Esercizio 163y'' - 3y' = 0, y'' + y' + 2y = 0 e y'' + 6y' + 9y = 0

Testo (Lezioni 46 e 47, esercizio 6 del foglio). Determinare l'integrale generale delle equazioni differenziali $$\text{(a) } y''(t) - 3y'(t) = 0, \qquad \text{(b) } y''(t) + y'(t) + 2y(t) = 0, \qquad \text{(c) } y''(t) + 6y'(t) + 9y(t) = 0$$

Teoria: Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneoPer y'' + a1 y' + a0 y = 0 con a0, a1 costanti si cercano soluzioni e^(λt): funzionano se λ è radice del polinomio caratteristico p(λ) = λ² + a1 λ + a0. Δ > 0 (radici λ1 ≠ λ2): y = c1 e^(λ1 t) + c2 e^(λ2 t). Δ = 0 (radice doppia λ): y = (c1 + c2 t) e^(λt). Δ < 0 (radici α ± iω): y = e^(αt)(c1 cos ωt + c2 sin ωt). Lo stesso metodo vale per ogni ordine.Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneo →.

Sono tutte lineari, del secondo ordine, omogenee, a coefficienti costanti: si usa il polinomio caratteristico, e i tre casi corrispondono ai tre segni del discriminante.

(a) $y'' - 3y' = 0$: due radici reali distinte

$$p(\lambda) = \lambda^2 - 3\lambda = \lambda(\lambda - 3) = 0 \iff \lambda_1 = 0,\ \lambda_2 = 3$$ ($\Delta = 9 > 0$). Con $e^{0\cdot t} = 1$: $$y(t) = c_1\,e^{0t} + c_2\,e^{3t} = c_1 + c_2\,e^{3t} \qquad \forall t \in \mathbb{R},\ \forall c_1, c_2 \in \mathbb{R}$$

Un'altra strada. Non compare $y$, solo $y''$ e $y'$: si potrebbe porre $v = y'$ e risolvere l'equazione del primo ordine $v' - 3v = 0$ (soluzione $v = c\,e^{3t}$), poi integrare ($y = \frac c3 e^{3t} + c_1$). Si arriva allo stesso risultato, ma con i coefficienti costanti il polinomio caratteristico è più rapido.

(b) $y'' + y' + 2y = 0$: radici complesse

$$p(\lambda) = \lambda^2 + \lambda + 2 = 0, \qquad \lambda_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-7}}{2} = -\frac12 \pm i\,\frac{\sqrt7}{2}$$ ($\Delta = -7 < 0$, e $\sqrt{-7} = i\sqrt7$). Quindi $\alpha = -\frac12$ (la parte reale) e $\omega = \frac{\sqrt7}{2}$ (la parte immaginaria, presa positiva): $$y(t) = e^{-\frac t2}\left(c_1\cos\left(\frac{\sqrt7}{2}t\right) + c_2\sin\left(\frac{\sqrt7}{2}t\right)\right) \qquad \forall t \in \mathbb{R},\ \forall c_1, c_2 \in \mathbb{R}$$

Che cosa descrive. È un oscillatore armonico smorzatoL'equazione m y'' + k y' + h y = 0 descrive un punto di massa m attaccato a una molla di costante h e frenato da una resistenza viscosa di costante k.Equazioni differenziali - introduzione e problema di Cauchy → con $m = 1$, $k = 1$, $h = 2$. La parentesi è limitata (seno e coseno stanno tra $-1$ e $1$), quindi $|y(t)| \le C\,e^{-t/2}$ con $C = |c_1| + |c_2|$, e $\lim_{t \to +\infty} y(t) = 0$: il punto oscilla attorno alla posizione di equilibrio $0$ con oscillazioni sempre più piccole.

(c) $y'' + 6y' + 9y = 0$: radice doppia

(Svolto all'inizio della lezione 47.) $$p(\lambda) = \lambda^2 + 6\lambda + 9 = (\lambda + 3)^2 = 0 \iff \lambda_1 = \lambda_2 = -3$$ ($\Delta = 36 - 36 = 0$): un'unica radice, di molteplicità $2$. La seconda soluzione indipendente è $t\,e^{-3t}$: $$y(t) = (c_1 + c_2\,t)\,e^{-3t} \qquad \forall t \in \mathbb{R},\ \forall c_1, c_2 \in \mathbb{R}$$

Anche questo è un oscillatore armonico smorzato, con $m = 1$, $k = 6$, $h = 9$: qui lo smorzamento è così forte che il punto non oscilla più, torna verso $0$ senza attraversarlo più di una volta.

Verifica (con Python, dsolve): i tre integrali generali coincidono ✓.

Errori comuni

• In (a), dimenticare la radice $\lambda = 0$ o scrivere $e^{0t}$ come $0$: è $1$, e dà la costante $c_1$.
• In (b), usare $\omega = \frac{\sqrt7}{2}$ come esponente reale o dimenticare il fattore $e^{-t/2}$.
• In (c), scrivere $c_1 e^{-3t} + c_2 e^{-3t}$: è un multiplo di una sola funzione; serve $t\,e^{-3t}$.