Esercizio 1segmento 2 di un display a sette segmenti con don't care (tema d'esame giugno 2022)

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Teoria usata: Mappe di Karnaugh - implicanti e copertura minimaLa mappa di Karnaugh è la tabella di verità disposta in una griglia con righe e colonne in codice Gray, così che celle adiacenti (anche tra bordi opposti) differiscano in una sola variabile. Si raggruppano gli 1 in rettangoli di $2^k$ celle: ogni gruppo elimina $k$ variabili e dà un prodotto. Implicante primo = gruppo massimo; essenziale = unico a coprire un mintermine; la copertura minima contiene tutti gli essenziali più il minimo di altri primi (può non essere unica). Efficace fino a 4 variabili.Mappe di Karnaugh - implicanti e copertura minima →, Mappe di Karnaugh - POS, condizioni di don't care e paritàPer la POS minima si raggruppano gli 0 della mappa, si ottiene la SOP minima di $\overline F$ e si scrive $F$ come prodotto di somme (variabile diretta se vale 0 nel gruppo, negata se vale 1). Le condizioni di don't care (X) sono combinazioni di ingresso che non si presentano o la cui uscita è indifferente: si usano come 1 o come 0 a seconda di quel che allarga i gruppi (mai raggruppamenti fatti solo di X). Le funzioni XOR a più variabili (disparità) e XNOR (parità) hanno mappa a scacchiera: non si semplificano con i gruppi.Mappe di Karnaugh - POS, condizioni di don't care e parità →, Decoder, encoder e priority encoderUn decoder $n$-to-$m$ ($m\le2^n$) converte un ingresso binario a $n$ bit in un'uscita 1-hot (un solo 1, nella posizione indicata): le sue uscite sono i mintermini degli ingressi, realizzati con $m$ AND; per decoder grandi si usa l'approccio gerarchico (costo in ingressi: 3-to-8 = 27, 6-to-64 = 182) e un enable. Ogni funzione = decoder + OR dei suoi mintermini. L'encoder fa l'operazione inversa (1-hot $\to$ binario) ma sbaglia con più ingressi a 1 o tutti a 0: il priority encoder risolve con una priorità e un'uscita V (valid).Decoder, encoder e priority encoder → (display a sette segmenti).

Passo 1: tabella di verità

Il segmento 2 è quello in basso a destra. Nelle cifre decimali da $0$ a $9$ è acceso in tutte tranne che nel $2$ (il $2$ ha il segmento in basso a sinistra, non quello in basso a destra). Le combinazioni $1010$–$1111$ (numeri da $10$ a $15$) non rappresentano cifre: non si presenteranno, quindi sono don't care (X).

L'indice del mintermine è il numero $dcba$ in binario: $y=\sum m(0,1,3,4,5,6,7,8,9)$ con don't care $m(10,\dots,15)$.

Passo 2: mappa di Karnaugh

Righe $dc$, colonne $ba$ (codice Gray):

L'unico $0$ è nella cella $0010$ (cifra 2, riga $dc=00$, colonna $ba=10$).

Passo 3: raggruppamenti

Si usano i don't care per fare gruppi grandi. Tre gruppi da 8 celle:

• $a$: le colonne $ba=01$ e $ba=11$ (celle $1,3,5,7,9,11,13,15$): le variabili costanti sono solo $a=1$ $\Rightarrow$ $a$;
• $\overline b$: le colonne $ba=00$ e $ba=01$ (celle $0,1,4,5,8,9,12,13$): $b=0$ $\Rightarrow$ $\overline b$;
• $c$: le righe $dc=01$ e $dc=11$ (celle $4,5,7,6,12,13,15,14$): $c=1$ $\Rightarrow$ $c$.

Un quarto implicante primo, $d$ (righe $dc=11$ e $10$), esiste ma non serve: le sue celle con $y=1$ ($8$ e $9$) sono già coperte da $\overline b$. I tre gruppi scelti sono essenziali: la cella $0$ è coperta solo da $\overline b$, la cella $3$ solo da $a$, la cella $6$ solo da $c$.

$$y=a+\overline b+c$$

Passo 4: controllo e circuito

Controllo con la tabella: $y=0$ solo quando $a=0$, $b=1$, $c=0$, cioè $\overline a\,b\,\overline c=1$: nelle cifre $0$–$9$ è la sola combinazione $0010$ (il $2$); per $1010$ ($10$, don't care) il risultato è indifferente. Quindi anche $y=\overline{\,\overline a\,b\,\overline c\,}$. Verificato con un programma sulle 10 cifre valide ($y=0$ solo per la cifra 2). La forma POS minima dà lo stesso: un solo termine somma, $y=(a+\overline b+c)$.

Circuito: un inverter su $b$ e una porta OR a 3 ingressi ($a$, $\overline b$, $c$): costo $3+1=4$ ingressi di porta; la variante NAND a 3 ingressi su $\overline a$, $b$, $\overline c$ costerebbe di più (due inverter).

Errori comuni

• Non usare i don't care: senza di essi la forma minima è $y=\overline b\,\overline c+\overline d\,a+\overline d\,c$ (3 prodotti, 6 letterali) invece di $a+\overline b+c$ (3 letterali).
• Dimenticare che il segmento 2 è spento solo nel $2$ (non anche nell'$1$ o nel $7$).
• Fare gruppi di 8 solo con le X: ogni gruppo deve contenere almeno un $1$ non coperto da altri.