Campo come gradiente del potenziale e superfici equipotenziali

Lezione dell'08.10 (sezioni 2.4 e 2.5 del libro di testo). Prerequisiti: Lavoro della forza elettrica e potenziale elettrostaticoIl lavoro della forza elettrostatica non dipende dal percorso (campo conservativo, circuitazione nulla); si definisce quindi il potenziale V con V(B) − V(A) = −∫ da A a B di E·ds, misurato in volt (1 V = 1 J/C). Carica puntiforme: V = q/(4πε₀r) con V(∞) = 0; più cariche: somma (scalare) dei potenziali. La forza elettromotrice di un percorso chiuso è la circuitazione di E, nulla in elettrostatica.Lavoro della forza elettrica e potenziale elettrostatico →. L'operatore $\nabla$ torna in Divergenza, rotore ed equazioni di Maxwell per l'elettrostaticaCon l'operatore nabla ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) si definiscono divergenza ∇·E (quanto campo "nasce" in un punto) e rotore ∇×E (quanto campo "gira"). Teoremi della divergenza e di Stokes trasformano le leggi integrali in leggi locali: le equazioni dell'elettrostatica sono ∮E·n dS = Q/ε₀ ⇔ ∇·E = ρ/ε₀ e ∮E·ds = 0 ⇔ ∇×E = 0; da E = −∇V segue l'equazione di Poisson ∇²V = −ρ/ε₀.Divergenza, rotore ed equazioni di Maxwell per l'elettrostatica →.

Dal campo al potenziale e ritorno

Il potenziale si ottiene dal campo con un integrale, $V(B) - V(A) = -\int_A^B\vec E\cdot d\vec s$. Si può fare il cammino inverso, con una derivata.

Caso unidimensionale. Per uno spostamento piccolo $dx$ lungo $x$: $dV = -E_x\,dx$, quindi

$$E_x = -\frac{dV}{dx}.$$

Il campo è la pendenza del potenziale cambiata di segno: dove il potenziale scende ripidamente, il campo è intenso e punta nel verso della discesa.

Caso generale. Per uno spostamento qualsiasi $d\vec s = (dx, dy, dz)$:

$$dV = -\vec E\cdot d\vec s = -(E_x\,dx + E_y\,dy + E_z\,dz).$$

D'altra parte, per una funzione di tre variabili, $dV = \frac{\partial V}{\partial x}dx + \frac{\partial V}{\partial y}dy + \frac{\partial V}{\partial z}dz$ (differenziale totale). Confrontando termine a termine:

$$\vec E = -\nabla V, \qquad E_x = -\frac{\partial V}{\partial x}, \quad E_y = -\frac{\partial V}{\partial y}, \quad E_z = -\frac{\partial V}{\partial z}.$$

Il gradiente $\nabla V = \left(\frac{\partial V}{\partial x}, \frac{\partial V}{\partial y}, \frac{\partial V}{\partial z}\right)$ è il vettore che indica la direzione in cui $V$ cresce più rapidamente, e il cui modulo è quella rapidità di crescita. Il campo punta nel verso opposto: dove $V$ decresce più rapidamente.

Le derivate parzialiSi deriva rispetto a una variabile trattando le altre come costanti. si calcolano come derivate ordinarie, tenendo fisse le altre variabili.

Perché è utile. Il potenziale è uno scalare e si calcola con una somma di numeri; il campo è un vettore e richiede di sommare componenti. Spesso conviene calcolare $V$ e poi derivare.

Esempi

Carica puntiforme. $V = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$ dipende solo da $r$; la derivata rispetto a $r$ dà la componente radiale: $$E_r = -\frac{dV}{dr} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}. \ ✓$$

Anello sull'asse. $V(z) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{R^2 + z^2}}$: $$E_z = -\frac{dV}{dz} = -\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\left(-\frac12\right)\frac{2z}{(R^2 + z^2)^{3/2}} = \frac{qz}{4\pi\varepsilon_0(R^2 + z^2)^{3/2}},$$ lo stesso risultato ottenuto integrando in Distribuzioni continue di carica - filo, anello, disco, pianoUna carica distribuita si descrive con densità lineare λ, superficiale σ o volumetrica ρ; il campo si ottiene sommando (integrando) i campi dE = dq/(4πε₀r²) dei pezzetti dq, sfruttando le simmetrie. Risultati: filo indefinito E = λ/(2πε₀r), anello sull'asse E = qz/(4πε₀(R²+z²)^(3/2)), disco sull'asse E = σ/(2ε₀)·(1 − z/√(R²+z²)), piano indefinito E = σ/(2ε₀) uniforme.Distribuzioni continue di carica - filo, anello, disco, piano →, con molti meno conti.

Attenzione: conoscere $V$ solo lungo l'asse dà solo la componente del campo lungo l'asse. Per le componenti trasversali servirebbe $V$ anche fuori dall'asse (qui sono nulle per simmetria).

Campo uniforme. Se $V = -Ex + \text{cost}$, allora $E_x = E$: un potenziale che varia linearmente corrisponde a un campo uniforme.

Esempio numerico. Se $V(x, y) = 3x^2 y - 2y$ (in volt, con $x, y$ in metri), nel punto $(1, 2)$: $$E_x = -6xy = -12\ \text{V/m}, \qquad E_y = -(3x^2 - 2) = -1\ \text{V/m}.$$

Superfici equipotenziali

Una superficie equipotenziale è l'insieme dei punti in cui il potenziale ha lo stesso valore: $V(x, y, z) = \text{costante}$.

Proprietà

1. Spostarsi su una equipotenziale non costa lavoro: $W = -q\,\Delta V = 0$.
2. Le linee di campo sono perpendicolari alle equipotenziali. Per uno spostamento $d\vec s$ tangente alla superficie $dV = 0$, quindi $\vec E\cdot d\vec s = 0$: il campo è perpendicolare a ogni direzione tangente, cioè alla superficie.
3. Il campo punta da equipotenziali più alte a più basse.
4. Dove le equipotenziali (disegnate a intervalli di $V$ uguali) sono fitte, il campo è intenso: lo stesso $\Delta V$ si percorre in una distanza minore, e $E \approx \frac{\Delta V}{\Delta s}$.
5. Due equipotenziali diverse non si intersecano.

Esempi

Per una carica puntiforme le sfere equipotenziali a intervalli uguali di $V$ diventano sempre più distanziate allontanandosi (perché $V \propto \frac1r$ cambia sempre più lentamente): il campo si indebolisce.

L'ultima riga anticipa un risultato importante: in un conduttore in equilibrio il campo interno è nullo, quindi tutto il conduttore è allo stesso potenziale e il campo esterno è perpendicolare alla superficie (Conduttori in equilibrio, conduttori cavi e schermo elettrostaticoIn un conduttore in equilibrio il campo interno è nullo, il conduttore è tutto allo stesso potenziale, la carica sta sulla superficie e appena fuori il campo è perpendicolare alla superficie con modulo σ/ε₀ (teorema di Coulomb). In una cavità vuota il campo è nullo (schermo elettrostatico); una carica q dentro la cavità induce −q sulla parete interna e +q su quella esterna (induzione completa).Conduttori in equilibrio, conduttori cavi e schermo elettrostatico →).

Riepilogo

Errori comuni

• Dimenticare il segno meno: il campo punta verso i potenziali decrescenti.
• Derivare un potenziale noto solo lungo una retta e pretendere tutte le componenti del campo.
• Pensare che su una equipotenziale il campo sia nullo: è il lavoro per spostarsi lungo di essa a essere nullo; il campo c'è ed è perpendicolare.