Esercizio 161y' - y/t = radice di t e un'equazione del secondo ordine senza y

Testo (Lezione 45, esercizi 2 e 3 del foglio). 2. Determinare l'integrale generale dell'equazione differenziale $y'(t) - \dfrac{y(t)}{t} = \sqrt t$. Determinare la soluzione tale che $y(1) = -1$. 3. Risolvere il problema di Cauchy $$\begin{cases} y''(t) - \dfrac{y'(t)}{t} = \sqrt t \\ y(1) = 1 \\ y'(1) = -1 \end{cases}$$

Teoria: Equazioni differenziali lineari del primo ordiney' + a(t)y = b(t) con a, b continue su un intervallo I. Le soluzioni sono definite su tutto I e il problema di Cauchy ha una sola soluzione. Integrale generale: y = e^(−A(t))[c + ∫e^(A(t)) b(t) dt], con A primitiva di a; per l'omogenea (b = 0) y = c e^(−A(t)). Soluzione del problema con y(t0) = x0: stessa formula con A(t) = ∫ da t0 a t di a(s) ds e integrale da t0 a t. Si dimostra moltiplicando per e^(A(t)).Equazioni differenziali lineari del primo ordine →, Equazioni differenziali - introduzione e problema di CauchyUn'equazione differenziale ordinaria di ordine n ha come incognita una funzione y(t) e lega y⁽ⁿ⁾ a t, y, y', …, y⁽ⁿ⁻¹⁾. L'integrale generale è l'insieme delle soluzioni, definite su un intervallo; di solito sono infinite e dipendono da n costanti. Il problema di Cauchy aggiunge n condizioni iniziali in un istante t0 (y(t0), …, y⁽ⁿ⁻¹⁾(t0)) e sotto opportune ipotesi ha una sola soluzione. y⁽ⁿ⁾ = f(t) si risolve integrando n volte.Equazioni differenziali - introduzione e problema di Cauchy →.

2.

Riconoscere l'equazione e l'intervallo

$$y' - \frac1t\,y = \sqrt t$$ è lineare del primo ordine con

• $a(t) = -\frac1t$, definita e continua per $t \ne 0$;
• $b(t) = \sqrt t$, definita e continua per $t \ge 0$.

Entrambe sono continue su $]0, +\infty[$, che è l'intervallo più grande possibile (a sinistra di $0$ la radice non esiste). Quindi $I = \,]0, +\infty[$.

Integrale generale

Primitiva di $a$: $$A(t) = -\int\frac1t\,dt = -\log t$$ (senza modulo, perché $t > 0$).

Il fattore integrante e il suo reciproco: $e^{A(t)} = e^{-\log t} =$ $e^{\log\frac1t} = \frac1t$Per le proprietà del logaritmo, −log t = log(1/t); ed esponenziale e logaritmo sono una l'inversa dell'altra, quindi e^(log u) = u per u > 0.Esponenziale e logaritmo →, e $e^{-A(t)} = e^{\log t} = t$.

La formula: $$y(t) = t\left[c + \int\frac1t\cdot t^{1/2}\,dt\right] = t\left[c + \int t^{-1/2}\,dt\right] = t\left[c + \frac{t^{1/2}}{1/2}\right] = t\left[c + 2\sqrt t\right]$$ (con $\int t^\alpha\,dt = \frac{t^{\alpha + 1}}{\alpha + 1}$ e $\alpha = -\frac12$).

$$y(t) = t\left(c + 2\sqrt t\right) = ct + 2t^{3/2} \qquad \forall c \in \mathbb{R},\ \forall t > 0$$

Soluzione con $y(1) = -1$

$t_0 = 1 \in I$ ✓. $y(1) = 1\cdot(c + 2) = -1 \iff c = -3$: $$y(t) = t\left(2\sqrt t - 3\right) \qquad \forall t > 0$$

Controllo: $y = 2t^{3/2} - 3t$, $y' = 3t^{1/2} - 3$, e $y' - \frac yt = 3\sqrt t - 3 - 2\sqrt t + 3 = \sqrt t$ ✓; $y(1) = 2 - 3 = -1$ ✓.

3.

L'idea: abbassare l'ordine

L'equazione è del secondo ordine, ma compaiono solo $y''$ e $y'$, non $y$. Si pone $$v(t) = y'(t) \quad (\text{la velocità}), \qquad v'(t) = y''(t)$$ e il problema diventa, per $v$, del primo ordine: $$\begin{cases} v' - \dfrac1t\,v = \sqrt t \\ v(1) = -1 \end{cases}$$ (la condizione $y'(1) = -1$ diventa $v(1) = -1$; la condizione $y(1) = 1$ servirà dopo).

Trovare $v$

È esattamente il problema dell'esercizio 2, con $v$ al posto di $y$: $$v(t) = t\left(2\sqrt t - 3\right) = 2t^{3/2} - 3t \qquad \forall t > 0$$

Trovare $y$

$y$ è una primitiva di $v$: $$y(t) = \int\left(2t^{3/2} - 3t\right)dt = 2\cdot\frac{t^{5/2}}{5/2} - 3\cdot\frac{t^2}{2} + c = \frac45 t^{5/2} - \frac32 t^2 + c, \qquad c \in \mathbb{R}$$ (con $\frac{3}{2} + 1 = \frac52$ e $\frac{2}{5/2} = \frac45$).

Ora si usa la seconda condizione, $y(1) = 1$: $$y(1) = \frac45 - \frac32 + c = 1 \iff c = 1 - \frac45 + \frac32 = \frac{10 - 8 + 15}{10} = \frac{17}{10}$$

Soluzione del problema di Cauchy: $$y(t) = \frac45 t^{5/2} - \frac32 t^2 + \frac{17}{10} \qquad \forall t > 0$$

Controllo: $y' = 2t^{3/2} - 3t$, $y'' = 3t^{1/2} - 3$; $y'' - \frac{y'}{t} = 3\sqrt t - 3 - 2\sqrt t + 3 = \sqrt t$ ✓; $y'(1) = -1$ ✓; $y(1) = \frac45 - \frac32 + \frac{17}{10} = \frac{8 - 15 + 17}{10} = 1$ ✓. Lo stesso risultato si ottiene con dsolve di Python.

Errori comuni

• Prendere $I = \mathbb{R}$ o $t \ne 0$: $\sqrt t$ esiste solo per $t \ge 0$ e $\frac1t$ non esiste in $0$; l'intervallo è $]0, +\infty[$.
• In 3, usare $y(1) = 1$ per trovare $v$: la condizione su $v = y'$ è $y'(1) = -1$; quella su $y$ si usa solo all'ultimo passaggio.
• Dimenticare la costante quando si integra $v$: è proprio quella che fissa la condizione $y(1) = 1$.