Esercizio 170un problema di Cauchy con parametro e la sostituzione z = y/t

Testo (Lezione 48, esercizi 15 e 16 del foglio). 15. Per quali $a \in \mathbb{R}$ la soluzione del problema di Cauchy $\begin{cases} y'(t) = (y(t) + a)\,t \\ y(0) = 3 \end{cases}$ ha $\lim_{t \to +\infty} y(t)$ finito? 16. Trovare l'integrale generale di $y'(t) = \dfrac{t^3 + y^3(t)}{t\,y^2(t)}$ per $t > 0$, usando la sostituzione $z(t) = \dfrac{y(t)}{t}$.

Teoria: Equazioni differenziali lineari del primo ordiney' + a(t)y = b(t) con a, b continue su un intervallo I. Le soluzioni sono definite su tutto I e il problema di Cauchy ha una sola soluzione. Integrale generale: y = e^(−A(t))[c + ∫e^(A(t)) b(t) dt], con A primitiva di a; per l'omogenea (b = 0) y = c e^(−A(t)). Soluzione del problema con y(t0) = x0: stessa formula con A(t) = ∫ da t0 a t di a(s) ds e integrale da t0 a t. Si dimostra moltiplicando per e^(A(t)).Equazioni differenziali lineari del primo ordine →, Equazioni differenziali a variabili separabiliy' = a(t) b(y) con a continua su I e b continua su J. Gli zeri ȳ di b danno le soluzioni costanti y = ȳ (integrali singolari). Le altre si trovano dividendo per b(y) e integrando: ∫dy/b(y) = ∫a(t)dt + c, poi si ricava y. Se b è C¹ la soluzione del problema di Cauchy è unica, ma può esistere solo su un intervallo più piccolo di I; se b è solo continua può non essere unica (y' = ∛y).Equazioni differenziali a variabili separabili →.

15.

Lineare o a variabili separabili?

$y' = t\,(y + a)$ è a variabili separabili ($a(t) = t$, $b(y) = y + a$), ma è anche lineare: $$y' = t\,y + a\,t \iff y' - t\,y = a\,t$$ con coefficiente $-t$ e termine noto $a\,t$, entrambi continui su $\mathbb{R}$. Conviene risolverla come lineare, con la formula per il problema di Cauchy ($t_0 = 0$, $x_0 = 3$): $$y(t) = e^{-A(t)}\left[x_0 + \int_{t_0}^t e^{A(s)}\,b(s)\,ds\right], \qquad A(t) = \int_{t_0}^t(\text{coefficiente di } y)\,ds$$

I conti

• $A(t) = \int_0^t(-s)\,ds = -\frac12 t^2$ (e $A(0) = 0$);
• $e^{-A(t)} = e^{\frac12 t^2}$, $e^{A(s)} = e^{-\frac12 s^2}$;
• l'integrale, con la sostituzione $z = -\frac12 s^2$, $dz = -s\,ds$: $$\int_0^t e^{-\frac12 s^2}\,a\,s\,ds = -a\left[e^{-\frac12 s^2}\right]_0^t = -a\,e^{-\frac12 t^2} + a$$

Quindi $$y(t) = e^{\frac12 t^2}\left[3 + a - a\,e^{-\frac12 t^2}\right] = (3 + a)\,e^{\frac12 t^2} - a \qquad \forall t \in \mathbb{R}$$ Controllo: $y(0) = 3 + a - a = 3$ ✓; $y' = (3 + a)\,t\,e^{t^2/2}$ e $(y + a)\,t = (3 + a)e^{t^2/2}\,t$ ✓.

Il limite

$e^{\frac12 t^2} \to +\infty$, quindi $\lim_{t \to +\infty} y(t)$ è finito se e solo se il coefficiente davanti si annulla: $3 + a = 0$, cioè $a = -3$. In quel caso $y(t) = 3$ costante (infatti con $a = -3$ il valore iniziale $3$ è uno zero di $b(y) = y - 3$: è un integrale singolare).

16.

Perché la sostituzione

$$y' = \frac{t^3 + y^3}{t\,y^2} = \frac{t^3}{t\,y^2} + \frac{y^3}{t\,y^2} = \frac{t^2}{y^2} + \frac{y}{t}$$ Non è lineare (c'è $\frac{1}{y^2}$) e non è a variabili separabili (è una somma). Ma il secondo membro dipende solo dal rapporto $\frac yt$: $\frac{t^2}{y^2} = \frac{1}{(y/t)^2}$. Con $z = \frac yt$, cioè $y = t\,z$: $$y' = z + t\,z' \qquad \text{(regola del prodotto)}$$ e l'equazione diventa $$z + t\,z' = \frac{1}{z^2} + z \iff t\,z' = \frac{1}{z^2} \iff z' = \frac1t\cdot\frac{1}{z^2}$$ che è a variabili separabili in $z$, con $a(t) = \frac1t$ ($t > 0$) e $b(z) = \frac{1}{z^2}$.

Risolvere per $z$

Integrali singolari: $\frac{1}{z^2} = 0$ mai. Nessuna soluzione costante.

Separazione: $$z^2\,z' = \frac1t \quad\Longrightarrow\quad \int z^2\,dz = \int\frac{dt}{t} \quad\Longrightarrow\quad \frac{z^3}{3} = \log t + c$$ (senza modulo perché $t > 0$). Moltiplicando per $3$ e chiamando $C = 3c$: $$z^3 = 3\log t + C \quad\Longrightarrow\quad z(t) = \sqrt[3]{3\log t + C}$$

Tornare a $y$

$$y(t) = t\,z(t) = t\,\sqrt[3]{3\log t + C}, \qquad C \in \mathbb{R},\ t > 0$$

Verifica (con Python): questa $y$ soddisfa l'equazione per ogni $C$ ✓.

Nota sul PDF della lezione: lì si legge $z^3 = 3\log t + c$ e poi $z = \sqrt[3]{\log t + c}$: nel passaggio si è perso il fattore $3$ davanti al logaritmo (che non si può assorbire nella costante, perché moltiplica $\log t$). Con $\sqrt[3]{\log t + c}$ l'equazione non è soddisfatta (controllato con Python).

Fuori programma. Le equazioni $y' = g\left(\frac yt\right)$, che con $z = \frac yt$ diventano a variabili separabili, non sono nel programma d'esame: la prof le ha mostrate perché possono servire in altri corsi.

Errori comuni

• In 15, separare le variabili senza accorgersi che è lineare: si arriva allo stesso risultato, ma con più passaggi (e bisogna ricordare l'integrale singolare $y = -a$).
• In 16, dimenticare la regola del prodotto: $y = tz$ dà $y' = z + tz'$, non $y' = z'$.
• Perdere il fattore $3$ quando si moltiplica $\frac{z^3}{3} = \log t + c$ per $3$.