Filtri FIR a fase lineare - tipi e zeri

Dalla nota Sistemi a fase lineare e assenza di distorsioneUn sistema non deforma il segnale se y[n] = K x[n-n0]: modulo costante e fase lineare -n0 w, cioè ritardo di gruppo costante n0. Un sistema reale e causale ha fase lineare (generalizzata) se e solo se è FIR con risposta impulsiva simmetrica h[n] = h[N-n] (ampiezza pari, fase -N w/2) o antisimmetrica h[n] = -h[N-n] (ampiezza dispari, fase -N w/2 + pi/2). Il ritardo di gruppo è N/2: intero se N è pari (vale la condizione di non distorsione), semi-intero se N è dispari (uscita interpolata e ritardata). Un IIR causale non può essere simmetrico, quindi non ha fase lineare esatta.Sistemi a fase lineare e assenza di distorsione →: un FIR reale e causale ha fase lineare se $h[n]=\pm h[N-n]$. Qui si studiano le quattro famiglie che ne risultano, la loro risposta in ampiezza e, soprattutto, dove stanno gli zeri della funzione di sistema $H(z)$ (Funzione di sistema, poli, zeri e stabilitàLa funzione di sistema H(z) è la trasformata zeta della risposta impulsiva: con ingresso z^n l'uscita è H(z) z^n. Per un FIR H(z) = Σ b_k z^{-k} è un polinomio con M zeri e M poli in z = 0; in generale H = B(z)/A(z) dall'equazione alle differenze. Sulla circonferenza unitaria H(e^{jω̂}) è la risposta in frequenza: |H| = prodotto delle distanze dagli zeri / prodotto delle distanze dai poli, quindi gli zeri bloccano frequenze e i poli le esaltano. Un LTI causale è BIBO stabile se e solo se tutti i poli hanno modulo < 1 (a meno di cancellazioni polo-zero); i FIR sono sempre stabili.Funzione di sistema, poli, zeri e stabilità →). Gli zeri in $z=\pm1$ non sono una scelta di progetto ma una conseguenza della simmetria e della lunghezza: decidono quali filtri (passa-basso, passa-alto, ...) un dato tipo può realizzare.

I quattro tipi

La simmetria ($h[n]=h[N-n]$ oppure $h[n]=-h[N-n]$) e la parità di $N$ danno quattro combinazioni.

Esempio. $\{1,2,3,2,1\}$ è di tipo I; $\{1,2,2,1\}$ di tipo II; $\{1,2,0,-2,-1\}$ di tipo III; $\{1,2,-2,-1\}$ di tipo IV.

In tutti i casi $H(e^{j\hat\omega})=e^{-j\hat\omega N/2}\,e^{j\beta}A(\hat\omega)$, con $\beta=0$ per i tipi I e II e $\beta=\pi/2$ per i tipi III e IV, e $A$ reale. Il modulo è $\lvert A\rvert$, la fase è $-N\hat\omega/2$ più $\pi$ dove $A<0$ (e più $\pi/2$ per III e IV).

La risposta in ampiezza dei quattro tipi

Si ricavano raccogliendo $e^{-j\hat\omega N/2}$ e accoppiando $h[n]$ con $h[N-n]$ (stesso metodo della nota precedente); ognuno dei calcoli si fa una sola volta.

Formula (ampiezza dei quattro tipi).

• Tipo I ($N$ pari, simmetrica): $A(\hat\omega)=h\!\left[\tfrac N2\right]+2\sum_{k=1}^{N/2}h\!\left[\tfrac N2-k\right]\cos(k\hat\omega)=\sum_{k=0}^{N/2}a_k\cos(k\hat\omega)$, con $a_0=h[N/2]$ e $a_k=2h[N/2-k]$.
• Tipo II ($N$ dispari, simmetrica): $A(\hat\omega)=2\sum_{k=1}^{(N+1)/2}h\!\left[\tfrac{N+1}2-k\right]\cos\!\big((k-\tfrac12)\hat\omega\big)$.
• Tipo III ($N$ pari, antisimmetrica): $A(\hat\omega)=2\sum_{k=1}^{N/2}h\!\left[\tfrac N2-k\right]\sin(k\hat\omega)$.
• Tipo IV ($N$ dispari, antisimmetrica): $A(\hat\omega)=2\sum_{k=1}^{(N+1)/2}h\!\left[\tfrac{N+1}2-k\right]\sin\!\big((k-\tfrac12)\hat\omega\big)$.

Esempi (verificati con Python). Tipo II, $h=\{1,2,2,1\}$: $A=4\cos\frac{\hat\omega}2+2\cos\frac{3\hat\omega}2$. Tipo III, $h=\{1,1,0,-1,-1\}$: $A=2\sin\hat\omega+2\sin2\hat\omega$. Tipo IV, $h=\{1,2,-2,-1\}$: $A=4\sin\frac{\hat\omega}2+2\sin\frac{3\hat\omega}2$. Tipo I, $h=\{1,-2.8991,4.2025,-2.8991,1\}$: $A=4.2025-5.7983\cos\hat\omega+2\cos2\hat\omega$.

Le proprietà di periodicità e simmetria di $A$ si leggono dalle formule:

Il perché è nelle formule: per il tipo II, $\cos((k-\tfrac12)(2\pi-\hat\omega))=-\cos((k-\tfrac12)\hat\omega)$, quindi $A(2\pi-\hat\omega)=-A(\hat\omega)$ e in particolare $A(\pi)=0$; per il tipo III, $\sin(k(2\pi-\hat\omega))=-\sin(k\hat\omega)$ e $\sin(k\pi)=0$.

Gli zeri di $H(z)$

La relazione di specchio

Sia $H(z)=\sum_{n=0}^{N}h[n]z^{-n}$ (Trasformata zeta - definizione e regione di convergenzaLa trasformata zeta bilatera X(z) = Σ x[n] z^{-n} associa a una sequenza una funzione della variabile complessa z, definita nella regione di convergenza (ROC), sempre una corona circolare |z| in (R1, R2). Segnale a durata finita: ROC tutto il piano (tranne eventualmente 0 e ∞); causale: |z| > R1 (teorema di Abel); anticausale: |z| < R2; bilatero: intersezione, se non vuota. La stessa espressione algebrica con ROC diverse è la trasformata di segnali diversi: la ROC fa parte della trasformata. Sulla circonferenza unitaria, se è nella ROC, X(e^{jθ}) è la trasformata di Fourier. Le ROC non contengono poli.Trasformata zeta - definizione e regione di convergenza →). Se $h[n]=\pm h[N-n]$, con il cambio di indice $m=N-n$: $$H(z)=\pm\sum_{n=0}^{N}h[N-n]z^{-n}=\pm\sum_{m=0}^{N}h[m]z^{-(N-m)}=\pm z^{-N}\sum_m h[m]z^{m}=\pm\,z^{-N}H(z^{-1}).$$ Il segno $+$ vale per i tipi I e II, il segno $-$ per III e IV. Da questa identità e dal fatto che $h$ è reale si traggono le regole sugli zeri.

Teorema (posizione degli zeri). Sia $h$ reale e $h[n]=\pm h[N-n]$.

1. Se $z_0\neq0$ è uno zero, lo è anche $1/z_0$ (zero reciproco).
2. Se $z_0$ è uno zero, lo è anche $z_0^*$ (coniugato), perché $h$ è reale.
3. Quindi uno zero complesso fuori dalla circonferenza unitaria genera una quaterna $\{z_0,\ z_0^*,\ 1/z_0,\ 1/z_0^*\}$.
4. Uno zero sulla circonferenza unitaria, $z_0=e^{j\theta}$, ha reciproco $1/z_0=z_0^*$ (già incluso): gli zeri sulla circonferenza vengono in coppie $\{e^{j\theta},e^{-j\theta}\}$.
5. Uno zero reale $z_0\ne\pm1$ viene in coppie $\{z_0,1/z_0\}$.
6. Gli zeri in $z=1$ e $z=-1$ sono il proprio reciproco e il proprio coniugato: possono comparire da soli.

Esempio (quaterna). Zeri in $0.8e^{\pm j\pi/4}$ e in $1.25e^{\pm j\pi/4}$: il polinomio è $(1-1.1314z^{-1}+0.64z^{-2})(1-1.7678z^{-1}+1.5625z^{-2})$, cioè $h=\{1,\ -2.8991,\ 4.2025,\ -2.8991,\ 1\}$, di tipo I (simmetrico) come previsto. Il fattore $1.1314=2\cdot0.8\cos\frac\pi4$ è la somma dei due zeri $0.8e^{\pm j\pi/4}$ e $0.64=0.8^2$ il loro prodotto.

Esempio (coppie sulla circonferenza). $h=\{1,2,3,2,1\}=(1+z^{-1}+z^{-2})^2$ ha uno zero doppio in $e^{j2\pi/3}$ e uno in $e^{-j2\pi/3}$: sono due coppie coniugate sovrapposte e l'ampiezza è $A=(1+2\cos\hat\omega)^2$, con zero doppio in $\hat\omega=2\pi/3$ (la fase non salta perché il segno di $A$ non cambia).

Gli zeri forzati in $z=1$ e $z=-1$

Si valuta l'identità di specchio nei due punti che coincidono con il proprio reciproco.

In $z=1$: $H(1)=\pm H(1)$. Con il segno $+$ non c'è vincolo; con il segno $-$ si ha $H(1)=-H(1)$, cioè $H(1)=0$. Quindi i tipi III e IV (antisimmetrici, qualunque $N$) hanno sempre uno zero in $z=1$, cioè $A(0)=0$. Lo si vede anche direttamente: $H(1)=\sum h[n]=0$ perché i termini si cancellano a coppie, $h[n]+h[N-n]=0$.

In $z=-1$: $H(-1)=\pm(-1)^{-N}H(-1)=\pm(-1)^N H(-1)$. C'è uno zero forzato quando il fattore moltiplicativo vale $-1$:

Versione "a coppie" (come nell'appunto a mano del corso): $H(-1)=\sum h[n](-1)^n$; per il tipo II si accoppiano $h[n](-1)^n$ e $h[N-n](-1)^{N-n}$; poiché $h[n]=h[N-n]$ e $N$ è dispari, $(-1)^{N-n}=-(-1)^n$ e la somma di ogni coppia fa $0$.

Teorema (zeri forzati).

• Tipo I: nessun vincolo.
• Tipo II: zero in $z=-1$ (cioè $A(\pi)=0$).
• Tipo III: zeri in $z=1$ e in $z=-1$.
• Tipo IV: zero in $z=1$ (e non in $z=-1$).

Esempi (verificati con Python). Tipo II $\{1,2,2,1\}$: $\sum h[n](-1)^n=1-2+2-1=0$ ✓, e gli zeri sono $-1$ e $e^{\pm j2\pi/3}$. Tipo III $\{1,1,0,-1,-1\}=(1-z^{-2})(1+z^{-1}+z^{-2})$: $H(1)=0$, $H(-1)=1-1+0+1-1=0$ ✓. Tipo IV $\{1,2,-2,-1\}$: $H(1)=0$ ma $H(-1)=1-2-2+1=-2\neq0$ ✓; gli zeri sono $1$ e le radici di $z^2+3z+1$, cioè $-0.382$ e $-2.618$ (coppia reale reciproca: $0.382\cdot2.618=1$).

Nota. L'appunto scritto a mano sul file "Zeros of linear phase filters" chiude con "lo stesso vale per il tipo IV" a proposito dello zero in $\pi$; per il tipo IV questo non è vero (vedi l'esempio sopra), mentre è vero per il tipo III. Le slide della lezione 13 sono corrette: tipo IV ha solo lo zero in $z=1$.

Conseguenze sui filtri realizzabili

Gli zeri forzati cadono dove la risposta in ampiezza è nulla ($z=1\leftrightarrow\hat\omega=0$, $z=-1\leftrightarrow\hat\omega=\pi$), e questo limita le specifiche che il tipo può rispettare.

• Tipo I: nessuna limitazione, quindi passa-basso, passa-alto, passa-banda ed elimina-banda (low-pass, high-pass, band-pass, band-stop).
• Tipo II: $A(\pi)=0$, quindi non può essere passa-alto né passa-banda con banda vicina a $\pi$: realizza passa-basso ed elimina-banda.
• Tipo III: $A(0)=A(\pi)=0$, quindi né passa-basso né passa-alto: solo passa-banda.
• Tipo IV: $A(0)=0$, quindi non può essere passa-basso: passa-alto e passa-banda.

I tipi antisimmetrici (III e IV) servono anche dove la risposta ideale è proprio dispari, per esempio i derivatori e i trasformatori di Hilbert. Gli zeri forzati non si possono "progettare via": se un filtro di tipo II ha un guadagno $1$ richiesto in $\hat\omega=\pi$, nessun valore dei coefficienti lo ottiene; serve un tipo I (ordine pari).

Esempio. La media di due campioni $\{1,1\}/2$ è di tipo II, $H=e^{-j\hat\omega/2}\cos(\hat\omega/2)$ e vale $0$ in $\hat\omega=\pi$: è un passa-basso con zero sull'alta frequenza (elimina l'alternanza $(-1)^n$). La differenza $\{1,-1\}$ è di tipo IV, $H=2j\,e^{-j\hat\omega/2}\sin(\hat\omega/2)$, zero in $\hat\omega=0$: passa-alto (elimina la continua).

Struttura: ogni tipo è un tipo I per un fattore fisso

Poiché gli zeri forzati sono zeri di fattori noti, si può estrarli: il resto è un FIR simmetrico di tipo I.

I fattori sono $1+e^{-j\hat\omega}=e^{-j\hat\omega/2}\,2\cos\frac{\hat\omega}2$, $\;1-e^{-j\hat\omega}=e^{-j\hat\omega/2}\,2j\sin\frac{\hat\omega}2$ e $1-e^{-2j\hat\omega}=e^{-j\hat\omega}\,2j\sin\hat\omega$: la fase lineare del fattore si somma a quella di $H_I$. I gradi di libertà sono quelli del tipo I corrispondente: $N/2+1$ per il tipo I, $(N+1)/2$ per i tipi II e IV, $N/2$ per il tipo III.

Esempi (verificati con Python). $\{1,1\}*\{1,1,1\}=\{1,2,2,1\}$ (tipo II come tipo I di ordine 2 per $(1+z^{-1})$); $\{1,0,-1\}*\{1,1,1\}=\{1,1,0,-1,-1\}$ (tipo III); $\{1,-1\}*\{1,3,1\}=\{1,2,-2,-1\}$ (tipo IV). Per $(1+z^{-1})^3=\{1,3,3,1\}$ lo zero in $-1$ è triplo.

Riassunto

Domande d'esame

1. Classificare i FIR a fase lineare, ricavare gli zeri forzati di ciascun tipo e dire quali filtri selettivi sono realizzabili. Traccia: quattro tipi da simmetria e parità di $N$; $H(z)=\pm z^{-N}H(1/z)$; valutazione in $z=1$ e $z=-1$ con fattore $\pm(-1)^N$; tipo II e III in $-1$, III e IV in $1$; tabella dei filtri; esempio numerico con $h$ piccola.
2. Dove si trovano gli zeri di un FIR a fase lineare reale? Perché compaiono a quaterne? Traccia: zero $z_0\Rightarrow1/z_0$ (specchio) e $z_0^*$ (coefficienti reali); quaterne, coppie sulla circonferenza, coppie reali, zeri isolati in $\pm1$; esempio $\{1,-2.8991,4.2025,-2.8991,1\}$.
3. Esprimere un FIR di tipo II, III o IV tramite un tipo I e dedurre la risposta in ampiezza. Traccia: fattori $1+z^{-1}$, $1-z^{-2}$, $1-z^{-1}$; $A=2\cos\frac{\hat\omega}2A_I$, $2\sin\hat\omega A_I$, $2\sin\frac{\hat\omega}2A_I$; gradi di libertà.