}{2n\pi}$ ($\sin = 0$, $\cos = 1$) si ha $f'(x_n) = -x_n^{a-2}$, che vale $-1$ se $a = 2$ e tende a $-\infty$ se $a < 2$; sulle $y_n = \frac{1}{2n\pi + \pi/2}$ ($\sin = 1$, $\cos = 0$) si ha $f'(y_n) = a\,y_n^{a-1} \to 0$. Limiti diversi.

Conclusione

Il caso $a = 2$ è l'esercizio 11 (con $|x|^2 = x^2$): derivabile ma non $C^1$, d'accordo con la tabella.

Verifica (con Python, valutando $f'$ sulle due successioni con $n = 10^3$): per $a = 2$ si ottengono $-1$ e circa $0{,}0003$; per $a = 3$ entrambi i valori sono vicini a $0$ (circa $-1{,}6\cdot 10^{-4}$ e $8\cdot 10^{-8}$) ✓.

Errori comuni

• Concludere che $f$ non è derivabile in $0$ perché $\lim f'$ non esiste: il Teorema del limite della derivataSe f è continua in x0 e derivabile vicino a x0, la derivata destra (sinistra) in x0 è il limite destro (sinistro) di f'. Quindi f è derivabile in x0 se e solo se i due limiti di f' esistono e coincidono, finiti. Senza continuità il risultato è falso; se i limiti di f' non esistono si torna al rapporto incrementale (esempio x² sin(1/x)). Funzioni di classe C⁰ e C¹.Teorema del limite della derivata → in quel caso non dice niente, si torna al rapporto incrementale.
• Dimenticare la continuità di $f'$ quando si chiede la classe $C^1$: derivabile non basta.
• Trattare $x^{a-2}\cos\frac1x$ come infinitesimo per limitata anche con $a \le 2$: serve che la potenza tenda a $0$, cioè $a - 2 > 0$.