Esercizio 7numero pari diverso da zero tra 0 e 9 (tema d'esame settembre 2022)

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Teoria usata: Mappe di Karnaugh - implicanti e copertura minimaLa mappa di Karnaugh è la tabella di verità disposta in una griglia con righe e colonne in codice Gray, così che celle adiacenti (anche tra bordi opposti) differiscano in una sola variabile. Si raggruppano gli 1 in rettangoli di $2^k$ celle: ogni gruppo elimina $k$ variabili e dà un prodotto. Implicante primo = gruppo massimo; essenziale = unico a coprire un mintermine; la copertura minima contiene tutti gli essenziali più il minimo di altri primi (può non essere unica). Efficace fino a 4 variabili.Mappe di Karnaugh - implicanti e copertura minima →, Mappe di Karnaugh - POS, condizioni di don't care e paritàPer la POS minima si raggruppano gli 0 della mappa, si ottiene la SOP minima di $\overline F$ e si scrive $F$ come prodotto di somme (variabile diretta se vale 0 nel gruppo, negata se vale 1). Le condizioni di don't care (X) sono combinazioni di ingresso che non si presentano o la cui uscita è indifferente: si usano come 1 o come 0 a seconda di quel che allarga i gruppi (mai raggruppamenti fatti solo di X). Le funzioni XOR a più variabili (disparità) e XNOR (parità) hanno mappa a scacchiera: non si semplificano con i gruppi.Mappe di Karnaugh - POS, condizioni di don't care e parità →, Codici binari - BCD, ASCII, Unicode, parità e GrayUn codice binario a $n$ bit distingue $2^n$ elementi. BCD: una cifra decimale ogni 4 bit (1010–1111 non usati; 10 richiede 8 bit, non è il binario del numero). ASCII: 7 bit per 128 caratteri, la cifra ASCII è 011 seguito dal BCD. Unicode/UTF-8: da 1 a 4 byte, compatibile con ASCII. Bit di parità: rileva errori su un numero dispari di bit. Distanza di Hamming = numero di bit diversi. Codice Gray: numeri consecutivi differiscono di un solo bit (sensori di posizione); si costruisce per riflessione o con $g_i=b_i\oplus b_{i+1}$.Codici binari - BCD, ASCII, Unicode, parità e Gray →.

Passo 1: ingressi e tabella di verità

Un numero tra $0$ e $9$ richiede 4 bit: $a_3a_2a_1a_0$. Le combinazioni $1010$–$1111$ non rappresentano numeri dell'intervallo: sono don't care. La funzione vale $1$ per i numeri pari non nulli: $2,4,6,8$. Un numero è pari se il bit meno significativo è $0$.

$y=\sum m(2,4,6,8)$ con don't care $m(10,\dots,15)$.

Passo 2: mappa di Karnaugh

Righe $a_3a_2$, colonne $a_1a_0$:

Passo 3: raggruppamenti

Tutti gli 1 sono nella colonne con $a_0=0$ (colonne $00$ e $10$). Si usano i don't care per fare tre gruppi da 4 celle:

• $\{2,6,14,10\}$ (colonna $a_1a_0=10$): costanti $a_1=1$, $a_0=0$ $\Rightarrow$ $a_1\overline{a_0}$;
• $\{4,6,12,14\}$ (celle con $a_2=1$, $a_0=0$): $a_2\overline{a_0}$;
• $\{8,10,12,14\}$ (celle con $a_3=1$, $a_0=0$): $a_3\overline{a_0}$.

Tutti essenziali (la cella $2$ è coperta solo dal primo gruppo, la $4$ solo dal secondo, la $8$ solo dal terzo; le celle $0$, $1$, $3$, ... valgono $0$ e non vanno coperte).

$$y=a_1\overline{a_0}+a_2\overline{a_0}+a_3\overline{a_0}=\overline{a_0}\,(a_1+a_2+a_3)$$

Passo 4: significato, verifica e circuito

Il risultato dice: "il numero è pari ($a_0=0$) e almeno uno degli altri bit è 1 (quindi non è zero)": è esattamente la definizione. Il controllo sulle 10 cifre valide dà $y=1$ solo per $2,4,6,8$.

Circuito: la forma raccolta $\overline{a_0}(a_1+a_2+a_3)$ è anche una forma POS (due somme: $\overline{a_0}$ e $(a_1+a_2+a_3)$) e costa: OR a 3 ingressi $(3)$ + AND a 2 $(2)$ + inverter $(1)=6$ ingressi di porta, contro $3\cdot2+3+1=10$ della forma SOP a tre prodotti. La stessa forma si trova raggruppando gli 0: gli 0 sono nelle celle $0,1,3,5,7,9$; con i don't care i gruppi sono le $8$ celle con $a_0=1$ (resta $a_0$) e la coppia $\{0,1\}$ (restano $\overline{a_3}\,\overline{a_2}\,\overline{a_1}$). Quindi $\overline y=a_0+\overline{a_3}\,\overline{a_2}\,\overline{a_1}$ e, per De Morgan, $y=\overline{a_0}\,(a_1+a_2+a_3)$.

Senza don't care la forma minima sarebbe $\overline{a_3}\,a_1\overline{a_0}+\overline{a_3}\,a_2\overline{a_0}+a_3\overline{a_2}\,\overline{a_1}\,\overline{a_0}$, molto più lunga: i don't care semplificano molto.

Errori comuni

• Includere lo $0$ tra i numeri pari (la specifica dice "diverso da 0").
• Non sfruttare i don't care $10$–$15$ (si perde la semplificazione).
• Dimenticare che la funzione non dipende da $a_0$ se non per l'AND finale: tutti i prodotti contengono $\overline{a_0}$.