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Note per Studenti Divergenza, rotore ed equazioni di Maxwell per l'elettrostatica

Divergenza, rotore ed equazioni di Maxwell per l'elettrostatica

In questa pagina 8

Lezione del 20.10 (sezioni 2.6 e 3.4 ed esercizio 3.5 del libro di testo). Prerequisiti: Flusso elettrico e legge di GaussIl flusso di E attraverso una superficie è Φ = ∫ E·n dS (quante linee di campo la attraversano). Legge di Gauss: il flusso uscente da qualunque superficie chiusa è uguale alla carica interna divisa per ε₀, Φ = Q_int/ε₀; le cariche esterne danno flusso totale nullo. Si dimostra con l'angolo solido ed è conseguenza diretta del fatto che il campo di Coulomb va come 1/r².Flusso elettrico e legge di Gauss →, Lavoro della forza elettrica e potenziale elettrostaticoIl lavoro della forza elettrostatica non dipende dal percorso (campo conservativo, circuitazione nulla); si definisce quindi il potenziale V con V(B) − V(A) = −∫ da A a B di E·ds, misurato in volt (1 V = 1 J/C). Carica puntiforme: V = q/(4πε₀r) con V(∞) = 0; più cariche: somma (scalare) dei potenziali. La forza elettromotrice di un percorso chiuso è la circuitazione di E, nulla in elettrostatica.Lavoro della forza elettrica e potenziale elettrostatico →, Campo come gradiente del potenziale e superfici equipotenzialiIl campo si ottiene dal potenziale come E = −∇V, cioè Ex = −∂V/∂x, Ey = −∂V/∂y, Ez = −∂V/∂z: punta dove V diminuisce più rapidamente e il suo modulo è la rapidità di variazione. Le superfici equipotenziali (V costante) sono sempre perpendicolari alle linee di campo, e spostarsi su di esse non costa lavoro.Campo come gradiente del potenziale e superfici equipotenziali →. Le stesse operazioni servono per il campo magnetico (Legge di Ampère e circuitazione del campo magnetico) e per le equazioni di Maxwell complete. Passare dalla forma integrale a quella locale è una domanda d'esame ricorrente.

Forma integrale e forma locale

Le due leggi dell'elettrostatica trovate finora sono integrali: riguardano superfici e curve finite.

  1. Gauss: ∮SE⃗⋅n^ dS=Qintε0\oint_S\vec E\cdot\hat n\,dS = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
  2. Campo conservativo: ∮γE⃗⋅ds⃗=0\oint_\gamma\vec E\cdot d\vec s = 0.

Si vuole una versione locale, cioè un'equazione che valga punto per punto e leghi il campo in un punto alla carica in quello stesso punto. Servono due operazioni differenziali.

L'operatore nabla

∇=(∂∂x,∂∂y,∂∂z).\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right).

Non è un vettore vero e proprio, ma un "vettore di derivate" che si usa con le regole formali del calcolo vettoriale:

Operazione Si applica a Risultato Formula
gradiente ∇V\nabla V scalare vettore (∂V∂x,∂V∂y,∂V∂z)\left(\frac{\partial V}{\partial x}, \frac{\partial V}{\partial y}, \frac{\partial V}{\partial z}\right)
divergenza ∇⋅E⃗\nabla\cdot\vec E vettore scalare ∂Ex∂x+∂Ey∂y+∂Ez∂z\frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z}
rotore ∇×E⃗\nabla\times\vec E vettore vettore determinante formale (sotto)
laplaciano ∇2V\nabla^2 V scalare scalare ∂2V∂x2+∂2V∂y2+∂2V∂z2\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2}

Divergenza e teorema della divergenza

Significato. La divergenza in un punto è il flusso uscente per unità di volume da una superficie piccolissima attorno al punto: ∇⋅E⃗=lim⁡ΔV→01ΔV∮∂(ΔV)E⃗⋅n^ dS.\nabla\cdot\vec E = \lim_{\Delta V \to 0}\frac{1}{\Delta V}\oint_{\partial(\Delta V)}\vec E\cdot\hat n\,dS. Divergenza positiva: il punto è una "sorgente" da cui le linee escono; negativa: un "pozzo" dove entrano; nulla: tante linee entrano quante ne escono.

Perché la formula con le derivate. Si prende un cubetto di lati dx,dy,dzdx, dy, dz. Il flusso attraverso le due facce perpendicolari a xx è Ex(x+dx) dy dz−Ex(x) dy dz≈∂Ex∂xdx dy dzE_x(x + dx)\,dy\,dz - E_x(x)\,dy\,dz \approx \frac{\partial E_x}{\partial x}dx\,dy\,dz (la faccia di sinistra ha normale verso −x-x). Sommando le tre coppie di facce e dividendo per il volume dx dy dzdx\,dy\,dz si ottiene ∂Ex∂x+∂Ey∂y+∂Ez∂z\frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z}.

Teorema della divergenza (di Gauss-Green). Per un campo vettoriale regolare e un volume VV con bordo SS: ∮SE⃗⋅n^ dS=∫V∇⋅E⃗ dV.\oint_S\vec E\cdot\hat n\,dS = \int_V\nabla\cdot\vec E\,dV.

Il flusso uscente totale è la somma dei flussi uscenti dai cubetti in cui si divide il volume: attraverso le facce interne in comune il flusso esce da un cubetto ed entra nel vicino, e si cancella; resta solo il flusso attraverso il bordo esterno.

Rotore e teorema di Stokes

∇×E⃗=∣u^xu^yu^z∂∂x∂∂y∂∂zExEyEz∣=(∂Ez∂y−∂Ey∂z, ∂Ex∂z−∂Ez∂x, ∂Ey∂x−∂Ex∂y).\nabla\times\vec E = \begin{vmatrix}\hat u_x & \hat u_y & \hat u_z \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ E_x & E_y & E_z\end{vmatrix} = \left(\frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z},\ \frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x},\ \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y}\right).

Significato. La componente del rotore lungo una direzione n^\hat n è la circuitazione per unità di area lungo un piccolo circuito perpendicolare a n^\hat n: misura quanto il campo "gira" attorno al punto. Un mulinello messo nel "fluido" del campo ruoterebbe dove il rotore è diverso da zero.

Teorema di Stokes (del rotore). Per una curva chiusa γ\gamma e una qualunque superficie SS che ha γ\gamma come bordo (orientata con la regola della mano destra): ∮γE⃗⋅ds⃗=∫S(∇×E⃗)⋅n^ dS.\oint_\gamma\vec E\cdot d\vec s = \int_S(\nabla\times\vec E)\cdot\hat n\,dS.

Stesso ragionamento: si divide la superficie in quadratini; le circuitazioni sui lati interni in comune si cancellano (percorsi in versi opposti), resta la circuitazione sul bordo.

Le equazioni di Maxwell dell'elettrostatica

Prima equazione: Gauss in forma locale

Si scrive la carica interna come integrale della densità, Qint=∫Vρ dVQ_{\text{int}} = \int_V\rho\,dV, e si applica il teorema della divergenza al primo membro:

∫V∇⋅E⃗ dV=∮SE⃗⋅n^ dS=1ε0∫Vρ dV.\int_V\nabla\cdot\vec E\,dV = \oint_S\vec E\cdot\hat n\,dS = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho\,dV.

Questo vale per ogni volume VV. Due funzioni che hanno lo stesso integrale su ogni volume, anche piccolissimo, coincidono punto per punto:

∇⋅E⃗=ρε0.\nabla\cdot\vec E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}.

Il campo "nasce" dove c'è carica positiva e "muore" dove c'è carica negativa; nel vuoto, senza cariche, ∇⋅E⃗=0\nabla\cdot\vec E = 0.

Seconda equazione: campo irrotazionale

Per il teorema di Stokes, ∮γE⃗⋅ds⃗=0\oint_\gamma\vec E\cdot d\vec s = 0 per ogni curva diventa ∫S(∇×E⃗)⋅n^ dS=0\int_S(\nabla\times\vec E)\cdot\hat n\,dS = 0 per ogni superficie, quindi

∇×E⃗=0.\nabla\times\vec E = 0.

Il campo elettrostatico è irrotazionale. È equivalente a dire che esiste un potenziale con E⃗=−∇V\vec E = -\nabla V (il rotore di un gradiente è sempre zero, perché le derivate miste sono uguali: ad esempio ∂∂x∂V∂y−∂∂y∂V∂x=0\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial V}{\partial y} - \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial V}{\partial x} = 0).

Forma integrale Forma locale
Gauss ∮SE⃗⋅n^ dS=Qintε0\oint_S\vec E\cdot\hat n\,dS = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} ∇⋅E⃗=ρε0\nabla\cdot\vec E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}
circuitazione ∮γE⃗⋅ds⃗=0\oint_\gamma\vec E\cdot d\vec s = 0 ∇×E⃗=0\nabla\times\vec E = 0
teorema usato della divergenza di Stokes

Equazioni di Poisson e di Laplace

Sostituendo E⃗=−∇V\vec E = -\nabla V nella prima equazione: ∇⋅(−∇V)=ρε0\nabla\cdot(-\nabla V) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}, cioè

∇2V=−ρε0(Poisson),∇2V=0 nelle regioni senza carica (Laplace).\nabla^2 V = -\frac{\rho}{\varepsilon_0} \quad \text{(Poisson)}, \qquad \nabla^2 V = 0 \ \text{nelle regioni senza carica (Laplace)}.

Un'unica equazione per un'unica funzione scalare contiene tutta l'elettrostatica: risolta con le condizioni al contorno (per esempio i potenziali dei conduttori), dà il potenziale e quindi il campo.

Esempi di verifica

Sfera piena uniforme. Dentro, E⃗=ρ3ε0r⃗=ρ3ε0(x,y,z)\vec E = \frac{\rho}{3\varepsilon_0}\vec r = \frac{\rho}{3\varepsilon_0}(x, y, z) (Legge di Gauss - guscio, sfera, cilindro e pianoCon la legge di Gauss e una superficie scelta secondo la simmetria si trovano subito i campi: guscio sferico (nullo dentro, q/(4πε₀r²) fuori), sfera piena uniforme (ρr/(3ε₀) dentro, cresce linearmente), cilindro o filo indefinito (λ/(2πε₀r) fuori), piano indefinito (σ/(2ε₀)); integrando il campo si ottengono i potenziali.Legge di Gauss - guscio, sfera, cilindro e piano →). Divergenza: ρ3ε0(1+1+1)=ρε0\frac{\rho}{3\varepsilon_0}(1 + 1 + 1) = \frac{\rho}{\varepsilon_0} ✓. Fuori il campo va come r⃗r3\frac{\vec r}{r^3}, e un conto diretto dà divergenza nulla (non c'è carica) ✓.

Campo uniforme E⃗=(0,0,E0)\vec E = (0, 0, E_0): tutte le derivate sono nulle, divergenza e rotore nulli. Infatti tra le armature di un condensatore non c'è carica.

Un campo che non è elettrostatico. E⃗=(−y,x,0)\vec E = (-y, x, 0): ∇×E⃗=(0,0,1−(−1))=(0,0,2)≠0\nabla\times\vec E = (0, 0, 1 - (-1)) = (0, 0, 2) \ne 0. Questo campo "gira" attorno all'asse zz e non può essere prodotto da cariche ferme. Campi di questo tipo nascono da campi magnetici variabili (Legge di Faraday-Neumann-Lenz e fem indotta).

Errori comuni

  • Confondere divergenza (scalare) e rotore (vettore).
  • Concludere "flusso nullo ⇒ ρ=0\rho = 0 ovunque": un flusso totale nullo dice solo che la carica totale interna è zero.
  • Dimenticare l'argomento "per ogni volume" nel passaggio dall'uguaglianza degli integrali all'uguaglianza delle funzioni: è il punto chiave della dimostrazione.

Teoria collegata