Esercizio 167oscillatore armonico forzato e risonanza

Testo (Lezione 47, esercizio 10 del foglio). Determinare l'integrale generale dell'equazione differenziale $$y''(t) + h\,y(t) = 2\cos(2t), \qquad h > 0 \quad \text{(oscillatore armonico forzato)}$$

Teoria: Equazioni lineari a coefficienti costanti - equazione completaPer y'' + a1 y' + a0 y = b(t) a coefficienti costanti l'integrale generale è y0 + yp: y0 dal polinomio caratteristico, yp con il metodo di somiglianza quando b(t) = Qm(t) e^(αt) cos(ωt) (o sin). Si pone λ̄ = α + iω: se p(λ̄) ≠ 0, yp = e^(αt)[Pm(t) cos ωt + Rm(t) sin ωt] con polinomi di grado m da determinare; se λ̄ è radice semplice si moltiplica per t, se è doppia per t² (risonanza). Se b = b1 + b2 si sommano le soluzioni particolari (principio di sovrapposizione).Equazioni lineari a coefficienti costanti - equazione completa → (risonanza), Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneoPer y'' + a1 y' + a0 y = 0 con a0, a1 costanti si cercano soluzioni e^(λt): funzionano se λ è radice del polinomio caratteristico p(λ) = λ² + a1 λ + a0. Δ > 0 (radici λ1 ≠ λ2): y = c1 e^(λ1 t) + c2 e^(λ2 t). Δ = 0 (radice doppia λ): y = (c1 + c2 t) e^(λt). Δ < 0 (radici α ± iω): y = e^(αt)(c1 cos ωt + c2 sin ωt). Lo stesso metodo vale per ogni ordine.Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneo →.

Il modello

Un punto di massa $m = 1$ attaccato a una molla di costante $h > 0$, senza attrito, è spinto da una forza esterna periodica $F(t) = 2\cos(2t)$. Senza la forza oscillerebbe con la sua frequenza propria; la forza prova a imporgli la frequenza $2$.

1. Integrale generale dell'omogenea: $y'' + h\,y = 0$

$$p(\lambda) = \lambda^2 + h = 0 \iff \lambda^2 = -h \iff \lambda_{1,2} = \pm i\sqrt h$$ ($h > 0$, $\Delta < 0$). Quindi $\alpha = 0$, $\omega = \sqrt h$: $$y_0(t) = c_1\cos(\sqrt h\,t) + c_2\sin(\sqrt h\,t) \qquad \forall c_1, c_2 \in \mathbb{R}$$ (con $e^{0t} = 1$). La molla da sola oscilla con pulsazione $\sqrt h$.

2. Soluzione particolare

$b(t) = 2\cos(2t) = 2\,e^{0t}\cos(2t)$: polinomio di grado $0$ (la costante $2$), $\alpha = 0$, $\omega = 2$, quindi $$\bar\lambda = 0 + 2i = 2i$$ $\bar\lambda$ è radice di $p$? Le radici sono $\pm i\sqrt h$; $2i = i\sqrt h \iff \sqrt h = 2 \iff h = 4$. Due casi.

Caso $h \ne 4$: niente risonanza

$$y_p(t) = A\cos(2t) + B\sin(2t)$$ (sia il coseno sia il seno, anche se in $b$ c'è solo il coseno). Derivando due volte: $$y_p' = -2A\sin(2t) + 2B\cos(2t), \qquad y_p'' = -4A\cos(2t) - 4B\sin(2t) = -4\,y_p$$ Sostituendo: $-4y_p + h\,y_p = (h - 4)\,y_p = 2\cos(2t)$, cioè $$(h - 4)A\cos(2t) + (h - 4)B\sin(2t) = 2\cos(2t)$$ Vale un principio di identità anche quiSe A cos(2t) + B sin(2t) = C cos(2t) + D sin(2t) per ogni t, allora A = C e B = D: basta porre t = 0 e poi t = π/4.: i coefficienti di $\cos(2t)$ e di $\sin(2t)$ devono coincidere a sinistra e a destra. $$\begin{cases} (h - 4)A = 2 \\ (h - 4)B = 0 \end{cases} \Longrightarrow A = \frac{2}{h - 4},\ B = 0 \qquad (h - 4 \ne 0)$$ $$y_p(t) = \frac{2}{h - 4}\cos(2t)$$

Caso $h = 4$: risonanza

$\bar\lambda = 2i$ è radice semplice di $p(\lambda) = \lambda^2 + 4$, quindi si moltiplica per $t$: $$y_p(t) = t\left(A\cos(2t) + B\sin(2t)\right)$$ Chiamando $u(t) = A\cos(2t) + B\sin(2t)$ (che ha $u'' = -4u$), si ha $y_p = t\,u$ e $$y_p' = u + t\,u', \qquad y_p'' = 2u' + t\,u'' = 2u' - 4t\,u = 2u' - 4y_p$$ Sostituendo in $y'' + 4y = 2\cos(2t)$, il termine $-4y_p$ si cancella con $+4y_p$: $$2u' = 2\cos(2t) \iff -2A\sin(2t) + 2B\cos(2t) = \cos(2t)$$ $$\begin{cases} -2A = 0 \\ 2B = 1 \end{cases} \Longrightarrow A = 0,\ B = \frac12, \qquad y_p(t) = \frac12\,t\sin(2t)$$

3. Integrale generale

$$y(t) = \begin{cases} c_1\cos(\sqrt h\,t) + c_2\sin(\sqrt h\,t) + \dfrac{2}{h - 4}\cos(2t) & h \ne 4 \\[3mm] c_1\cos(2t) + c_2\sin(2t) + \dfrac12\,t\sin(2t) & h = 4 \end{cases} \qquad \forall t \in \mathbb{R},\ \forall c_1, c_2 \in \mathbb{R}$$

Verifica (con Python, dsolve con $h = 9$ e $h = 4$): con $h = 9$ si ottiene $\frac25\cos(2t) = \frac{2}{9 - 4}\cos(2t)$ ✓, con $h = 4$ il termine $\frac t2\sin(2t)$ ✓.

Il significato della risonanza

• Con $h \ne 4$ tutte le soluzioni sono limitate: somme di seni e coseni. Però l'ampiezza $\frac{2}{|h - 4|}$ della risposta alla forza diventa grandissima quando $h$ si avvicina a $4$.
• Con $h = 4$ (la forza ha la stessa frequenza della molla) la soluzione particolare $\frac12 t\sin(2t)$ oscilla con ampiezza $\frac t2$ che cresce senza limite: una forza limitata produce una soluzione illimitata. È il fenomeno della risonanza, da cui il nome del caso 2 del metodo.
• Il motivo algebrico: con $h = 4$ la funzione $A\cos(2t) + B\sin(2t)$ risolve l'omogenea, per questo serve il fattore $t$.

Errori comuni

• Cercare $y_p = A\cos(2t)$ senza il seno: qui funzionerebbe per caso nel caso $h \ne 4$, ma con $h = 4$ è il seno che serve.
• Dimenticare il caso $h = 4$: la formula $\frac{2}{h - 4}$ non ha senso proprio lì.
• Scrivere le soluzioni dell'omogenea come $e^{\sqrt h t}$: le radici sono immaginarie, quindi compaiono seno e coseno.