Carica e scarica di un condensatore (circuito RC)

Lezione del 10.11 (sezione 5.8 del libro di testo). Prerequisiti: Condensatori - capacità, serie e paralleloUn condensatore sono due conduttori in induzione completa con cariche ±q; la capacità C = q/ΔV (farad) dipende solo dalla geometria: piano ε₀S/d, sferico 4πε₀R₁R₂/(R₂ − R₁), cilindrico 2πε₀L/ln(R₂/R₁). In parallelo le capacità si sommano (stessa ΔV), in serie si sommano gli inversi (stessa carica). Con un dielettrico che riempie il condensatore C diventa ε_r C.Condensatori - capacità, serie e parallelo →, Energia del campo elettrostaticoCaricare un condensatore costa lavoro, immagazzinato come energia U = ½q²/C = ½CΔV² = ½qΔV; questa energia è localizzata nel campo, con densità u = ½ε₀E² (½εE² in un dielettrico). Con il condensatore isolato si conserva q, collegato al generatore si conserva ΔV: nel secondo caso il generatore fa un lavoro doppio della variazione di energia del condensatore.Energia del campo elettrostatico →, Forza elettromotrice e resistenza interna del generatorePer mantenere una corrente in un circuito chiuso serve un campo non conservativo (campo elettromotore E*) dentro il generatore: la forza elettromotrice è ℰ = ∮ E*·ds, il lavoro per unità di carica fatto dal generatore. Un generatore reale ha una resistenza interna r: la tensione ai morsetti è ΔV = ℰ − ri, la corrente in un carico R è i = ℰ/(R + r), e il generatore eroga la potenza ℰi.Forza elettromotrice e resistenza interna del generatore →. L'analogo con l'induttanza è il circuito RL in Autoinduzione, circuiti RL e LC, energia magnetica. È una domanda di teoria (appello 24.06.2025) e una parte di molti problemi.

Carica del condensatore

L'equazione del circuito

Un generatore ideale di f.e.m. $\mathcal E$, una resistenza $R$ e un condensatore $C$ inizialmente scarico sono in serie; all'istante $t = 0$ si chiude l'interruttore. A un istante qualsiasi circola la corrente $i$ e il condensatore ha carica $q$. Lungo la maglia la f.e.m. è uguale alla somma delle cadute di tensione:

$$\mathcal E = Ri + \frac qC.$$

La corrente è la carica che arriva sull'armatura per unità di tempo: $i = \frac{dq}{dt}$. Si ottiene l'equazione differenziale del primo ordine

$$R\frac{dq}{dt} + \frac qC = \mathcal E.$$

Soluzione

Si separano le variabili: $\frac{dq}{C\mathcal E - q} = \frac{dt}{RC}$. Integrando da $q = 0$ a $q$ e da $0$ a $t$:

$$-\ln\frac{C\mathcal E - q}{C\mathcal E} = \frac{t}{RC} \implies C\mathcal E - q = C\mathcal E\,e^{-t/RC}.$$

Carica: $$q(t) = C\mathcal E\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad i(t) = \frac{dq}{dt} = \frac{\mathcal E}{R}e^{-t/\tau}, \qquad \tau = RC.$$

• All'inizio il condensatore scarico non oppone tensione: la corrente parte dal valore massimo $\frac{\mathcal E}{R}$, come se il condensatore fosse un cortocircuito.
• Man mano che si carica, la sua tensione $q/C$ si oppone al generatore e la corrente cala.
• A regime ($t \to \infty$) $i = 0$ e $q = C\mathcal E$: il condensatore si comporta come un circuito aperto, con tutta la f.e.m. ai suoi capi.

La costante di tempo

$\tau = RC$ ha le dimensioni di un tempo ($\Omega\cdot$F $=$ V/A $\cdot$ C/V $=$ s) e decide la velocità del transitorio:

Dopo circa $5\tau$ il transitorio si considera esaurito. Esempio: $R = 120$ k$\Omega$, $C = 225{,}8$ pF: $\tau = 27{,}1\ \mu$s, transitorio finito dopo circa $135\ \mu$s (appello 18.02.2026, Esercizio 21 · condensatore piano e cilindrico in serie con dielettrico e scarica).

Tempo per raggiungere una certa carica. Da $q = q_\infty(1 - e^{-t/\tau})$: $t = -\tau\ln\left(1 - \frac{q}{q_\infty}\right)$. (Appello 16.09.2025, Esercizio 17 · condensatori sferico e piano in serie, carica RC ed estrazione del dielettrico.)

Scarica del condensatore

Il condensatore carico ($q_0$, d.d.p. $V_0 = q_0/C$) si chiude su una resistenza $R$, senza generatore. Equazione di maglia: $Ri + \frac qC = 0$. Ora la corrente che esce dall'armatura positiva riduce la carica, quindi $i = -\frac{dq}{dt}$:

$$R\frac{dq}{dt} + \frac qC = 0 \implies \frac{dq}{q} = -\frac{dt}{RC}.$$

Scarica: $$q(t) = q_0\,e^{-t/\tau}, \qquad V_C(t) = V_0\,e^{-t/\tau}, \qquad i(t) = \frac{V_0}{R}e^{-t/\tau}.$$

Dopo $\tau$ resta il $37\%$ della carica; dopo $5\tau$ meno dell'$1\%$.

Quale resistenza nella scarica. Se il condensatore si scarica attraverso una parte del circuito, $\tau$ si calcola con la resistenza vista dal condensatore in quella configurazione. Nell'appello del 26.06.2026 (Esercizio 23 · condensatore con dielettrico in un partitore resistivo) il condensatore, aprendo l'interruttore, si scarica solo su $R_2$: $\tau = R_2 C$.

Bilancio energetico

Durante la carica

• Il generatore sposta la carica totale $q_\infty = C\mathcal E$ alla f.e.m. $\mathcal E$: $W_{\text{gen}} = \mathcal E q_\infty = C\mathcal E^2$.
• Il condensatore a fine carica immagazzina $U = \frac12 C\mathcal E^2$.
• La resistenza dissipa $$W_R = \int_0^\infty R\,i^2\,dt = \int_0^\infty R\frac{\mathcal E^2}{R^2}e^{-2t/\tau}dt = \frac{\mathcal E^2}{R}\cdot\frac\tau2 = \frac12 C\mathcal E^2.$$

Durante la carica, metà dell'energia fornita dal generatore va nel condensatore e metà si dissipa nella resistenza, qualunque sia il valore di $R$.

($R$ cambia solo la durata del transitorio, non l'energia persa.)

Durante la scarica

Tutta l'energia iniziale del condensatore si dissipa nella resistenza. L'energia rimasta al tempo $t$ è

$$U(t) = \frac{q(t)^2}{2C} = U_0\,e^{-2t/\tau}.$$

Decresce con costante di tempo $\tau/2$: l'energia va come il quadrato della carica. L'energia dissipata tra $0$ e $t_1$ è

$$W_R(t_1) = \int_0^{t_1}R\,i^2\,dt = \frac{V_0^2}{R}\cdot\frac\tau2\left(1 - e^{-2t_1/\tau}\right) = U_0\left(1 - e^{-2t_1/\tau}\right).$$

Esempi d'esame.

• Energia dissipata dopo $t_1 = \tau$ (appello 23.01.2025, Esercizio 9 · condensatore piano con dielettrico estratto a metà e scarica): $W_R = U_0(1 - e^{-2}) \approx 0{,}865\,U_0$.
• Tempo per dimezzare l'energia (appello 26.06.2026): $e^{-2t/\tau} = \frac12 \implies t = \frac{\tau}{2}\ln 2$. Attenzione: è la metà del tempo di dimezzamento della carica ($\tau\ln 2$).

Domanda d'esame tipo

"Si scriva l'equazione di Ohm per un circuito RC; la si risolva per la chiusura del circuito."

1. $\mathcal E = Ri + q/C$, con $i = dq/dt$: $R\,\dot q + q/C = \mathcal E$.
2. Separazione delle variabili con $q(0) = 0$: $q = C\mathcal E(1 - e^{-t/RC})$, $i = \frac{\mathcal E}{R}e^{-t/RC}$.
3. Commento: costante di tempo $\tau = RC$; corrente iniziale $\mathcal E/R$, finale nulla; energia: metà al condensatore, metà dissipata.

Riepilogo

Errori comuni

• Usare la carica del regime nella fase iniziale: all'istante $0$ in carica $q = 0$ e $i = \mathcal E/R$.
• Dimenticare il fattore 2 nell'esponente dell'energia.
• Sbagliare la resistenza della costante di tempo quando nel circuito ce ne sono più di una.
• Pensare che una resistenza piccola riduca le perdite in carica: la perdita è sempre $\frac12 C\mathcal E^2$.