Flusso elettrico e legge di Gauss

Lezione del 13.10 (sezioni 3.1 e 3.2 del libro di testo). Prerequisiti: Campo elettrostatico di cariche puntiformiIl campo elettrostatico E = F/q₀ è la forza per unità di carica che subirebbe una carica di prova in un punto; per una carica puntiforme vale E = q/(4πε₀r²) in direzione radiale (uscente se q > 0), per più cariche si sommano i vettori; si misura in N/C = V/m e una carica q in un campo E subisce F = qE.Campo elettrostatico di cariche puntiformi →. Applicazioni: Legge di Gauss - guscio, sfera, cilindro e pianoCon la legge di Gauss e una superficie scelta secondo la simmetria si trovano subito i campi: guscio sferico (nullo dentro, q/(4πε₀r²) fuori), sfera piena uniforme (ρr/(3ε₀) dentro, cresce linearmente), cilindro o filo indefinito (λ/(2πε₀r) fuori), piano indefinito (σ/(2ε₀)); integrando il campo si ottengono i potenziali.Legge di Gauss - guscio, sfera, cilindro e piano →. Forma locale: Divergenza, rotore ed equazioni di Maxwell per l'elettrostaticaCon l'operatore nabla ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) si definiscono divergenza ∇·E (quanto campo "nasce" in un punto) e rotore ∇×E (quanto campo "gira"). Teoremi della divergenza e di Stokes trasformano le leggi integrali in leggi locali: le equazioni dell'elettrostatica sono ∮E·n dS = Q/ε₀ ⇔ ∇·E = ρ/ε₀ e ∮E·ds = 0 ⇔ ∇×E = 0; da E = −∇V segue l'equazione di Poisson ∇²V = −ρ/ε₀.Divergenza, rotore ed equazioni di Maxwell per l'elettrostatica →. È una domanda di teoria frequente all'esame (appelli 18.02.2025 e 22.01.2026).

Il flusso di un campo

Superficie piana e campo uniforme

Si immagini il campo come un "fluido" che scorre lungo le linee di campo. Il flusso attraverso una superficie misura quanto campo la attraversa.

Per una superficie piana di area $S$ in un campo uniforme $\vec E$, si orienta la superficie con un versore normale $\hat n$ (perpendicolare a essa) e si definisce

$$\Phi = \vec E\cdot\hat n\,S = ES\cos\theta,$$

dove $\theta$ è l'angolo tra il campo e la normale.

• $\theta = 0$ (campo perpendicolare alla superficie): flusso massimo, $ES$.
• $\theta = 90°$ (campo parallelo alla superficie, "la sfiora"): flusso nullo.
• $\theta > 90°$: flusso negativo (il campo attraversa nel verso opposto a $\hat n$).

Conta solo la componente del campo perpendicolare alla superficie. Graficamente il flusso è proporzionale al numero di linee di campo che attraversano la superficie.

Caso generale

Per una superficie qualsiasi e un campo non uniforme si divide la superficie in pezzetti $dS$ con normale $\hat n$ e si somma:

$$\Phi_S(\vec E) = \int_S \vec E\cdot\hat n\,dS.$$

Unità: V·m (oppure N·m²/C).

Superfici chiuse. Se la superficie racchiude un volume (sfera, cubo, cilindro con le basi), per convenzione $\hat n$ punta verso l'esterno: il flusso è positivo quando le linee escono, negativo quando entrano. Si scrive $\oint_S$.

La legge di Gauss

Legge di Gauss. Per ogni superficie chiusa $S$: $$\oint_S \vec E\cdot\hat n\,dS = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},$$ dove $Q_{\text{int}}$ è la carica totale (somma algebrica) contenuta nel volume racchiuso da $S$.

Il flusso non dipende dalla forma della superficie né da come sono disposte le cariche all'interno, e non dipende dalle cariche esterne.

Dimostrazione

Passo 1: carica puntiforme al centro di una sfera. Su una sfera di raggio $r$ centrata in $q$, il campo è radiale (quindi parallelo a $\hat n$) e ha lo stesso modulo $\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$ in ogni punto:

$$\oint \vec E\cdot\hat n\,dS = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\oint dS = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0}.$$

Il raggio si semplifica: l'area cresce come $r^2$ e il campo decresce come $\frac{1}{r^2}$. È qui che si vede che la legge di Gauss è equivalente al fatto che la forza di Coulomb va come $1/r^2$. (Ed è qui che il fattore $4\pi$ nella costante di Coulomb si cancella.)

Passo 2: carica interna, superficie qualsiasi. Si usa l'angolo solido. Un pezzetto $dS$ visto dalla carica sottende l'angolo solido $d\Omega = \frac{\hat n\cdot\hat u_r\,dS}{r^2}$ (l'area della sua proiezione perpendicolare al raggio, divisa per $r^2$). Il flusso attraverso $dS$ è

$$d\Phi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\hat u_r\cdot\hat n\,dS = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}d\Omega.$$

Dipende solo dall'angolo solido, non dalla distanza né dall'inclinazione di $dS$. Una superficie chiusa che contiene la carica la circonda completamente, e l'angolo solido totale attorno a un punto è $4\pi$ (l'area della sfera di raggio $1$): $\Phi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot 4\pi = \frac{q}{\varepsilon_0}$.

Passo 3: carica esterna. Se la carica è fuori, ogni cono di angolo solido $d\Omega$ che parte dalla carica e incontra la superficie la attraversa due volte (o un numero pari di volte): una entrando e una uscendo. I due contributi sono $\pm\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}d\Omega$ e si cancellano. Il flusso totale di una carica esterna è zero: ogni linea di campo che entra poi esce.

Passo 4: più cariche. Per il principio di sovrapposizione il flusso totale è la somma dei flussi: ogni carica interna contribuisce $\frac{q_i}{\varepsilon_0}$, ogni carica esterna $0$. Con una distribuzione continua, $Q_{\text{int}} = \int_V \rho\,dV$. ∎

Cosa dice (e cosa non dice)

• Il flusso dipende solo dalle cariche interne, ma il campo in un punto della superficie dipende da tutte le cariche, anche esterne. Le cariche esterne cambiano il campo sulla superficie in modo che il loro contributo al flusso totale sia nullo.
• Se il flusso è zero, non è detto che il campo sia nullo sulla superficie: può entrare da una parte e uscire dall'altra.
• La legge vale sempre, ma serve a calcolare il campo solo quando la simmetria permette di sapere a priori la direzione del campo e che il suo modulo è costante sulla superficie (sfere, cilindri, piani): Legge di Gauss - guscio, sfera, cilindro e pianoCon la legge di Gauss e una superficie scelta secondo la simmetria si trovano subito i campi: guscio sferico (nullo dentro, q/(4πε₀r²) fuori), sfera piena uniforme (ρr/(3ε₀) dentro, cresce linearmente), cilindro o filo indefinito (λ/(2πε₀r) fuori), piano indefinito (σ/(2ε₀)); integrando il campo si ottengono i potenziali.Legge di Gauss - guscio, sfera, cilindro e piano →.

Esempi di flusso

• Carica $q$ al centro di un cubo: per simmetria ognuna delle 6 facce riceve lo stesso flusso, $\frac{q}{6\varepsilon_0}$.
• Dipolo dentro una superficie: $Q_{\text{int}} = q - q = 0$, flusso nullo.
• Campo uniforme e superficie chiusa (senza cariche dentro): il flusso entrante da un lato è uguale a quello uscente dall'altro, totale $0$.
• Una sola faccia di un cubo di lato $\ell$ in un campo uniforme $E$ perpendicolare alla faccia: $\Phi = E\ell^2$.

Legge di Gauss in presenza di dielettrici

In un materiale isolante il campo induce cariche di polarizzazione, che contano anch'esse nella carica interna. Conviene allora usare il vettore $\vec D$, il cui flusso dipende solo dalle cariche libere: $\oint\vec D\cdot\hat n\,dS = Q_{\text{lib}}$. In un dielettrico omogeneo di costante relativa $\varepsilon_r$ basta sostituire $\varepsilon_0$ con $\varepsilon_0\varepsilon_r$: $\oint\vec E\cdot\hat n\,dS = \frac{Q_{\text{lib}}}{\varepsilon_0\varepsilon_r}$. Dettagli in Dielettrici - polarizzazione e vettore induzione elettricaUn dielettrico che riempie un condensatore ne moltiplica la capacità per la costante dielettrica relativa ε_r (κ) e, a carica fissata, divide campo e d.d.p. per ε_r. Il motivo è la polarizzazione: i dipoli molecolari si allineano (vettore P = momento di dipolo per unità di volume) e compaiono cariche di polarizzazione σ_p = P·n = (ε_r − 1)/ε_r · σ_lib che schermano il campo. Il vettore D = ε₀E + P ha flusso uguale alla sola carica libera: ∮D·n dS = Q_lib, e D = ε₀ε_r E.Dielettrici - polarizzazione e vettore induzione elettrica →.

Domanda d'esame tipo

"Si scriva e spieghi la legge di Gauss; la si dimostri per una carica racchiusa in una superficie sferica; si dica perché le cariche esterne non contano; si scriva la forma locale." Risposta in sintesi:

1. Enunciato: $\oint_S\vec E\cdot\hat n\,dS = Q_{\text{int}}/\varepsilon_0$, con $\hat n$ uscente.
2. Sfera centrata nella carica: campo radiale e costante in modulo, $\Phi = E\cdot 4\pi r^2 = q/\varepsilon_0$.
3. Cariche esterne: ogni linea di campo che entra esce; con l'angolo solido i contributi si cancellano a coppie.
4. Forma locale (teorema della divergenza): $\nabla\cdot\vec E = \rho/\varepsilon_0$, vedi Divergenza, rotore ed equazioni di Maxwell per l'elettrostaticaCon l'operatore nabla ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) si definiscono divergenza ∇·E (quanto campo "nasce" in un punto) e rotore ∇×E (quanto campo "gira"). Teoremi della divergenza e di Stokes trasformano le leggi integrali in leggi locali: le equazioni dell'elettrostatica sono ∮E·n dS = Q/ε₀ ⇔ ∇·E = ρ/ε₀ e ∮E·ds = 0 ⇔ ∇×E = 0; da E = −∇V segue l'equazione di Poisson ∇²V = −ρ/ε₀.Divergenza, rotore ed equazioni di Maxwell per l'elettrostatica →.
5. Nei dielettrici: $\oint\vec D\cdot\hat n\,dS = Q_{\text{lib}}$.

Errori comuni

• Contare le cariche esterne nella carica interna.
• Confondere flusso nullo con campo nullo.
• Usare la legge di Gauss per calcolare il campo senza simmetria: l'integrale non si semplifica e non si può ricavare $E$.
• Orientare la normale verso l'interno: per le superfici chiuse va verso l'esterno.