Distribuzioni continue di carica - filo, anello, disco, piano

Lezione del 01.10 (sezione 1.5 ed esempi 1.5, 1.6, 1.7 del libro di testo). Prerequisiti: Campo elettrostatico di cariche puntiformiIl campo elettrostatico E = F/q₀ è la forza per unità di carica che subirebbe una carica di prova in un punto; per una carica puntiforme vale E = q/(4πε₀r²) in direzione radiale (uscente se q > 0), per più cariche si sommano i vettori; si misura in N/C = V/m e una carica q in un campo E subisce F = qE.Campo elettrostatico di cariche puntiformi →. Gli stessi risultati si ritrovano in modo più rapido con la Legge di Gauss - guscio, sfera, cilindro e pianoCon la legge di Gauss e una superficie scelta secondo la simmetria si trovano subito i campi: guscio sferico (nullo dentro, q/(4πε₀r²) fuori), sfera piena uniforme (ρr/(3ε₀) dentro, cresce linearmente), cilindro o filo indefinito (λ/(2πε₀r) fuori), piano indefinito (σ/(2ε₀)); integrando il campo si ottengono i potenziali.Legge di Gauss - guscio, sfera, cilindro e piano →.

Densità di carica

Su un oggetto macroscopico la carica è formata da miliardi di cariche elementari: conviene descriverla come una distribuzione continua, con una densità.

Se la distribuzione è uniforme la densità è costante: $\lambda = \frac{q}{L}$, $\sigma = \frac{q}{S}$, $\rho = \frac{q}{V}$.

Il metodo

1. Dividere la distribuzione in pezzetti $dq$, ciascuno abbastanza piccolo da essere trattato come una carica puntiforme.
2. Scrivere il campo $d\vec E$ prodotto da $dq$ nel punto $P$: $dE = \frac{dq}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$, diretto da $dq$ verso $P$.
3. Usare la simmetria per capire quali componenti si cancellano a coppie e quale sopravvive.
4. Integrare solo la componente che sopravvive.

Il passo 3 è quello che rende i conti fattibili: senza simmetria bisognerebbe integrare tre componenti.

Filo rettilineo

Filo di lunghezza finita, punto sull'asse perpendicolare

Filo lungo l'asse $x$, da $-L$ a $L$, con densità uniforme $\lambda$. Punto $P$ a distanza $R$ dal filo, sull'asse $y$ (di fronte al centro).

• Pezzetto $dq = \lambda\,dx$ in posizione $x$; distanza da $P$: $r = \sqrt{x^2 + R^2}$.
• Per ogni pezzetto in $x$ c'è il simmetrico in $-x$: le componenti lungo $x$ si cancellano. Sopravvive la componente $y$, che è $dE\cos\theta$ con $\cos\theta = \frac{R}{r}$.

$$E_y = \int_{-L}^{L}\frac{\lambda\,dx}{4\pi\varepsilon_0(x^2 + R^2)}\cdot\frac{R}{\sqrt{x^2 + R^2}} = \frac{\lambda R}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-L}^{L}\frac{dx}{(x^2 + R^2)^{3/2}}.$$

Con la primitiva $\int\frac{dx}{(x^2 + R^2)^{3/2}} = \frac{x}{R^2\sqrt{x^2 + R^2}}$ (si verifica derivando):

$$E = \frac{\lambda R}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{2L}{R^2\sqrt{L^2 + R^2}} = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 R}\cdot\frac{L}{\sqrt{L^2 + R^2}}.$$

Filo indefinito

Mandando $L \to \infty$ il fattore $\frac{L}{\sqrt{L^2 + R^2}} \to 1$:

Filo rettilineo indefinito con densità $\lambda$, a distanza $R$: $$E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 R},$$ radiale rispetto al filo (perpendicolare a esso), uscente se $\lambda > 0$.

Il campo decresce come $\frac1R$, più lentamente di quello di una carica puntiforme ($\frac{1}{r^2}$): allontanandosi, la carica "vista" cresce, perché si vede un pezzo di filo sempre più lungo. Il risultato è una buona approssimazione anche per un filo finito, se $R \ll L$ (punto vicino al filo e lontano dalle estremità).

Esempio (primo appello 23.01.2024, Esercizio 1 · filo carico e piano carico, potenziale e velocità): $\lambda = 20$ nC/m a $R = 4{,}5$ cm dà $E = \frac{2 \cdot 10^{-8}}{2\pi \cdot 8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot 0{,}045} \approx 8{,}0$ kV/m.

Anello carico, punto sull'asse

Anello di raggio $R$ con carica totale $q$ distribuita uniformemente ($\lambda = \frac{q}{2\pi R}$). Punto $P$ sull'asse dell'anello, a distanza $z$ dal centro.

• Ogni pezzetto $dq$ dell'anello dista da $P$ lo stesso $r = \sqrt{R^2 + z^2}$.
• Per ogni pezzetto c'è quello diametralmente opposto: le componenti perpendicolari all'asse si cancellano. Resta la componente lungo l'asse, $dE\cos\theta$ con $\cos\theta = \frac zr$, uguale per tutti i pezzetti.

$$E_z = \int\frac{dq}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\cdot\frac{z}{r} = \frac{z}{4\pi\varepsilon_0(R^2 + z^2)^{3/2}}\int dq.$$

Anello di carica $q$ e raggio $R$, sull'asse: $$E(z) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qz}{(R^2 + z^2)^{3/2}},$$ diretto lungo l'asse, uscente dall'anello se $q > 0$.

Controlli. Al centro ($z = 0$) $E = 0$: i contributi di tutti i pezzetti si cancellano. Per $z \gg R$, $E \approx \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 z^2}$: da lontano l'anello sembra una carica puntiforme ✓. Il massimo è in $z = R/\sqrt2$.

È la formula usata nel secondo appello del 20.02.2024 (Esercizio 3 · carica lanciata lungo l'asse di un anello sopra un piano carico), dove compare insieme al potenziale $V(z) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{R^2 + z^2}}$.

Disco carico, punto sull'asse

Disco di raggio $R$ con densità superficiale uniforme $\sigma$. Si divide il disco in anelli concentrici di raggio $s$ e spessore $ds$: ciascuno ha area $2\pi s\,ds$ e carica $dq = \sigma\,2\pi s\,ds$, e produce sull'asse (formula dell'anello)

$$dE = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{z\,\sigma\,2\pi s\,ds}{(s^2 + z^2)^{3/2}} = \frac{\sigma z}{2\varepsilon_0}\frac{s\,ds}{(s^2 + z^2)^{3/2}}.$$

Tutti gli anelli danno campi lungo l'asse, nello stesso verso: si sommano direttamente. Con la primitiva $\int\frac{s\,ds}{(s^2 + z^2)^{3/2}} = -\frac{1}{\sqrt{s^2 + z^2}}$:

$$E = \frac{\sigma z}{2\varepsilon_0}\left[-\frac{1}{\sqrt{s^2 + z^2}}\right]_0^R = \frac{\sigma z}{2\varepsilon_0}\left(\frac1z - \frac{1}{\sqrt{R^2 + z^2}}\right).$$

Disco di raggio $R$ e densità $\sigma$, sull'asse ($z > 0$): $$E(z) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{z}{\sqrt{R^2 + z^2}}\right).$$

Controlli. Per $z \gg R$, usando $\frac{z}{\sqrt{R^2 + z^2}} = \left(1 + \frac{R^2}{z^2}\right)^{-1/2} \approx 1 - \frac{R^2}{2z^2}$, si ottiene $E \approx \frac{\sigma R^2}{4\varepsilon_0 z^2} = \frac{\sigma\pi R^2}{4\pi\varepsilon_0 z^2}$: carica puntiforme $q = \sigma\pi R^2$ ✓.

Piano indefinito

Mandando $R \to \infty$ nel disco, $\frac{z}{\sqrt{R^2 + z^2}} \to 0$:

Piano indefinito con densità uniforme $\sigma$: $$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0},$$ perpendicolare al piano, uscente da entrambi i lati se $\sigma > 0$, indipendente dalla distanza.

Il campo è uniforme in ciascuno dei due semispazi, e cambia verso attraversando il piano (salta di $\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$). Che non dipenda dalla distanza sembra strano, ma si capisce: allontanandosi, ogni pezzetto contribuisce meno, ma la parte di piano che "conta" (quella vista sotto un certo angolo) cresce in proporzione. In pratica un disco o una lastra finita si comportano come un piano indefinito per punti vicini rispetto alle loro dimensioni ($z \ll R$).

Esempio. $\sigma = -10$ nC/m² (primo appello 23.01.2024): $E = \frac{10^{-8}}{2 \cdot 8{,}85 \cdot 10^{-12}} = 565$ V/m, diretto verso il piano da entrambi i lati (densità negativa).

Tabella riassuntiva

Errori comuni

• Integrare il modulo $dE$ senza proiettare sulla direzione che sopravvive: si sommerebbero contributi che in realtà si cancellano.
• Confondere $q$ e $\lambda$ nella formula dell'anello: $q = 2\pi R\lambda$.
• Usare la formula del piano indefinito lontano da una lastra finita: vale solo a distanze piccole rispetto alle dimensioni della lastra.
• Dimenticare che il campo del piano cambia verso dai due lati: nella sovrapposizione con altre sorgenti il segno dipende da che parte del piano si trova il punto.