Dielettrici - polarizzazione e vettore induzione elettrica

Lezioni del 29.10 e del 03.11 (sezioni 4.6, 4.7 e 4.8 del libro di testo). Prerequisiti: Condensatori - capacità, serie e paralleloUn condensatore sono due conduttori in induzione completa con cariche ±q; la capacità C = q/ΔV (farad) dipende solo dalla geometria: piano ε₀S/d, sferico 4πε₀R₁R₂/(R₂ − R₁), cilindrico 2πε₀L/ln(R₂/R₁). In parallelo le capacità si sommano (stessa ΔV), in serie si sommano gli inversi (stessa carica). Con un dielettrico che riempie il condensatore C diventa ε_r C.Condensatori - capacità, serie e parallelo →, Dipolo elettrico e momento in un campo esternoUn dipolo elettrico è una coppia di cariche +q e −q a distanza a, descritta dal momento di dipolo p = qa (da −q a +q). A grande distanza il potenziale vale V = p cos θ/(4πε₀r²) e il campo decresce come 1/r³. In un campo uniforme il dipolo non subisce forza ma un momento meccanico M = p × E, che tende ad allinearlo al campo; la sua energia è U = −p·E.Dipolo elettrico e momento in un campo esterno →, Flusso elettrico e legge di GaussIl flusso di E attraverso una superficie è Φ = ∫ E·n dS (quante linee di campo la attraversano). Legge di Gauss: il flusso uscente da qualunque superficie chiusa è uguale alla carica interna divisa per ε₀, Φ = Q_int/ε₀; le cariche esterne danno flusso totale nullo. Si dimostra con l'angolo solido ed è conseguenza diretta del fatto che il campo di Coulomb va come 1/r².Flusso elettrico e legge di Gauss →. Compare in quasi tutti i problemi sui condensatori degli appelli (carica di polarizzazione, inserimento ed estrazione del dielettrico).

Il fatto sperimentale

Si carica un condensatore piano con carica $q$ e lo si isola; la d.d.p. è $\Delta V_0$. Si riempie poi lo spazio tra le armature con un isolante (vetro, plastica, olio). La carica non cambia (il condensatore è isolato), ma la d.d.p. diminuisce:

$$\Delta V = \frac{\Delta V_0}{\varepsilon_r}, \qquad \varepsilon_r > 1.$$

Il numero $\varepsilon_r$ (indicato anche con $\kappa$ o $k$) è la costante dielettrica relativa del materiale: dipende solo dal materiale.

Conseguenze, per un dielettrico omogeneo che riempie tutto lo spazio tra le armature:

• capacità: $C = \varepsilon_r C_0$;
• a carica fissa (condensatore isolato): campo e d.d.p. si riducono di $\varepsilon_r$;
• a d.d.p. fissa (condensatore collegato al generatore): il campo resta $\Delta V/d$, ma la carica sulle armature aumenta di $\varepsilon_r$ (il generatore ne fornisce altra).

Si definisce la costante dielettrica assoluta $\varepsilon = \varepsilon_0\varepsilon_r$. In un dielettrico omogeneo e illimitato tutte le formule dell'elettrostatica valgono con $\varepsilon$ al posto di $\varepsilon_0$: ad esempio il campo di una carica puntiforme è $\frac{q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r r^2}$.

Perché: la polarizzazione

Il meccanismo microscopico

Un dielettrico non ha cariche libere, ma le sue molecole reagiscono al campo:

• polarizzazione per deformazione (elettronica): il campo sposta la nuvola elettronica rispetto al nucleo; ogni molecola diventa un piccolo dipolo indotto, allineato al campo;
• polarizzazione per orientamento: molecole che sono già dipoli permanenti (come l'acqua) tendono a ruotare allineandosi al campo (il momento $\vec p \times \vec E$ di Dipolo elettrico e momento in un campo esternoUn dipolo elettrico è una coppia di cariche +q e −q a distanza a, descritta dal momento di dipolo p = qa (da −q a +q). A grande distanza il potenziale vale V = p cos θ/(4πε₀r²) e il campo decresce come 1/r³. In un campo uniforme il dipolo non subisce forza ma un momento meccanico M = p × E, che tende ad allinearlo al campo; la sua energia è U = −p·E.Dipolo elettrico e momento in un campo esterno →), contrastate dall'agitazione termica.

In entrambi i casi il materiale si riempie di dipoli orientati nel verso del campo.

Il vettore di polarizzazione

Il vettore di polarizzazione $\vec P$ è il momento di dipolo per unità di volume: $$\vec P = \frac{d\vec p}{dV} = n\langle\vec p\rangle,$$ dove $n$ è il numero di molecole per unità di volume. Unità: C/m².

Per la maggior parte dei materiali (dielettrici lineari e isotropi) $\vec P$ è proporzionale al campo:

$$\vec P = \varepsilon_0\chi\vec E = \varepsilon_0(\varepsilon_r - 1)\vec E,$$

dove $\chi = \varepsilon_r - 1$ è la suscettività elettrica.

Cariche di polarizzazione

Dentro un dielettrico uniformemente polarizzato, la carica positiva di un dipolo è affiancata dalla negativa del dipolo vicino: in media si compensano. Ma sulle superfici del dielettrico restano scoperte delle cariche: sulla faccia verso cui punta $\vec P$ si affacciano le estremità positive, su quella opposta le negative.

Densità superficiale di carica di polarizzazione: $\sigma_p = \vec P\cdot\hat n$, con $\hat n$ normale uscente dal dielettrico.

(Se la polarizzazione non è uniforme compare anche una densità di volume $\rho_p = -\nabla\cdot\vec P$; per dielettrici omogenei senza cariche libere al loro interno è nulla.)

Nel condensatore piano le cariche di polarizzazione si trovano sulle facce del dielettrico a contatto con le armature, con segno opposto a quello dell'armatura vicina. Il campo che producono è opposto a quello delle cariche libere e lo riduce: è questo che abbassa la d.d.p.

Quanto vale la carica di polarizzazione

Nel condensatore piano, il campo nel dielettrico è prodotto dalle cariche libere $\pm\sigma$ e da quelle di polarizzazione $\mp\sigma_p$:

$$E = \frac{\sigma - \sigma_p}{\varepsilon_0}.$$

D'altra parte $E = \frac{E_0}{\varepsilon_r} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0\varepsilon_r}$. Uguagliando: $\sigma - \sigma_p = \frac{\sigma}{\varepsilon_r}$, cioè

$$\sigma_p = \frac{\varepsilon_r - 1}{\varepsilon_r}\,\sigma, \qquad q_p = \frac{\varepsilon_r - 1}{\varepsilon_r}\,q_{\text{lib}}.$$

È la formula usata in tutti gli esercizi d'esame. Controlli: nel vuoto ($\varepsilon_r = 1$) $q_p = 0$; per $\varepsilon_r \to \infty$ $q_p \to q_{\text{lib}}$ e il campo interno si annulla (come in un conduttore). La carica di polarizzazione è sempre minore di quella libera. Vale anche $\sigma_p = P = \varepsilon_0(\varepsilon_r - 1)E$.

Esempio (primo appello 22.01.2026, Esercizio 19 · sfera conduttrice in un dielettrico dentro un guscio): sfera con carica libera $q = 250$ pC immersa in un fluido con $\varepsilon_r = 4$. Sulla superficie del dielettrico a contatto con la sfera si trova $$q_p = \frac{4 - 1}{4}\cdot 250 = 187{,}5\ \text{pC},$$ di segno opposto a $q$. La carica "netta" vista dal campo vicino alla sfera è $q - q_p = 62{,}5$ pC $= q/\varepsilon_r$.

Il vettore induzione elettrica $\vec D$

Gauss con i dielettrici

Nella legge di Gauss la carica interna comprende anche quella di polarizzazione, che non si conosce a priori (dipende dal campo, che è ciò che si cerca). Si scrive $Q_{\text{int}} = Q_{\text{lib}} + Q_p$, e si dimostra che $Q_p = -\oint\vec P\cdot\hat n\,dS$ (la carica di polarizzazione dentro una superficie è quella "lasciata indietro" dai dipoli che la attraversano). Allora

$$\oint\varepsilon_0\vec E\cdot\hat n\,dS = Q_{\text{lib}} - \oint\vec P\cdot\hat n\,dS \implies \oint(\varepsilon_0\vec E + \vec P)\cdot\hat n\,dS = Q_{\text{lib}}.$$

Il vettore induzione elettrica (o spostamento elettrico) è $$\vec D = \varepsilon_0\vec E + \vec P,$$ e soddisfa la legge di Gauss con le sole cariche libere: $$\oint_S\vec D\cdot\hat n\,dS = Q_{\text{lib}}, \qquad \nabla\cdot\vec D = \rho_{\text{lib}}.$$

Per un dielettrico lineare $\vec P = \varepsilon_0(\varepsilon_r - 1)\vec E$, quindi

$$\vec D = \varepsilon_0\varepsilon_r\vec E = \varepsilon\vec E.$$

Metodo pratico: si calcola $\vec D$ con Gauss usando solo le cariche libere (come si faceva con $\varepsilon_0\vec E$ nel vuoto), poi si divide per $\varepsilon$ per avere $\vec E$. In un condensatore piano $D = \sigma_{\text{lib}}$ in tutti gli strati, anche con dielettrici diversi; il campo $E = D/\varepsilon$ cambia da uno strato all'altro.

Esempio: sfera carica in un dielettrico. Superficie di Gauss sferica di raggio $r$: $D\cdot 4\pi r^2 = q$, quindi $D = \frac{q}{4\pi r^2}$ ed $E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r r^2}$. Con $q = 250$ pC, $\varepsilon_r = 4$, tra $R_1 = 3$ cm e $R_2 = 6$ cm la d.d.p. è $$V_1 - V_2 = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 2{,}5 \cdot 10^{-10}}{4}\cdot\frac{1}{0{,}06} \approx 9{,}4\ \text{V}.$$

Dielettrici che riempiono solo una parte

Inserimento ed estrazione. Un dielettrico vicino ai bordi di un condensatore carico viene risucchiato dentro (le cariche di polarizzazione sono attirate dalle armature attraverso il campo di bordo). Per estrarlo serve lavoro esterno positivo se il condensatore è isolato; i bilanci energetici sono in Energia del campo elettrostaticoCaricare un condensatore costa lavoro, immagazzinato come energia U = ½q²/C = ½CΔV² = ½qΔV; questa energia è localizzata nel campo, con densità u = ½ε₀E² (½εE² in un dielettrico). Con il condensatore isolato si conserva q, collegato al generatore si conserva ΔV: nel secondo caso il generatore fa un lavoro doppio della variazione di energia del condensatore.Energia del campo elettrostatico →.

Domanda d'esame tipo

"Si dica come il teorema di Gauss si modifica in presenza di un mezzo dielettrico." Le cariche di polarizzazione contribuiscono al flusso di $\vec E$; si introduce $\vec D = \varepsilon_0\vec E + \vec P$, il cui flusso uscente da una superficie chiusa è uguale alla sola carica libera interna: $\oint\vec D\cdot\hat n\,dS = Q_{\text{lib}}$. Per un dielettrico lineare omogeneo $\vec D = \varepsilon_0\varepsilon_r\vec E$, quindi $\oint\vec E\cdot\hat n\,dS = Q_{\text{lib}}/(\varepsilon_0\varepsilon_r)$.

Riepilogo

Errori comuni

• Mettere $\varepsilon_r$ al posto sbagliato: la capacità si moltiplica, il campo a carica fissa si divide.
• Calcolare la carica di polarizzazione come $(\varepsilon_r - 1)q$ invece di $\frac{\varepsilon_r - 1}{\varepsilon_r}q$.
• Usare la carica libera iniziale quando il condensatore è collegato al generatore: dopo l'inserimento la carica libera è cambiata, e la carica di polarizzazione va calcolata con quella nuova.
• Confondere serie e parallelo nei condensatori parzialmente riempiti: affiancati = parallelo, a strati = serie.