Esercizio - Campionamento, quantizzazione e PSNR (domande ed esercizi del corso)

Teoria: Digitalizzazione dei segnali multimediali - campionamento, quantizzazione e binarizzazioneLa conversione analogico-digitale (ADC) ha tre passi: campionamento $s_c(n)=s(nT_c)$, quantizzazione su $L=2^m$ livelli, binarizzazione dell'indice in $m$ bit; il bit-rate vale $R=F_c\log_2L$. Per il teorema di Shannon un segnale a banda limitata $f_M$ si ricostruisce senza errore se $F_c\ge2f_M$ (criterio di Nyquist), altrimenti c'è aliasing; per questo prima del campionatore c'è un filtro passa-basso. La quantizzazione uniforme di passo $\Delta=\frac{2A}{L}$ è irreversibile, con errore massimo $\frac\Delta2$ e $\mathrm{MSE}=\frac{\Delta^2}{12}$; la qualità si misura con MSE e $\mathrm{PSNR}=10\log_{10}\frac{(2^b-1)^2}{\mathrm{MSE}}$. In ricezione il bit mapper ricostruisce i valori e l'interpolazione con un nucleo $h$ (sample and hold, lineare, cubica, sinc troncato) riporta il segnale al tempo continuo.Digitalizzazione dei segnali multimediali - campionamento, quantizzazione e binarizzazione → (criterio di Nyquist, aliasing, quantizzazione uniforme, $\mathrm{MSE}=\Delta^2/12$, PSNR, interpolazione). Fonte: domande a risposta multipla e slide del corso di Reti di Calcolatori, Ing. Informatica UniPD 2025-26, più esercizi costruiti sul modello di quelli del corso (indicati). I conti sono verificati in Python.

1. Criterio di Nyquist e filtro anti-aliasing

Domanda 1. Un segnale vocale è digitalizzato con un filtro anti-aliasing a frequenza di taglio $f_0$ e con un campionatore a 10 kHz. Quale condizione su $f_0$ assicura l'assenza di aliasing? (a) $f_0<4$ kHz, (b) $f_0<10$ kHz, (c) $f_0<20$ kHz, (d) $f_0>20$ kHz.

Il criterio è $F_c\ge2f_0$, cioè $f_0\le\frac{F_c}2=5$ kHz. Un'opzione è giusta se la sua condizione implica $f_0\le5$ kHz: (a) sì (se $f_0<4$ allora $f_0\le5$). (b) no: per $f_0=7$ kHz, che verifica $f_0<10$, c'è aliasing (7 kHz si ripiega a $|7-10|=3$ kHz). (c) e (d) sono ancora più lasche (e (d) chiede addirittura un filtro che lascia passare tutto, cioè nessun filtro).

Domanda 2. Un segnale ha banda limitata a 8 kHz e viene campionato. Frequenza minima di campionamento per evitare aliasing? (a) 16 kHz, (b) 8 kHz, (c) 4 kHz, (d) 32 kHz.

$F_c\ge2f_{\max}=2\cdot8=16$ kHz: (a). (b) e (c) violano Nyquist (si campionerebbero a meno di due campioni per periodo della componente più veloce); (d) rispetta Nyquist ma non è il minimo.

Domanda 3. La minima frequenza di campionamento per un segnale con banda 10 kHz è: (a) 20 kHz, (b) 10 kHz, (c) 5 kHz. Direttamente da Nyquist: $2\cdot10=20$ kHz: (a).

Esercizio (aliasing, costruito sul modello del corso). Campionando a $F_c=8$ kHz senza filtro, a quale frequenza appaiono i toni a 3, 5, 6, 7, 9, 13 kHz? Formula: $f_{\text{app}}=|f-F_c\cdot\mathrm{round}(f/F_c)|$.

Si vede che 3, 5 e 13 kHz diventano indistinguibili (tutti a 3 kHz): una volta campionato, un alias non si può eliminare; per questo il filtro va prima del campionatore. Con il filtro a $F_c/2=4$ kHz i toni a 5, 6, 7, 9, 13 kHz sono eliminati (attenuati) prima di essere campionati.

2. Quantizzazione uniforme

Esercizio (campioni delle slide). Il segnale ha ampiezza in $[0,1]$ e si usa un quantizzatore con livelli multipli di $\Delta=\frac17\approx0{,}143$ (livelli $\Delta,2\Delta,\dots,7\Delta$). I campioni sono $0{,}546,\ 0{,}876,\ 1,\ 0{,}832,\ 0{,}454,\ 0{,}162,\ 0{,}092,\ 0{,}260$.

Indici $\mathrm{round}(x/\Delta)=\mathrm{round}(7x)$: $3{,}82\to4$; $6{,}13\to6$; $7\to7$; $5{,}82\to6$; $3{,}18\to3$; $1{,}13\to1$; $0{,}64\to1$; $1{,}82\to2$. Livelli quantizzati: $4\Delta,6\Delta,7\Delta,6\Delta,3\Delta,\Delta,\Delta,2\Delta$ (come nella slide), cioè $0{,}571;\,0{,}857;\,1;\,0{,}857;\,0{,}429;\,0{,}143;\,0{,}143;\,0{,}286$. Errori $Q(x)-x$: $+0{,}025;\,-0{,}019;\,0;\,+0{,}025;\,-0{,}025;\,-0{,}019;\,+0{,}051;\,+0{,}026$: tutti sotto $\frac\Delta2=0{,}0714$ in modulo. $\mathrm{MSE}=\frac1N\sum e_n^2\approx7{,}4\cdot10^{-4}$, più piccolo della previsione $\frac{\Delta^2}{12}=1{,}7\cdot10^{-3}$: con soli 8 campioni l'errore non è ancora distribuito in modo uniforme (la previsione è una media su molti campioni). Se ogni indice è scritto su 3 bit ($L\le8$ livelli), il flusso binario è $100\,110\,111\,110\,011\,001\,001\,010$ (24 bit per 8 campioni).

Esercizio (mid-tread contro mid-rise, costruito). Segnale in $(-1,1)$, $\Delta=0{,}5$ ($L=4$). Si quantizza $x=0{,}3$.

• Mid-tread: $Q=\Delta\,\mathrm{round}(x/\Delta)=0{,}5\,\mathrm{round}(0{,}6)=0{,}5$; errore $+0{,}2$ (minore di $\Delta/2=0{,}25$).
• Mid-rise: $Q=\Delta(\lfloor x/\Delta\rfloor+\frac12)=0{,}5\,(\lfloor0{,}6\rfloor+0{,}5)=0{,}25$; errore $-0{,}05$. Per il mid-rise, 0 non è un livello: i livelli sono $\pm0{,}25,\pm0{,}75$. Il mid-tread con $L=4$ su $(-1,1)$ avrebbe livelli $-1,-0{,}5,0,0{,}5$ (asimmetrici: serve un livello in più dal lato positivo) oppure tre livelli simmetrici $-0{,}5,0,0{,}5$.

Esercizio (SQNR, costruito). (a) Quanti bit servono per avere $\mathrm{SQNR}\ge90$ dB con segnale uniforme? $6{,}02\,b\ge90\Rightarrow b\ge14{,}95$, quindi 15 bit (SQNR $=90{,}3$ dB). (b) Se si passa da 8 a 12 bit per campione di un segnale uniforme, di quanto migliora il rapporto segnale-rumore? $4\cdot6{,}02=24{,}1$ dB; la potenza del rumore diventa $\frac1{4^4}=\frac1{256}$ della precedente (perché $\Delta$ si divide per 16 e $\mathrm{MSE}\propto\Delta^2$). (c) Un convertitore a 10 bit con ingresso uniforme su $(-1,1)$: $\Delta=\frac2{1024}=0{,}00195$, $\mathrm{MSE}=\frac{\Delta^2}{12}=3{,}2\cdot10^{-7}$, $\mathrm{SQNR}=60{,}2$ dB.

3. MSE e PSNR

Esercizio (PSNR dopo requantizzazione, costruito sul modello della slide). Un'immagine in scala di grigi a 8 bit viene requantizzata a 5 bit (32 livelli). Stima del PSNR assumendo errore uniforme.

• Passo: $\Delta=\frac{256}{32}=8$ livelli di grigio.
• $\mathrm{MSE}=\frac{\Delta^2}{12}=\frac{64}{12}=5{,}33$.
• $\mathrm{PSNR}=10\log_{10}\frac{255^2}{5{,}33}=10\log_{10}12\,192=40{,}86$ dB. Con la regola $48{,}13-10\log_{10}5{,}33=48{,}13-7{,}27=40{,}86$ dB.
• Giudizio: "molto buona" (40-45 dB). A 4 bit (da 8): $\Delta=16$, MSE $=21{,}3$, PSNR $=34{,}8$ dB ("buona"); a 2 bit: $22{,}8$ dB ("scadente"). Ogni bit tolto riduce il PSNR di circa 6 dB (da 5 a 4 bit: $40{,}9\to34{,}8$ dB).

Esercizio (da MSE a PSNR). Due versioni di una stessa immagine hanno MSE 10 e MSE 100. $\mathrm{PSNR}_1=48{,}13-10=38{,}1$ dB, $\mathrm{PSNR}_2=48{,}13-20=28{,}1$ dB: un fattore 10 sull'MSE vale 10 dB. La prima è "buona", la seconda "scadente".

4. Binarizzazione e interpolazione

Esercizio (bit mapper, dalla slide). I livelli $-1,-0{,}5,0,0{,}5,1$ hanno i codici $000,001,010,011,100$. Il ricevitore riceve $010\,001\,000\,001\,010$: legge a blocchi di 3 bit $\to0,-0{,}5,-1,-0{,}5,0$. Si trasmette l'indice binarizzato, non il valore (per esempio con $\Delta=1$ e $Q(3{,}1)=3$ si trasmette il codice di 3, non il numero 3).

Esercizio (interpolazione, costruito). Campioni $s(0)=0$, $s(T_c)=2$, $s(2T_c)=4$. Valore ricostruito a $t=1{,}5T_c$:

• sample and hold: $\tilde s=s(T_c)=2$ (il rettangolo $\mathrm{rect}(t-\frac12)$ dura da $T_c$ a $2T_c$);
• lineare: $\tilde s=\frac{2+4}2=3$ (media dei due campioni vicini: il triangolo vale $\frac12$ a distanza $\frac12$);
• a campione $t=T_c$ entrambi i nuclei danno 2: l'interpolazione conserva i campioni perché $h(0)=1$ e $h(n)=0$ per $n\ne0$. Per un segnale che è davvero una retta (qui $s=2t/T_c$) l'interpolazione lineare è esatta (vale 3 a $1{,}5T_c$) e il sample and hold sbaglia di 1.

Errori tipici

• Scrivere $F_c\ge f_M$ invece di $F_c\ge2f_M$; scambiare "minimo" con "sufficiente".
• Pensare che il throughput della rete cambi l'aliasing: dipende solo da $F_c$ e dal filtro.
• Usare $\Delta=\frac AL$ per $(-A,A)$ (è $\frac{2A}L$).
• Dimenticare che il PSNR cresce di circa 6 dB per bit e che l'MSE è in unità del segnale al quadrato.
• Confondere livelli (valori) e indici (bit): al ricevitore serve il bit mapper.