Conduttori in equilibrio, conduttori cavi e schermo elettrostatico

Lezione del 27.10 (sezioni 4.1 e 4.2 del libro di testo). Prerequisiti: Carica elettrica, conduttori e isolantiLa carica elettrica è una proprietà della materia, di due segni, quantizzata (multipla di e = 1,6·10⁻¹⁹ C) e conservata; nei conduttori alcune cariche (elettroni di conduzione) si muovono liberamente, negli isolanti no. Un corpo si elettrizza per strofinio, per contatto o per induzione, e l'elettroscopio a foglie rivela la presenza di carica.Carica elettrica, conduttori e isolanti →, Flusso elettrico e legge di GaussIl flusso di E attraverso una superficie è Φ = ∫ E·n dS (quante linee di campo la attraversano). Legge di Gauss: il flusso uscente da qualunque superficie chiusa è uguale alla carica interna divisa per ε₀, Φ = Q_int/ε₀; le cariche esterne danno flusso totale nullo. Si dimostra con l'angolo solido ed è conseguenza diretta del fatto che il campo di Coulomb va come 1/r².Flusso elettrico e legge di Gauss →, Campo come gradiente del potenziale e superfici equipotenzialiIl campo si ottiene dal potenziale come E = −∇V, cioè Ex = −∂V/∂x, Ey = −∂V/∂y, Ez = −∂V/∂z: punta dove V diminuisce più rapidamente e il suo modulo è la rapidità di variazione. Le superfici equipotenziali (V costante) sono sempre perpendicolari alle linee di campo, e spostarsi su di esse non costa lavoro.Campo come gradiente del potenziale e superfici equipotenziali →. Seguito: Condensatori - capacità, serie e paralleloUn condensatore sono due conduttori in induzione completa con cariche ±q; la capacità C = q/ΔV (farad) dipende solo dalla geometria: piano ε₀S/d, sferico 4πε₀R₁R₂/(R₂ − R₁), cilindrico 2πε₀L/ln(R₂/R₁). In parallelo le capacità si sommano (stessa ΔV), in serie si sommano gli inversi (stessa carica). Con un dielettrico che riempie il condensatore C diventa ε_r C.Condensatori - capacità, serie e parallelo →. Domanda di teoria all'appello 16.09.2025.

Le proprietà di un conduttore in equilibrio

Un conduttore ha cariche libere di muoversi. Equilibrio elettrostatico significa che le cariche non si muovono più (dopo un transitorio brevissimo, dell'ordine di $10^{-19}$ s nei metalli).

1. Il campo interno è nullo

Se dentro il conduttore ci fosse un campo, le cariche libere sentirebbero una forza e si muoverebbero: non sarebbe equilibrio. Quindi

$$\vec E = 0 \quad \text{in ogni punto interno del conduttore.}$$

Le cariche si dispongono proprio in modo da annullare, all'interno, il campo esterno e il loro stesso campo.

2. Il conduttore è equipotenziale

Tra due punti qualsiasi del conduttore $V_B - V_A = -\int_A^B\vec E\cdot d\vec s = 0$, perché si può integrare lungo un percorso interno dove $\vec E = 0$. Tutto il conduttore, superficie compresa, ha lo stesso potenziale. Per questo ha senso parlare del "potenziale di un conduttore".

3. La carica sta sulla superficie

Si prende una superficie di Gauss tutta interna al conduttore, vicina quanto si vuole alla superficie. Su di essa $\vec E = 0$, quindi il flusso è nullo e, per la legge di Gauss, la carica interna è zero. Dentro il conduttore non c'è carica netta ($\rho = 0$): l'eventuale carica in eccesso si trova tutta sulla superficie, con una densità superficiale $\sigma$ (che in generale non è uniforme).

4. Fuori, vicino alla superficie, il campo è perpendicolare

La superficie è equipotenziale, e il campo è sempre perpendicolare alle equipotenziali. Se avesse una componente tangente, le cariche superficiali scivolerebbero lungo la superficie.

5. Teorema di Coulomb: $E = \sigma/\varepsilon_0$

Superficie di Gauss: un cilindretto con una base appena fuori e una appena dentro il conduttore, di area $\Delta S$ piccola.

• Base interna: $E = 0$, flusso nullo.
• Superficie laterale: dentro $E = 0$; fuori il campo è perpendicolare alla superficie, quindi tangente alla parete laterale: flusso nullo.
• Base esterna: $E\,\Delta S$.

Carica interna: $\sigma\,\Delta S$. Legge di Gauss: $E\,\Delta S = \frac{\sigma\,\Delta S}{\varepsilon_0}$.

Teorema di Coulomb. Appena fuori da un conduttore in equilibrio, $$\vec E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\hat n.$$

È il doppio del campo di un piano isolato ($\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$): per il piano isolato il campo si divide sui due lati, per il conduttore all'interno il campo è nullo e tutto il "flusso" esce da un lato.

Esempio (primo appello 22.01.2026, Esercizio 19 · sfera conduttrice in un dielettrico dentro un guscio): sulla superficie esterna di un guscio di raggio $R_2 = 6$ cm c'è la carica $q = 250$ pC, quindi $\sigma = \frac{q}{4\pi R_2^2}$ e appena fuori

$$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R_2^2} = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 2{,}5 \cdot 10^{-10}}{0{,}0036} = 625\ \text{V/m}.$$

6. Effetto delle punte

Su un conduttore di forma irregolare la carica si concentra dove la superficie è più curva (raggio di curvatura piccolo). Due sfere conduttrici di raggi $R_1$ e $R_2$ collegate da un filo sono allo stesso potenziale: $\frac{q_1}{R_1} = \frac{q_2}{R_2}$, quindi $\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{q_1/R_1^2}{q_2/R_2^2} = \frac{R_2}{R_1}$. La sfera più piccola ha densità (e campo superficiale) maggiore. Sulle punte il campo può diventare così intenso da ionizzare l'aria (scariche, "fuoco di Sant'Elmo"): è il principio del parafulmine.

Conduttori cavi

Cavità vuota: schermo elettrostatico

Un conduttore ha una cavità interna senza cariche. Si prende una superficie di Gauss dentro il conduttore che circonda la cavità: $\vec E = 0$ su di essa, quindi la carica totale sulla parete della cavità è zero. Potrebbero esserci cariche positive in un punto e negative in un altro della parete? No: una linea di campo andrebbe dalle une alle altre attraverso la cavità, e lungo di essa la circuitazione chiusa attraverso il conduttore non sarebbe nulla (il potenziale scenderebbe lungo la linea e resterebbe costante nel conduttore). Quindi:

In una cavità vuota di un conduttore il campo è nullo e sulla parete interna non c'è carica, qualunque siano le cariche e i campi all'esterno.

È lo schermo elettrostatico (gabbia di Faraday): un involucro conduttore isola l'interno dai campi elettrici esterni. Per questo si è al sicuro in un'auto durante un temporale, i cavi coassiali hanno una calza metallica e gli strumenti sensibili si chiudono in contenitori metallici. Funziona anche con una rete a maglie fitte, non serve una lamiera piena.

Carica nella cavità: induzione completa

Ora nella cavità c'è una carica $q$ (per esempio su un piccolo conduttore isolato).

• Parete interna. Una superficie di Gauss dentro il conduttore ha flusso nullo, quindi carica interna nulla: sulla parete della cavità si deve trovare la carica $-q$.
• Parete esterna. Se il conduttore cavo era neutro, per la conservazione della carica sulla superficie esterna compare $+q$. (Se aveva già una carica $Q$, all'esterno c'è $Q + q$.)

Induzione completa: tutte le linee di campo che partono da $q$ terminano sulla parete interna; la carica indotta sulla parete interna è esattamente $-q$.

Dall'esterno si vede la carica $+q$ distribuita sulla superficie esterna, come se il conduttore non ci fosse (per una superficie esterna sferica, il campo fuori è $\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$). Spostando $q$ nella cavità cambia la distribuzione sulla parete interna, ma non il campo esterno: lo schermo funziona anche "al contrario".

Messa a terra. Collegando a terra la superficie esterna, la carica $+q$ esterna fluisce a terra e il campo esterno si annulla: il conduttore cavo collegato a terra scherma completamente l'esterno dalla carica interna.

Il sistema "conduttore interno + conduttore cavo che lo circonda" è il condensatore ideale: Condensatori - capacità, serie e paralleloUn condensatore sono due conduttori in induzione completa con cariche ±q; la capacità C = q/ΔV (farad) dipende solo dalla geometria: piano ε₀S/d, sferico 4πε₀R₁R₂/(R₂ − R₁), cilindrico 2πε₀L/ln(R₂/R₁). In parallelo le capacità si sommano (stessa ΔV), in serie si sommano gli inversi (stessa carica). Con un dielettrico che riempie il condensatore C diventa ε_r C.Condensatori - capacità, serie e parallelo →.

Esempio: sfera dentro un guscio

Sfera conduttrice con carica $q$ dentro un guscio sferico conduttore neutro e concentrico. Sulla superficie interna del guscio si induce $-q$, su quella esterna $+q$. Il campo è: nullo dentro la sfera, $\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$ tra sfera e guscio, nullo nello spessore del guscio, $\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$ fuori.

Nel terzo appello 20.06.2024 (Esercizio 5 · gusci sferici con dielettrico e carica in orbita) e nell'appello 02.09.2025 (Esercizio 15 · tre sfere concentriche e particella in orbita) si usa che il campo fuori dal guscio esterno è prodotto dalla carica totale $q_1 + q_2$.

Domanda d'esame tipo

"Nel caso di un conduttore cavo carico, dove si distribuisce la carica? Quanto vale il campo vicino alla superficie? Cosa si intende per induzione completa?"

1. Sulla superficie esterna: con Gauss su una superficie interna al conduttore (campo nullo) si vede che dentro e sulla parete della cavità (vuota) la carica è zero.
2. Appena fuori: $E = \sigma/\varepsilon_0$, perpendicolare alla superficie (teorema di Coulomb).
3. Con un conduttore carico $q$ nella cavità, sulla parete interna si induce $-q$ e tutte le linee di campo di $q$ terminano lì.

Errori comuni

• Usare $\sigma/(2\varepsilon_0)$ vicino a un conduttore: quello è il piano isolato; per il conduttore è $\sigma/\varepsilon_0$.
• Mettere carica nel volume del conduttore: in equilibrio sta solo sulla superficie.
• Pensare che una carica nella cavità non abbia effetti fuori: con il conduttore isolato, all'esterno compare $+q$; solo con la messa a terra l'esterno è schermato.
• Confondere "potenziale costante" con "potenziale nullo": il conduttore è equipotenziale, ma non necessariamente a $V = 0$.