Esercizio 86studio di 3 arctan(1/sinh x) + log(1/cosh x) fino alla derivata seconda

Testo (Lezione 30, esercizio 9 del foglio 19-21/11). Studiare fino a $f''$ la funzione $$f(x) = 3\arctan\left(\frac{1}{\sinh x}\right) + \log\left(\frac{1}{\cosh x}\right)$$

Teoria: Studio di funzioneLo schema dello studio di funzione: (a) dominio, simmetrie, periodicità, segno; (b) limiti alla frontiera, asintoti, prolungamenti; (c) f': monotonia, massimi e minimi, inf e sup, derivabilità (limiti di f' nei punti delicati); (d) f'': convessità e flessi. I limiti di f' si calcolano dove f è continua ma f' non è definita, negli estremi del dominio e dove f ha un limite finito senza essere definita: danno la pendenza con cui il grafico arriva.Studio di funzione →, Asintoti di una funzionex = x0 è asintoto verticale se il limite destro o sinistro in x0 è infinito; y = ℓ è orizzontale se f → ℓ per x → ±∞; y = mx + q è obliquo se f(x)/x → m ≠ 0 e f(x) − mx → q.Asintoti di una funzione →, Funzioni iperbolicheSeno, coseno e tangente iperbolici costruiti con e^x ed e^(-x), la relazione cosh^2 - sinh^2 = 1 e le loro inverse con formula esplicita.Funzioni iperboliche →, Funzioni convesse, concave e punti di flessof è convessa se ogni corda sta sopra il grafico (concava se sta sotto). Una funzione convessa è continua e ha derivate destra e sinistra in ogni punto interno. Per f derivabile: convessa ⇔ grafico sopra ogni tangente ⇔ f' crescente ⇔ (se esiste) f'' ≥ 0. f'' > 0 ⇒ strettamente convessa, non viceversa (x⁴). Flesso: punto in cui f passa da convessa a concava; lì, se esiste, f''(x0) = 0, ma non basta (x⁴ in 0).Funzioni convesse, concave e punti di flesso →.

(a) Dominio, simmetrie, segno

Dominio. $$\begin{cases} \sinh x \ne 0 \\ \frac{1}{\cosh x} > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ne 0 \\ \forall x \in \mathbb{R} \end{cases}$$ ($\sinh x = 0$ solo in $x = 0$; $\cosh x \ge 1 > 0$ sempre). Dominio $= \mathbb{R} \setminus \{0\}$.

Una semplificazione. $\log\frac{1}{\cosh x} = \log 1 - \log(\cosh x) = -\log(\cosh x)$, quindi $$f(x) = 3\arctan\left(\frac{1}{\sinh x}\right) - \log(\cosh x)$$

Simmetrie. Il primo addendo è dispari ($\sinh$ è dispari, e anche $\frac1u$ e $\arctan$), il secondo è pari ($\cosh$ è pari). La somma di una funzione dispari e di una pari non è né pari né dispari: nessuna simmetria.

Segno. In generale è difficile (bisognerebbe risolvere $3\arctan\frac{1}{\sinh x} = \log\cosh x$). Però per $x < 0$ è facile:

• $\sinh x < 0$, quindi $\frac{1}{\sinh x} < 0$ e $\arctan\frac{1}{\sinh x} < 0$;
• $\cosh x \ge 1$, quindi $\log(\cosh x) \ge 0$ e $-\log(\cosh x) \le 0$.

Somma di un negativo e di un non positivo: $f(x) < 0$ per $x < 0$. Per $x > 0$ il segno si ricava alla fine dal grafico.

(b) Limiti alla frontiera e asintoti

La frontiera: $-\infty$, $+\infty$, $0^-$, $0^+$.

A $\pm\infty$. $\sinh x \to \pm\infty$, quindi $\frac{1}{\sinh x} \to 0$ e $3\arctan\frac{1}{\sinh x} \to 0$; e $\log(\cosh x) \to +\infty$: $$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0 - \infty = -\infty$$

Asintoti obliqui

Serve capire come cresce $\log(\cosh x)$. L'idea: raccogliere l'esponenziale dominante dentro il logaritmo e usare $\log(ab) = \log a + \log b$.

Per $x \to +\infty$ domina $e^x$: $$\log(\cosh x) = \log\left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right) = \log\left(e^x\left(\frac12 + \frac{e^{-2x}}{2}\right)\right) = x + \log\left(\frac12 + \frac{e^{-2x}}{2}\right)$$ (con $\log e^x = x$ e $\frac{e^{-x}}{e^x} = e^{-2x}$). Quindi $$f(x) = 3\arctan\left(\frac{1}{\sinh x}\right) - x - \log\left(\frac12 + \frac{e^{-2x}}{2}\right)$$

• $m = \displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty}\frac{-x + o(x)}{x} = -1$ (gli altri pezzi tendono a costanti);
• $q = \displaystyle\lim_{x \to +\infty}\big[f(x) + x\big] = \lim_{x \to +\infty}\left[3\arctan\frac{1}{\sinh x} - \log\left(\frac12 + \frac{e^{-2x}}{2}\right)\right] = 0 - \log\frac12 = \log 2$.

$y = -x + \log 2$ è asintoto obliquo a $+\infty$.

Per $x \to -\infty$ domina $e^{-x}$: $$\log(\cosh x) = \log\left(e^{-x}\left(\frac12 + \frac{e^{2x}}{2}\right)\right) = -x + \log\left(\frac12 + \frac{e^{2x}}{2}\right)$$ $$f(x) = 3\arctan\left(\frac{1}{\sinh x}\right) + x - \log\left(\frac12 + \frac{e^{2x}}{2}\right)$$

• $m = \lim_{x \to -\infty}\frac{f(x)}{x} = 1$;
• $q = \lim_{x \to -\infty}\big[f(x) - x\big] = 0 - \log\frac12 = \log 2$.

$y = x + \log 2$ è asintoto obliquo a $-\infty$. (Nel PDF della lezione l'asintoto è scritto $y = x + \log x$: è un refuso, il calcolo dà $\log 2$, controllato con Python.)

In $0^\pm$

$\log(\cosh 0) = \log 1 = 0$, e $\frac{1}{\sinh x} \to \frac{1}{0^\pm} = \pm\infty$: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 3\arctan(-\infty) - 0 = -\frac{3\pi}{2} = f(0^-), \qquad \lim_{x \to 0^+} f(x) = 3\arctan(+\infty) = \frac{3\pi}{2} = f(0^+)$$ Entrambi i limiti esistono finiti ma sono diversi: $f$ non si prolunga per continuità in $0$ (c'è un salto di ampiezza $3\pi$). Non ci sono asintoti verticali.

(c) Derivata prima

Calcolo

$D\arctan u = \frac{u'}{1 + u^2}$ con $u = \frac{1}{\sinh x}$, $u' = -\frac{\cosh x}{\sinh^2 x}$; e $D\log(\cosh x) = \frac{\sinh x}{\cosh x}$: $$f'(x) = 3\cdot\frac{1}{1 + \frac{1}{\sinh^2 x}}\cdot\left(-\frac{\cosh x}{\sinh^2 x}\right) - \frac{\sinh x}{\cosh x}$$ Nel primo pezzo: $1 + \frac{1}{\sinh^2 x} = \frac{\sinh^2 x + 1}{\sinh^2 x} = \frac{\cosh^2 x}{\sinh^2 x}$, per la relazione fondamentalecosh²x − sinh²x = 1 per ogni x, quindi sinh²x + 1 = cosh²x.Funzioni iperboliche → $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$. Quindi $$3\cdot\frac{\sinh^2 x}{\cosh^2 x}\cdot\left(-\frac{\cosh x}{\sinh^2 x}\right) = -\frac{3}{\cosh x}$$ e $$f'(x) = -\frac{3}{\cosh x} - \frac{\sinh x}{\cosh x} = -\frac{3 + \sinh x}{\cosh x} \qquad \forall x \ne 0$$

Segno e monotonia

$\cosh x > 0$, quindi $f'(x) \ge 0 \iff 3 + \sinh x \le 0 \iff \sinh x \le -3 \iff x \le \mathrm{settsinh}(-3) =: x_1$ (il seno iperbolico è crescente, la sua inversa è il settore seno iperbolico). Numericamente $x_1 = \log(-3 + \sqrt{10}) \approx -1{,}82 < 0$.

$$\begin{array}{c|ccccccc} x & & x_1 & & 0 & & \\ \hline f' & + & 0 & - & \nexists & - & \\ f & \nearrow & \text{max rel.} & \searrow & \nexists & \searrow & \end{array}$$

• $f$ crescente in $]-\infty, x_1]$, decrescente in $[x_1, 0[$ e in $]0, +\infty[$;
• $x_1$ è un punto di massimo relativo stretto (con $f(x_1) \approx -2{,}12$); non è assoluto, perché vicino a $0^+$ $f$ si avvicina a $\frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71$;
• $\sup f = \frac{3\pi}{2}$ (non raggiunto: $0$ non è nel dominio), $\inf f = -\infty$; nessun massimo né minimo assoluto.

Pendenze in $0^\pm$

$0$ non è nel dominio, ma esistono finiti $f(0^-)$ e $f(0^+)$ (caso 3 dello studio di funzione): i limiti di $f'$ danno le pendenze con cui il grafico arriva nei due punti $\left(0, \pm\frac{3\pi}{2}\right)$: $$\lim_{x \to 0^\pm} f'(x) = -\frac{3 + 0}{1} = -3$$

Attenzione: i due limiti di $f'$ sono uguali, ma $f$ non è derivabile in $0$: non vi è nemmeno definita, e comunque non si prolunga in modo continuo (salto).

(d) Derivata seconda

Derivando $f'(x) = -\frac{3 + \sinh x}{\cosh x}$ con la regola del quoziente: $$f''(x) = -\frac{\cosh x\cdot\cosh x - (3 + \sinh x)\sinh x}{\cosh^2 x} = -\frac{\cosh^2 x - \sinh^2 x - 3\sinh x}{\cosh^2 x} = -\frac{1 - 3\sinh x}{\cosh^2 x}$$ (di nuovo $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$).

Segno: $f''(x) \ge 0 \iff 1 - 3\sinh x \le 0 \iff \sinh x \ge \frac13 \iff x \ge \mathrm{settsinh}\frac13 =: x_2 \approx 0{,}33 > 0$.

$$\begin{array}{c|ccccc} x & & 0 & & x_2 & \\ \hline f'' & - & \nexists & - & 0 & + \\ f & \cap & & \cap & \text{flesso} & \cup \end{array}$$

• $f$ concava in $]-\infty, 0[$ e in $]0, x_2]$, convessa in $[x_2, +\infty[$;
• $x_2$ è un punto di flesso (con $f(x_2) \approx 3{,}69$).

Grafico

A sinistra: sale dall'asintoto $y = x + \log 2$ fino al massimo relativo in $x_1$, poi scende (concava) fino a $-\frac{3\pi}{2}$ in $0^-$, con pendenza $-3$. A destra: parte da $\frac{3\pi}{2}$ in $0^+$ con pendenza $-3$, scende concava fino al flesso in $x_2$, poi convessa, taglia l'asse $x$ (in $x \approx 1{,}72$, calcolato con Python) e si avvicina all'asintoto $y = -x + \log 2$.

Errori comuni

• Calcolare gli asintoti obliqui senza raccogliere l'esponenziale dominante: $\log(\cosh x)$ non è "come $\log x$", è come $|x|$.
• Dimenticare $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$: senza, la derivata resta molto complicata.
• Dire che $f$ è derivabile in $0$ perché i limiti di $f'$ coincidono: il teorema del limite della derivata richiede la continuità in $0$, qui manca perfino la definizione.