Esercizio - Bitrate e dimensione dei segnali non compressi (domande ed esercizi del corso)

Teoria: Audio, immagini e video digitali non compressi e spazi di coloreIl parlato (banda 200-3400 Hz) si digitalizza con $F_c=8$ kHz e 8 bit per campione: 64 kbit/s (PCM, pacchetti di 20 ms = 160 campioni = 160 byte). La musica (banda fino a 20 kHz) con $F_c=44{,}1$ kHz, 16 bit, 2 canali: 1,411 Mbit/s. Un'immagine a colori RGB ha 3 canali da 8 bit (24 bit per pixel); nello spazio YCbCr, ottenuto con una rotazione dello spazio colore, l'occhio è molto meno sensibile alla crominanza e si scartano 3 campioni su 4 di Cb e Cr (4:2:0), dimezzando i dati: $1{,}5\cdot H\cdot W$ campioni per immagine. Un video non compresso costa $H,W,1{,}5,b,f$ bit/s (1080p a 50 Hz: 1,244 Gbit/s, 4K: 5,3 Gbit/s): serve la compressione.Audio, immagini e video digitali non compressi e spazi di colore → e Digitalizzazione dei segnali multimediali - campionamento, quantizzazione e binarizzazioneLa conversione analogico-digitale (ADC) ha tre passi: campionamento $s_c(n)=s(nT_c)$, quantizzazione su $L=2^m$ livelli, binarizzazione dell'indice in $m$ bit; il bit-rate vale $R=F_c\log_2L$. Per il teorema di Shannon un segnale a banda limitata $f_M$ si ricostruisce senza errore se $F_c\ge2f_M$ (criterio di Nyquist), altrimenti c'è aliasing; per questo prima del campionatore c'è un filtro passa-basso. La quantizzazione uniforme di passo $\Delta=\frac{2A}{L}$ è irreversibile, con errore massimo $\frac\Delta2$ e $\mathrm{MSE}=\frac{\Delta^2}{12}$; la qualità si misura con MSE e $\mathrm{PSNR}=10\log_{10}\frac{(2^b-1)^2}{\mathrm{MSE}}$. In ricezione il bit mapper ricostruisce i valori e l'interpolazione con un nucleo $h$ (sample and hold, lineare, cubica, sinc troncato) riporta il segnale al tempo continuo.Digitalizzazione dei segnali multimediali - campionamento, quantizzazione e binarizzazione →. Fonte: domande a risposta multipla ed esempi di preparazione del corso di Reti di Calcolatori, Ing. Informatica UniPD 2025-26. Ogni conto è verificato in Python. Nei PDF "la risposta giusta è sempre la a" e le opzioni sono riportate così come sono; qui si spiega perché la risposta giusta lo è e quanto distano le altre dal valore corretto (così si riconosce il tipo di errore).

La formula di partenza è sempre una: bit-rate $=$ campioni al secondo $\times$ bit per campione $\times$ canali; per immagini e video i "campioni" sono i pixel per ciascuna componente.

1. Audio

Domanda 1 (audio mono). Un file audio è campionato a 44 kHz, quantizzato su 16 bit, mono. Qual è il bit-rate? (a) 704 kbit/s, (b) 352 kbit/s, (c) 1,4 Mbit/s, (d) 88 kbit/s.

$R=44\,000\times16=704\,000$ bit/s $=704$ kbit/s: (a). (b) è la metà (corrisponderebbe a 8 bit per campione); (c) è circa il doppio (corrisponderebbe a due canali: è il valore del CD stereo); (d) è un ottavo (2 bit per campione).

Domanda 2 (dimensione di un file). Un file audio ha bit-rate 128 kbit/s e dura 10 minuti. Quanta memoria occupa? (a) $\approx9{,}6$ MB, (b) $\approx96$ MB, (c) $\approx1{,}2$ MB, (d) $\approx12$ MB.

$128\ \text{kbit/s}\times600\ \text{s}=76\,800$ kbit $=76{,}8$ Mbit; diviso 8: $9{,}6$ MB: (a). (b) è 10 volte più grande; (c) è 8 volte più piccola (come dividere due volte per 8); (d) è 1,25 volte più grande. I passaggi da ricordare sono tre: bit/s per secondi, da kbit a Mbit, da bit a byte.

Domanda 3 (stereo con codice di canale). Un segnale audio è campionato a 48 kHz, 16 bit per campione, stereo, e codificato con un codice di canale di rapporto $R_c=0{,}8$. Bit-rate finale? (a) $\approx1{,}92$ Mbit/s, (b) $\approx1{,}536$ Mbit/s, (c) $\approx2{,}4$ Mbit/s, (d) $\approx3$ Mbit/s.

Prima del codice di canale: $48\,000\times16\times2=1{,}536$ Mbit/s. Il codice di canale aggiunge protezione: $R_c=\frac kn=0{,}8$ significa che 80 bit su 100 sono dati, quindi il flusso totale è $\frac{1{,}536}{0{,}8}=1{,}92$ Mbit/s: (a). (b) è il flusso senza ridondanza; (c) e (d) sono ottenuti dividendo per $0{,}8$ due o tre volte ($\frac{1{,}536}{0{,}64}=2{,}4$ e $\frac{1{,}536}{0{,}512}=3$).

Domanda 4 (durata su un supporto, con codice di canale). Determinare la massima durata di un segnale audio su un supporto: campionamento a 42 kHz, due canali, 10 bit per campione, memoria 450 MByte, codice correttore di rapporto $R_c=0{,}84$. (a) 1 ora, (b) 1000 s, (c) 2 ore, (d) mezz'ora.

• Digitalizzazione: $42\cdot10^3\times2\times10=840$ kbit/s.
• Con il codice di canale: $\frac{840}{0{,}84}=1000$ kbit/s $=1$ Mbit/s (il supporto contiene dati e protezione).
• Capacità: $450\ \text{MB}\times8=3600$ Mbit.
• Durata: $T=\frac{3600\ \text{Mbit}}{1\ \text{Mbit/s}}=3600$ s $=1$ ora: (a). (b) è $0{,}28$ volte il tempo giusto; (c) il doppio; (d) la metà (rispettivamente: capacità di 1000 Mbit, flusso di 0,5 Mbit/s, flusso di 2 Mbit/s).

Domanda 5 (minimo bit-rate per canale). Un segnale audio stereo a banda limitata a 18 kHz è filtrato anti-aliasing, campionato alla minima frequenza possibile e quantizzato su 4096 livelli. Quale affermazione è corretta? (a) bit-rate minimo per canale $\approx216$ kbit/s, (b) $\approx288$ kbit/s, (c) $\approx144$ kbit/s, (d) si verifica aliasing.

• Nyquist: $F_c=2\times18=36$ kHz.
• Bit per campione: $\log_24096=12$.
• Bit-rate per canale: $36\,000\times12=432\,000$ bit/s $=432$ kbit/s.

Nessuna delle opzioni (a), (b), (c) è uguale a 432 kbit/s. Il commento del PDF scrive correttamente $36\,000\times12=432\,000$ bit/s, ma poi indica la (a) "$\approx216$ kbit/s" come giusta; 216 kbit/s sarebbe il valore con 6 bit per campione ($36\,000\times6$) oppure con $F_c=18$ kHz a 12 bit. Il valore giusto è 432 kbit/s per canale (864 kbit/s per lo stereo). La (d) è falsa: il filtro anti-aliasing c'è e $F_c=2f_M$ rispetta Nyquist. (Errore nel materiale del corso.)

Domanda 6 (throughput necessario e aliasing). Un segnale audio con contenuto in frequenza limitato a 20 kHz è campionato e quantizzato su 2048 valori. Quale affermazione è corretta? (a) per massimizzare la QoE il segnale digitalizzato va trasmesso su una connessione con throughput non inferiore a 440 kbit/s a meno che non sia compresso; (b) se il throughput è 300 kbit/s il segnale ricevuto sarà affetto da aliasing; (c) il filtro anti-aliasing deve avere frequenza di taglio di almeno 220 kHz.

• Nyquist: $F_c\ge2\cdot20=40$ kHz; bit per campione $\lceil\log_22048\rceil=11$; flusso prodotto $40\,000\times11=440$ kbit/s.
• (a) vera: 440 kbit/s è il flusso prodotto; con meno throughput il buffer cresce e il ritardo aumenta senza limite (o i pacchetti si perdono), a meno di comprimere.
• (b) falsa: l'aliasing dipende da $F_c$ (dal campionamento), non dal throughput della rete; con 300 kbit/s l'effetto è un accumulo di pacchetti nella rete, con ritardi crescenti e perdite.
• (c) falsa: 220 kHz è $11\times20$ kHz (si è moltiplicato per i bit per campione invece che per 2); il filtro deve tagliare a circa 20 kHz, l'unica condizione è quella di Nyquist.

2. Immagini

Domanda 7 (RGB). Un'immagine RGB di $1000\times1000$ pixel, 8 bit per canale: dimensione non compressa? (a) 24 Mbit, (b) 8 Mbit, (c) 3 Mbit, (d) 48 Mbit.

$1000\cdot1000\cdot3\cdot8=24\cdot10^6$ bit: (a). (b) conta un solo canale; (c) è $\frac{24}8$ (sono 3 MByte, non Mbit); (d) è il doppio.

Domanda 8 (YCbCr 4:2:0). Stessa immagine in YCbCr 4:2:0: dimensione? (a) 12 Mbit, (b) 18 Mbit, (c) 24 Mbit, (d) 8 Mbit.

$Y$: $1000\times1000$ campioni; $C_b$ e $C_r$: $500\times500$ ciascuno. $10^6\cdot8+2\cdot250\,000\cdot8=8+4=12$ Mbit: (a). Equivalentemente $1{,}5\,HW\cdot8=12$ Mbit. (b) è 1,5 volte il valore giusto (non corrisponde a un formato standard: il 4:2:2 darebbe $2\,HW\cdot8=16$ Mbit); (c) è l'RGB; (d) è il solo $Y$.

Domanda 9 (tempo di trasmissione, 4:2:0). Immagine $2000\times3000$, YCbCr 4:2:0, 8 bit/canale, senza compressione su un collegamento da 1 Mbit/s. Tempo? (a) 72 s, (b) 36 s, (c) 144 s, (d) 12 s.

$Y$: $2000\cdot3000\cdot8=48$ Mbit; $C_b$ e $C_r$: un quarto ciascuno ($12+12$ Mbit): totale $72$ Mbit, $T=\frac{72}1=72$ s: (a). (c) è il valore RGB (il doppio); (b) è la metà; (d) un sesto.

Domanda 10 (stessa immagine, RGB). (a) 144 s, (b) 36 s, (c) 12 s, (d) 72 s. RGB: $3\cdot6\cdot10^6\cdot8=144$ Mbit $\to144$ s: (a), il doppio del 4:2:0 (che pesa $1{,}5\,HW$ campioni contro $3\,HW$); (d) è il valore del 4:2:0.

Domanda 11 (tempo di trasmissione, immagine più grande). $4000\times3000$ pixel, YCbCr 4:2:0, 8 bit, a 2 Mbit/s. (a) $\approx72$ s, (b) $\approx144$ s, (c) $\approx288$ s, (d) $\approx36$ s.

Bit: $4000\cdot3000\cdot8\cdot1{,}5=144$ Mbit; $T=\frac{144}2=72$ s: (a). (b) dimentica il fattore 2 del throughput (144 s sarebbero a 1 Mbit/s); (c) è quattro volte il giusto; (d) è la metà.

3. Video

Domanda 12 (HD). Video $1920\times1080$, 30 fps, YCbCr 4:2:0, 8 bit. Bit-rate non compresso? (a) $\approx746$ Mbit/s, (b) $\approx373$ Mbit/s, (c) $\approx1$ Gbit/s, (d) $\approx100$ Mbit/s.

$1920\cdot1080\cdot1{,}5\cdot8\cdot30=746{,}5$ Mbit/s: (a). (b) è la metà (15 fps); (c) è circa 1,34 volte il giusto; (d) è circa un settimo.

Domanda 13 (rapporto di compressione minimo). Video 4K ($3840\times2160$), 30 immagini/s, YCbCr 4:2:0 a 8 bit/campione, da trasmettere su una connessione da 10 Mbit/s. Rapporto di compressione minimo? (a) $\approx300$, (b) $\approx200$, (c) $\approx100$, (d) $\approx400$.

Flusso non compresso: $3840\cdot2160\cdot1{,}5\cdot8\cdot30=2{,}986\cdot10^9\approx3$ Gbit/s. Rapporto minimo: $\frac{2{,}986\cdot10^9}{10^7}\approx298{,}6\approx300$: (a). Il rapporto di compressione è un numero puro: flusso non compresso diviso flusso disponibile.

4. Esempi completi dalle slide

Capacità di un CD. Stereo, $F_c=44{,}1$ kHz, 16 bit; il flusso scritto è 87% dati e 13% protezione; 730 MB di dati utili. Data rate $R=44\,100\cdot16\cdot2=1{,}4112$ Mbit/s; bit-rate totale $R_T=\frac R{0{,}87}\approx1{,}622$ Mbit/s; durata $T=\frac{730\cdot8}{1{,}4112}\approx4138$ s $\approx69$ min. (Per la durata si usa $R$ e non $R_T$: i 730 MB sono dati utili.)

Dimensione di un'immagine da 10 Mpixel. RGB: $10+10+10=30$ MB; YCbCr 4:2:0: $10+2{,}5+2{,}5=15$ MB.

Video 1080p a 50 Hz (tabella delle slide). $2\,073\,600\cdot1{,}5\cdot8\cdot50=1244$ Mbit/s; 4K a 10 bit, 4:2:0, 50 Hz: $8\,847\,360\cdot1{,}5\cdot10\cdot50=6635$ Mbit/s; 8K a 10 bit, 4:4:4: $33\,177\,600\cdot3\cdot10\cdot50=49\,766$ Mbit/s.

Errori tipici

• Dimenticare la divisione per 8 passando da bit a byte (o la moltiplicazione passando da byte a bit): conta anche l'unità richiesta (Mbit contro MB).
• Contare tre campioni per pixel in 4:2:0: sono $1{,}5$.
• Moltiplicare per $R_c$ invece di dividere (il flusso con la ridondanza è maggiore).
• Usare $\log_2L$ senza arrotondare per eccesso (2048 livelli: 11 bit; 4096: 12 bit).
• Pensare che il throughput della rete cambi la frequenza di campionamento: l'aliasing dipende solo da $F_c$.