Condensatori - capacità, serie e parallelo

Lezione del 27.10 (sezioni 4.3 e 4.4 ed esempi 4.1-4.4 del libro di testo). Prerequisiti: Conduttori in equilibrio, conduttori cavi e schermo elettrostaticoIn un conduttore in equilibrio il campo interno è nullo, il conduttore è tutto allo stesso potenziale, la carica sta sulla superficie e appena fuori il campo è perpendicolare alla superficie con modulo σ/ε₀ (teorema di Coulomb). In una cavità vuota il campo è nullo (schermo elettrostatico); una carica q dentro la cavità induce −q sulla parete interna e +q su quella esterna (induzione completa).Conduttori in equilibrio, conduttori cavi e schermo elettrostatico →, Legge di Gauss - guscio, sfera, cilindro e pianoCon la legge di Gauss e una superficie scelta secondo la simmetria si trovano subito i campi: guscio sferico (nullo dentro, q/(4πε₀r²) fuori), sfera piena uniforme (ρr/(3ε₀) dentro, cresce linearmente), cilindro o filo indefinito (λ/(2πε₀r) fuori), piano indefinito (σ/(2ε₀)); integrando il campo si ottengono i potenziali.Legge di Gauss - guscio, sfera, cilindro e piano →. Seguito: Energia del campo elettrostaticoCaricare un condensatore costa lavoro, immagazzinato come energia U = ½q²/C = ½CΔV² = ½qΔV; questa energia è localizzata nel campo, con densità u = ½ε₀E² (½εE² in un dielettrico). Con il condensatore isolato si conserva q, collegato al generatore si conserva ΔV: nel secondo caso il generatore fa un lavoro doppio della variazione di energia del condensatore.Energia del campo elettrostatico →, Dielettrici - polarizzazione e vettore induzione elettricaUn dielettrico che riempie un condensatore ne moltiplica la capacità per la costante dielettrica relativa ε_r (κ) e, a carica fissata, divide campo e d.d.p. per ε_r. Il motivo è la polarizzazione: i dipoli molecolari si allineano (vettore P = momento di dipolo per unità di volume) e compaiono cariche di polarizzazione σ_p = P·n = (ε_r − 1)/ε_r · σ_lib che schermano il campo. Il vettore D = ε₀E + P ha flusso uguale alla sola carica libera: ∮D·n dS = Q_lib, e D = ε₀ε_r E.Dielettrici - polarizzazione e vettore induzione elettrica →, Carica e scarica di un condensatore (circuito RC)In un circuito RC la carica non cambia istantaneamente: in carica q(t) = Cℰ(1 − e^(−t/τ)), i(t) = (ℰ/R)e^(−t/τ); in scarica q(t) = q₀e^(−t/τ), con costante di tempo τ = RC (dopo circa 5τ il transitorio è finito). Durante la carica il generatore fornisce Cℰ², metà va nel condensatore e metà è dissipata nella resistenza; in scarica tutta l'energia ½q₀²/C si dissipa, con legge e^(−2t/τ).Carica e scarica di un condensatore (circuito RC) →. In quasi tutti gli appelli c'è un problema sui condensatori.

Capacità di un conduttore isolato

Il potenziale di un conduttore isolato è proporzionale alla sua carica (raddoppiando la carica raddoppia il campo in ogni punto, quindi il potenziale). Il rapporto è la capacità:

$$C = \frac{q}{V}.$$

Per una sfera di raggio $R$: $V = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R}$, quindi $C = 4\pi\varepsilon_0 R$. Per $R = 1$ m: $C \approx 1{,}1 \cdot 10^{-10}$ F. Anche la Terra ha solo $C \approx 7 \cdot 10^{-4}$ F: un conduttore isolato immagazzina poca carica per volt.

Il condensatore

Un condensatore è formato da due conduttori (le armature) in condizione di induzione completa: tutte le linee di campo che partono da uno arrivano sull'altro. Le armature hanno cariche $+q$ e $-q$ e tra esse c'è la d.d.p. $\Delta V = V_+ - V_-$. La capacità è $$C = \frac{q}{\Delta V}.$$

• Unità: il farad, $1\ \text{F} = 1\ \text{C/V}$. Valori tipici: pF ($10^{-12}$), nF ($10^{-9}$), $\mu$F ($10^{-6}$).
• $C$ dipende solo dalla geometria (forma, dimensioni, distanza delle armature) e dal materiale tra le armature, non da $q$ né da $\Delta V$.
• Rispetto al conduttore isolato la capacità è molto maggiore: la carica negativa vicina abbassa il potenziale dell'armatura positiva, quindi a parità di d.d.p. si accumula più carica.

Come si calcola la capacità

1. Si dà carica $+q$ a un'armatura e $-q$ all'altra.
2. Si trova il campo tra le armature (di solito con la legge di Gauss).
3. Si integra il campo da un'armatura all'altra: $\Delta V = \int_+^-\vec E\cdot d\vec s$.
4. $C = q/\Delta V$: la $q$ si semplifica sempre.

Condensatore piano

Due armature piane parallele di area $S$ a distanza $d$, con $d$ piccola rispetto alle dimensioni delle armature (si trascurano gli effetti di bordo).

• Campo: come due piani indefiniti con densità $\pm\sigma = \pm\frac{q}{S}$: $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ uniforme tra le armature, nullo fuori (Campo tra due piani carichi e moto di una caricaDue piani indefiniti paralleli sommano i loro campi σ/(2ε₀): con densità opposte ±σ il campo è σ/ε₀ tra i piani e nullo fuori; con densità qualsiasi σ₁, σ₂ tra i piani vale (σ₁ − σ₂)/(2ε₀). In un campo uniforme una carica ha accelerazione costante a = qE/m: se entra con velocità perpendicolare al campo descrive una parabola, come un proiettile.Campo tra due piani carichi e moto di una carica →).
• D.d.p.: $\Delta V = Ed = \frac{qd}{\varepsilon_0 S}$.

$$C = \frac{\varepsilon_0 S}{d}.$$

Più grandi le armature e più vicine, maggiore la capacità. Esempio: $S = 125$ cm² $= 1{,}25 \cdot 10^{-2}$ m², $d = 0{,}2$ cm: $C = \frac{8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot 1{,}25 \cdot 10^{-2}}{2 \cdot 10^{-3}} = 55$ pF (con un dielettrico $\kappa = 2$: $111$ pF, appello 23.01.2025).

Condensatore sferico

Due sfere concentriche di raggi $R_1 < R_2$.

• Campo tra le armature (Gauss, solo la carica interna $q$ conta): $E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$.
• D.d.p.: $\Delta V = \int_{R_1}^{R_2}\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}dr = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{R_2 - R_1}{R_1 R_2}$.

$$C = 4\pi\varepsilon_0\frac{R_1 R_2}{R_2 - R_1}.$$

Controlli. Se $R_2 \to \infty$ si ritrova la sfera isolata, $4\pi\varepsilon_0 R_1$. Se le armature sono vicine ($R_2 - R_1 = d \ll R_1$), $C \approx \frac{4\pi\varepsilon_0 R^2}{d} = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$: localmente il condensatore sferico sembra piano ✓.

Esempio (appello 24.06.2025): $r_1 = 0{,}1$ m, $r_2 = 0{,}3$ m: $C = \frac{0{,}03}{9 \cdot 10^9 \cdot 0{,}2} = 16{,}7$ pF.

Condensatore cilindrico

Due cilindri coassiali di raggi $R_1 < R_2$ e lunghezza $L$ (grande rispetto ai raggi).

• Campo (Gauss con cilindro coassiale, $\lambda = q/L$): $E = \frac{q}{2\pi\varepsilon_0 L r}$.
• D.d.p.: $\Delta V = \int_{R_1}^{R_2}\frac{q}{2\pi\varepsilon_0 L r}dr = \frac{q}{2\pi\varepsilon_0 L}\ln\frac{R_2}{R_1}$.

$$C = \frac{2\pi\varepsilon_0 L}{\ln(R_2/R_1)}.$$

È il modello del cavo coassiale: la capacità per unità di lunghezza, $\frac{2\pi\varepsilon_0}{\ln(R_2/R_1)}$, è un parametro del cavo. Esempio (appello 18.02.2026): $R_1 = 12$ cm, $R_2 = 15$ cm, $L = 90$ cm: $C = \frac{2\pi \cdot 8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot 0{,}9}{\ln 1{,}25} = 224$ pF.

Condensatori in parallelo

Collegati in parallelo: le armature positive tra loro e le negative tra loro. Sono collegati agli stessi due nodi, quindi hanno la stessa d.d.p. $\Delta V$. La carica totale è la somma:

$$q = q_1 + q_2 = C_1\Delta V + C_2\Delta V = (C_1 + C_2)\Delta V.$$

Parallelo: $C_{\text{eq}} = C_1 + C_2 + \dots$ (stessa $\Delta V$, le cariche si dividono in proporzione alle capacità).

Intuitivamente: è come allargare le armature.

Condensatore parzialmente riempito "di lato". Se metà dell'area di un condensatore piano è riempita con un dielettrico $\kappa$ e metà è vuota (separazione lungo l'area), le due metà sono condensatori in parallelo con area $S/2$: $C = \frac{\varepsilon_0 S}{2d}(1 + \kappa)$. Le cariche sulle due metà stanno nel rapporto $q_B/q_A = \kappa$ (stessa d.d.p.).

Condensatori in serie

Collegati in serie: l'armatura negativa del primo collegata alla positiva del secondo. Il conduttore intermedio (le due armature collegate) è isolato e inizialmente neutro: per induzione completa, se il primo ha $\pm q$, il secondo ha anch'esso $\pm q$. Stessa carica, e le d.d.p. si sommano:

$$\Delta V = \Delta V_1 + \Delta V_2 = \frac{q}{C_1} + \frac{q}{C_2}.$$

Serie: $\dfrac{1}{C_{\text{eq}}} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2} + \dots$, per due: $C_{\text{eq}} = \dfrac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$ (stessa $q$, la d.d.p. si divide in proporzione inversa alle capacità).

$C_{\text{eq}}$ è minore della più piccola delle capacità: è come allontanare le armature.

Partitore capacitivo. In serie, $\Delta V_1 = \frac{q}{C_1} = \Delta V\frac{C_2}{C_1 + C_2}$: sul condensatore più piccolo cade la tensione maggiore.

Condensatore con strati "in profondità". Se il dielettrico riempie lo spazio tra le armature per uno spessore $d_1$ e il resto ($d_2$) è vuoto, i due strati sono condensatori in serie. Lo stesso per un condensatore sferico con un guscio di dielettrico attorno all'armatura interna (Esercizio 5 · gusci sferici con dielettrico e carica in orbita).

Esempio: tre condensatori

(Quarto appello 03.09.2024, Esercizio 7 · tre condensatori, commutazione e dielettrico.) $C_1 = 2\ \mu$F e $C_2 = 4\ \mu$F in parallelo, in serie con $C_3 = 6\ \mu$F; carica totale $q = 600\ \mu$C.

• $C_{12} = 6\ \mu$F; $C_{\text{eq}} = \frac{6 \cdot 6}{12} = 3\ \mu$F; $\Delta V = \frac{600}{3} = 200$ V.
• $C_3$ è in serie con tutto il resto: $q_3 = 600\ \mu$C.
• Il parallelo $C_{12}$ ha anch'esso $600\ \mu$C, con $\Delta V_{12} = \frac{600}{6} = 100$ V: $q_1 = 200\ \mu$C, $q_2 = 400\ \mu$C.

Riepilogo

Errori comuni

• Scambiare le regole di serie e parallelo (sono opposte a quelle delle resistenze).
• Nel condensatore sferico usare $R_2 - R_1$ al numeratore.
• Logaritmo al contrario nel cilindrico: è $\ln(R_2/R_1)$, positivo.
• Pensare che la capacità dipenda dalla carica: dipende solo dalla geometria e dal materiale.
• Sistema isolato o collegato al generatore? Se il condensatore è isolato si conserva $q$; se resta collegato al generatore si conserva $\Delta V$. È la prima cosa da chiedersi in ogni problema.