Legge di Coulomb e principio di sovrapposizione

Lezione del 29.09 (sezione 1.3 del libro di testo). Prerequisiti: Carica elettrica, conduttori e isolantiLa carica elettrica è una proprietà della materia, di due segni, quantizzata (multipla di e = 1,6·10⁻¹⁹ C) e conservata; nei conduttori alcune cariche (elettroni di conduzione) si muovono liberamente, negli isolanti no. Un corpo si elettrizza per strofinio, per contatto o per induzione, e l'elettroscopio a foglie rivela la presenza di carica.Carica elettrica, conduttori e isolanti →. Seguito: Campo elettrostatico di cariche puntiformiIl campo elettrostatico E = F/q₀ è la forza per unità di carica che subirebbe una carica di prova in un punto; per una carica puntiforme vale E = q/(4πε₀r²) in direzione radiale (uscente se q > 0), per più cariche si sommano i vettori; si misura in N/C = V/m e una carica q in un campo E subisce F = qE.Campo elettrostatico di cariche puntiformi →.

La bilancia di torsione

Coulomb (1785) misurò la forza tra due piccole sfere cariche con una bilancia di torsione: un'asta leggera appesa a un filo sottile, con una sferetta carica a un'estremità. Avvicinando un'altra sfera carica, la forza elettrica fa ruotare l'asta e torce il filo; l'angolo di torsione è proporzionale al momento della forza, quindi alla forza stessa. Cambiando distanza e cariche (le cariche si dimezzavano toccando la sfera con una identica scarica), trovò che la forza

• è inversamente proporzionale al quadrato della distanza;
• è proporzionale al prodotto delle cariche;
• è diretta lungo la retta congiungente le due cariche.

La legge di Coulomb

Due cariche puntiformi $q_1$ e $q_2$, ferme, a distanza $r$ nel vuoto, si esercitano forze di modulo $$F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{|q_1 q_2|}{r^2}.$$ In forma vettoriale, la forza che $q_1$ esercita su $q_2$ è $$\vec F_{12} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r^2}\,\hat u_{12},$$ dove $\hat u_{12}$ è il versore che va da $q_1$ a $q_2$.

La costante. $\varepsilon_0 = 8{,}854 \cdot 10^{-12}\ \frac{\text{C}^2}{\text{N}\,\text{m}^2}$ è la costante dielettrica del vuoto, e

$$k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 8{,}99 \cdot 10^9\ \frac{\text{N}\,\text{m}^2}{\text{C}^2} \approx 9 \cdot 10^9\ \frac{\text{N}\,\text{m}^2}{\text{C}^2}.$$

Il fattore $4\pi$ sembra complicare le cose qui, ma semplifica tutte le formule successive (legge di Gauss, condensatori): è la superficie della sfera unitaria, e compare naturalmente quando la forza si "distribuisce" su sfere concentriche.

Il segno decide il verso. Con $\hat u_{12}$ che punta da $q_1$ verso $q_2$:

• $q_1 q_2 > 0$ (stesso segno): $\vec F_{12}$ ha il verso di $\hat u_{12}$, cioè allontana $q_2$ da $q_1$: repulsione;
• $q_1 q_2 < 0$ (segni opposti): verso opposto, attrazione.

Terza legge di Newton. $\vec F_{21} = -\vec F_{12}$: le due forze sono uguali in modulo, opposte in verso, sulla stessa retta.

Puntiforme significa: dimensioni trascurabili rispetto alla distanza. Per corpi estesi si divide la carica in pezzetti puntiformi e si somma (sovrapposizione), arrivando agli integrali delle Distribuzioni continue di carica - filo, anello, disco, pianoUna carica distribuita si descrive con densità lineare λ, superficiale σ o volumetrica ρ; il campo si ottiene sommando (integrando) i campi dE = dq/(4πε₀r²) dei pezzetti dq, sfruttando le simmetrie. Risultati: filo indefinito E = λ/(2πε₀r), anello sull'asse E = qz/(4πε₀(R²+z²)^(3/2)), disco sull'asse E = σ/(2ε₀)·(1 − z/√(R²+z²)), piano indefinito E = σ/(2ε₀) uniforme.Distribuzioni continue di carica - filo, anello, disco, piano →.

Ordini di grandezza

Due cariche da $1\ \mu$C a $10$ cm: $F = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{10^{-6} \cdot 10^{-6}}{(0{,}1)^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot 10^{-10} = 0{,}9$ N. Due cariche "di strofinio" esercitano forze ben percepibili.

Confronto con la gravità nell'atomo di idrogeno (elettrone e protone a $r = 5{,}3 \cdot 10^{-11}$ m): $$F_e = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot (1{,}6 \cdot 10^{-19})^2}{(5{,}3 \cdot 10^{-11})^2} \approx 8{,}2 \cdot 10^{-8}\ \text{N}, \qquad F_g = \frac{G m_e m_p}{r^2} \approx 3{,}6 \cdot 10^{-47}\ \text{N}.$$ Il rapporto è circa $10^{39}$: a livello atomico la gravità è del tutto trascurabile. Nella vita quotidiana domina la gravità solo perché la materia è quasi perfettamente neutra.

Principio di sovrapposizione

Se su una carica $q$ agiscono più cariche $q_1, q_2, \dots, q_N$, la forza totale è la somma vettoriale delle forze che ciascuna eserciterebbe da sola: $$\vec F = \sum_{i=1}^N \vec F_i = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^N \frac{q_i}{r_i^2}\,\hat u_i,$$ dove $r_i$ è la distanza di $q$ da $q_i$ e $\hat u_i$ il versore da $q_i$ a $q$.

È un fatto sperimentale: la presenza di altre cariche non modifica la forza tra due cariche. Matematicamente dice che le equazioni dell'elettrostatica sono lineari.

Attenzione: si sommano vettori, non moduli. Il metodo pratico:

1. disegnare le forze, ciascuna con il suo verso (repulsiva o attrattiva);
2. scegliere un sistema di assi, possibilmente sfruttando le simmetrie;
3. scomporre ogni forza in componenti e sommare componente per componente;
4. ricomporre modulo e direzione.

Esempio 1: tre cariche allineate

$q_1 = +2\ \mu$C in $x = 0$, $q_2 = -3\ \mu$C in $x = 0{,}2$ m, $q = +1\ \mu$C in $x = 0{,}1$ m (a metà).

• $q_1$ respinge $q$ verso destra: $F_1 = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{2 \cdot 10^{-6} \cdot 10^{-6}}{0{,}01} = 1{,}8$ N, verso $+x$.
• $q_2$ attira $q$ verso di sé, cioè verso destra: $F_2 = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{3 \cdot 10^{-12}}{0{,}01} = 2{,}7$ N, verso $+x$.
• Totale: $F = 4{,}5$ N verso $+x$. Le due forze si sommano perché puntano dalla stessa parte.

Esempio 2: carica al vertice di un triangolo

Due cariche uguali $q_1 = q_2 = +Q$ sono ai vertici di base di un triangolo equilatero di lato $a$; una carica $+q$ è nel terzo vertice. Ciascuna delle due esercita una forza di modulo $F_1 = \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0 a^2}$, diretta lungo il lato corrispondente, verso l'esterno.

Per simmetria le componenti orizzontali (parallele alla base) si cancellano; quelle verticali si sommano. Ciascun lato forma un angolo di $30°$ con la verticale, quindi

$$F = 2F_1\cos 30° = \sqrt3\,\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0 a^2},$$

diretta lungo l'asse del triangolo, verso l'esterno. Usare la simmetria fa risparmiare metà dei conti ed è un controllo: se il risultato non rispetta la simmetria del problema, c'è un errore.

Esempio 3: punto di equilibrio

$q_1 = +4\ \mu$C in $x = 0$, $q_2 = +1\ \mu$C in $x = d = 0{,}3$ m. Dove si può mettere una terza carica perché sia in equilibrio (forza totale nulla)?

• Fuori dal segmento le due forze hanno lo stesso verso: niente equilibrio.
• Tra le due cariche le forze sono opposte; si annullano se $\frac{q_1}{x^2} = \frac{q_2}{(d - x)^2}$, cioè $\frac{d - x}{x} = \sqrt{\frac{q_2}{q_1}} = \frac12$, quindi $x = \frac{2d}{3} = 0{,}2$ m.

Il punto è più vicino alla carica più piccola, come ci si aspetta. Il risultato non dipende né dal valore né dal segno della terza carica (che compare in entrambi i lati e si semplifica).

Riepilogo

Errori comuni

• Sommare i moduli invece dei vettori.
• Dimenticare il quadrato della distanza, o usare il diametro al posto della distanza tra i centri.
• Unità: le distanze in metri e le cariche in coulomb ($\mu$C $= 10^{-6}$ C, nC $= 10^{-9}$ C).
• Mettere il segno delle cariche nel modulo: per il modulo si usa $|q_1q_2|$; il verso si decide a parte (attrazione o repulsione).