Esercizio - Dado lanciato fino al primo sei con tutti i lanci pari (lezioni MIT)

Teoria: Linearità del valore atteso e variabili indicatriciLa linearità $E[X+Y]=E[X]+E[Y]$ vale sempre, anche senza indipendenza; con le variabili indicatrici ($E[I_A]=P(A)$) trasforma un conteggio in una somma di probabilità. Applicazioni: attesa del primo successo $1/p$, collezionista di figurine $nH_n$, punti fissi di una permutazione (media $1$), record (media $H_n$), inversioni ($n(n-1)/4$), attesa condizionata, identità di Wald $E[S_N]=E[N]E[X]$.Linearità del valore atteso e variabili indicatrici → (primo successo e valore atteso condizionato); base in Probabilità condizionataLa probabilità di A sapendo che si è verificato B è P(A ∣ B) = P(A ∩ B) / P(B), con P(B) > 0; è una nuova misura di probabilità, e da essa seguono la regola del prodotto e la regola della catena.Probabilità condizionata → e Distribuzione geometricaGeo(p) è il numero della prova in cui arriva il primo successo in prove indipendenti: P(X = n) = (1−p)^(n−1) p per n ≥ 1, P(X > n) = (1−p)^n (lunga attesa), media 1/p, varianza (1−p)/p², ed è senza memoria.Distribuzione geometrica →. Problema dalle videolezioni di Principles of Discrete Applied Mathematics, MIT OpenCourseWare.

Testo. Si lancia un dado equo finché non esce $6$ (il $6$ finale è compreso). Sia $N$ il numero di lanci ed $E$ l'evento «tutti i lanci fatti sono pari».

1. Calcolare $P(E)$.
2. Trovare la distribuzione di $N$ condizionata a $E$ e il valore atteso $E[N\mid E]$.
3. Un ragionamento diffuso dice: «se tutti i lanci sono pari, è come lanciare un dado con le sole facce $2,4,6$, quindi $E[N\mid E]=3$». Dove sbaglia?
4. Controllare il risultato con la formula della probabilità totale per l'attesa, calcolando $E[N\mid\overline E]$.
5. Calcolare il valore atteso della somma dei lanci condizionato a $E$.

Soluzione

1. Probabilità di $E$. $E$ con $N=n$ significa: i primi $n-1$ lanci sono $2$ o $4$ (probabilità $\frac26=\frac13$ ciascuno, lanci indipendenti) e l'$n$-esimo è $6$ (probabilità $\frac16$): $$P(E\cap\{N=n\})=\Big(\frac13\Big)^{n-1}\frac16 .$$ Gli eventi $\{N=n\}$ sono disgiunti, quindi si sommano e si usa la serie geometrica $\sum_{n\ge1}x^{n-1}=\frac1{1-x}$: $$P(E)=\frac16\sum_{n\ge1}\Big(\frac13\Big)^{n-1}=\frac16\cdot\frac1{1-1/3}=\frac16\cdot\frac32=\frac14 .$$

2. Distribuzione condizionata. Per la definizione di probabilità condizionata $$P(N=n\mid E)=\frac{P(E\cap\{N=n\})}{P(E)}=4\cdot\frac16\Big(\frac13\Big)^{n-1}=\frac23\Big(\frac13\Big)^{n-1},$$ cioè $\frac23,\frac29,\frac2{27},\dots$ per $n=1,2,3,\dots$ (somma $1$). È una geometrica di parametro $\frac23$, quindi $$E[N\mid E]=\frac1{2/3}=\frac32 .$$

Lettura senza conti: si guarda il primo lancio che esce in $\{1,3,5,6\}$ (probabilità $\frac46=\frac23$ a ogni lancio). Il numero di lanci fino a quel momento è geometrico di parametro $\frac23$, e il simbolo che lo ferma è $6$ con probabilità $\frac14$, indipendentemente da quanti lanci ci sono voluti. L'evento $E$ è proprio «il primo lancio fuori da $\{2,4\}$ è un $6$»: condizionare su $E$ non cambia la lunghezza, che resta geometrica di parametro $\frac23$.

3. L'errore. Il dado a tre facce $\{2,4,6\}$ condiziona ogni singolo lancio a essere pari. Qui invece si condiziona su un evento che riguarda tutta la sequenza, ed $E$ favorisce le sequenze corte: una sequenza lunga ha molte occasioni di contenere un dispari, quindi sopravvive al condizionamento con probabilità molto più piccola. Numericamente $P(E\mid N=n)=\frac{(1/3)^{n-1}}{(5/6)^{n-1}}=\big(\frac25\big)^{n-1}$: già con $N=3$ le sequenze compatibili con $E$ sono solo il $16\%$. Il condizionamento pesa le lunghezze con $\big(\frac25\big)^{n-1}$ e abbassa la media da $3$ a $\frac32$.

4. Controllo con la probabilità totale. Senza condizioni $N$ è geometrica di parametro $\frac16$, $E[N]=6$. Per la formula $E[N]=E[N\mid E]P(E)+E[N\mid\overline E]P(\overline E)$: $$6=\frac32\cdot\frac14+E[N\mid\overline E]\cdot\frac34\;\Longrightarrow\;E[N\mid\overline E]=\frac{6-\frac38}{\frac34}=\frac{45/8}{3/4}=\frac{15}2=7{,}5 .$$ Il calcolo diretto, $\sum_nn\big[(\frac56)^{n-1}\frac16-(\frac13)^{n-1}\frac16\big]/\frac34$, dà lo stesso $7{,}5$: le sequenze con almeno un dispari sono in media più lunghe di quelle senza.

5. Somma condizionata. Dato $E$ e dato $N=n$, i primi $n-1$ lanci sono uniformi in $\{2,4\}$ (media $3$) e l'ultimo vale $6$. Per linearità, condizionando su $N$: $$E[S\mid E]=E[(N-1)\cdot3+6\mid E]=3\Big(\frac32-1\Big)+6=7{,}5 .$$

Risultato. $P(E)=\frac14$; dato $E$, $N$ è geometrica di parametro $\frac23$ ed $E[N\mid E]=\frac32$ (non $3$); $E[N\mid\overline E]=\frac{15}2$; $E[S\mid E]=7{,}5$.

import random
T, acc, tot, somma = 400000, 0, 0, 0
for _ in range(T):
    n, s, pari = 0, 0, True
    while True:
        x = random.randint(1, 6); n += 1; s += x
        if x % 2: pari = False
        if x == 6: break
    if pari: acc += 1; tot += n; somma += s
print(acc / T, tot / acc, somma / acc)        # circa 0.25  1.5  7.5

Verificato con frazioni esatte (serie troncate a $300$ termini) e con la simulazione: $P(E)\approx0{,}2497$, $E[N\mid E]\approx1{,}498$.