Proprietà della trasformata zeta

Le proprietà permettono di calcolare trasformate e antitrasformate partendo da poche coppie di base (Trasformata zeta - definizione e regione di convergenzaLa trasformata zeta bilatera X(z) = Σ x[n] z^{-n} associa a una sequenza una funzione della variabile complessa z, definita nella regione di convergenza (ROC), sempre una corona circolare |z| in (R1, R2). Segnale a durata finita: ROC tutto il piano (tranne eventualmente 0 e ∞); causale: |z| > R1 (teorema di Abel); anticausale: |z| < R2; bilatero: intersezione, se non vuota. La stessa espressione algebrica con ROC diverse è la trasformata di segnali diversi: la ROC fa parte della trasformata. Sulla circonferenza unitaria, se è nella ROC, X(e^{jθ}) è la trasformata di Fourier. Le ROC non contengono poli.Trasformata zeta - definizione e regione di convergenza →) e di trasformare operazioni complicate nel dominio del tempo (convoluzione, ritardo) in operazioni semplici nel dominio $z$. Ogni proprietà indica anche come cambia la ROC. Per gli argomenti di base sulla zeta vedere anche Trasformata zeta e sistemi a tempo discretoUn sistema LTI discreto è descritto da un'equazione alle differenze Σ a_i y(n-i) = Σ b_i x(n-i) con condizioni iniziali. L'uscita è evoluzione libera (dalle condizioni iniziali) più risposta forzata g*x. Si calcola in tre modi: soluzione dell'equazione, risposta impulsiva con segnale fittizio, trasformata zeta. FIR: memoria finita, sempre stabile; IIR: stabile se tutti i poli hanno modulo minore di 1. In frequenza G(f) = Σ b_i e^{-i2πfi} / Σ a_i e^{-i2πfi}.Trasformata zeta e sistemi a tempo discreto → e Trasformata Z ed equazioni alle differenzeLa trasformata Z, $X(z)=\sum x(n)z^{-n}$, è la versione discreta di Laplace (la TFtd è $X(e^{j\omega})$). Un sistema descritto da un'equazione alle differenze $\sum a_ky(n-k)=\sum b_kx(n-k)$ ha $H(z)=\frac{\sum b_kz^{-k}}{\sum a_kz^{-k}}$ ed è BIBO stabile (se causale) quando tutti i poli stanno dentro il cerchio unitario, $|p|<1$. Cenni.Trasformata Z ed equazioni alle differenze →. Nel seguito $x[n]\leftrightarrow X(z)$ con ROC $R_X=\{R_1<\lvert z\rvert<R_2\}$.

Linearità

Proprietà (linearità). Se $x\leftrightarrow X$ (ROC $R_X$) e $y\leftrightarrow Y$ (ROC $R_Y$), allora $\alpha x+\beta y\leftrightarrow\alpha X(z)+\beta Y(z)$ con ROC contenente $R_X\cap R_Y$.

La ROC può essere più grande dell'intersezione quando nella somma si cancellano poli. Esempio. $x[n]=u[n]$ ($\lvert z\rvert>1$) e $y[n]=u[n-1]$ ($\lvert z\rvert>1$): la differenza $x-y=\delta[n]$ ha $X-Y=\frac{1-z^{-1}}{1-z^{-1}}=1$, ROC tutto il piano.

Ritardo (time shifting)

Proprietà (ritardo). $x[n-n_0]\leftrightarrow z^{-n_0}X(z)$, con la stessa ROC (con la possibile esclusione dell'origine e inclusione dell'infinito).

Dimostrazione (un campione). $\sum_nx[n-1]z^{-n}=\sum_mx[m]z^{-m-1}=z^{-1}X(z)$ (cambio $m=n-1$). Per questo il ritardo unitario si disegna come un blocco $z^{-1}$ negli schemi. Un anticipo ($x[n+n_0]$) è $z^{n_0}X(z)$.

Esempio. $\delta[n-1]\to z^{-1}$ (ROC $z\ne0$), $\delta[n+1]\to z$ (ROC senza infinito). Un FIR $y[n]=\sum b_kx[n-k]$ ha $Y=\big(\sum b_kz^{-k}\big)X$: la funzione di sistema è il polinomio (vedi Funzione di sistema, poli, zeri e stabilitàLa funzione di sistema H(z) è la trasformata zeta della risposta impulsiva: con ingresso z^n l'uscita è H(z) z^n. Per un FIR H(z) = Σ b_k z^{-k} è un polinomio con M zeri e M poli in z = 0; in generale H = B(z)/A(z) dall'equazione alle differenze. Sulla circonferenza unitaria H(e^{jω̂}) è la risposta in frequenza: |H| = prodotto delle distanze dagli zeri / prodotto delle distanze dai poli, quindi gli zeri bloccano frequenze e i poli le esaltano. Un LTI causale è BIBO stabile se e solo se tutti i poli hanno modulo < 1 (a meno di cancellazioni polo-zero); i FIR sono sempre stabili.Funzione di sistema, poli, zeri e stabilità →).

Caso unilatero. Con $X^+(z)=\sum_{n\ge0}x[n]z^{-n}$ compaiono i valori prima di $n=0$: $x[n-1]\to z^{-1}X^+(z)+x[-1]$; in generale per $n_0>0$: $z^{-n_0}X^+(z)+\sum_{n=1}^{n_0}x[-n]z^{-(n_0-n)}$. Per l'anticipo: $x[n+1]\to zX^+(z)-zx[0]$ e per $n_0$ campioni $z^{n_0}X^+(z)-\sum_{n=0}^{n_0-1}x[n]z^{n_0-n}$. Per un segnale causale $x[-1]=0$ e le due versioni coincidono: è il caso che interessa per i sistemi con condizioni iniziali nulle.

Convoluzione

Proprietà (convoluzione). $x[n]*h[n]\leftrightarrow X(z)H(z)$, con ROC $\supseteq R_X\cap R_H$.

Scambia l'operazione più laboriosa del dominio del tempo con un prodotto. Esempio. $x=(0{,}5)^nu[n]$ e $u[n]$: $Y=\frac1{(1-0{,}5z^{-1})(1-z^{-1})}$, $\lvert z\rvert>1$, e antitrasformando $y[n]=\big(2-(0{,}5)^n\big)u[n]$ (si veda Antitrasformata zetaPer tornare da X(z) a x[n] serve anche la ROC. Formula di inversione x[n] = (1/2πj)∮ X(z)z^{n-1}dz (somma dei residui). Nella pratica: ispezione (riconoscere coppie note, scegliendo la ROC), divisione lunga (sviluppo in serie di potenze), frazioni parziali per le razionali. Causale con poli semplici p_k: X = Σ A_k/(1-p_k z^-1) con A_k = [(1-p_k z^-1)X]_{z=p_k}, x[n] = Σ A_k p_k^n u[n]; se il grado del numeratore in z^-1 è ≥ di quello del denominatore c'è anche una parte polinomiale (impulsi). Poli doppi: n a^n u[n]; poli complessi coniugati: r^n cos(ω0 n + φ).Antitrasformata zeta →; verificato con la convoluzione diretta). Come nella linearità, una cancellazione polo-zero può allargare la ROC: $u[n]$ filtrato da $h=\delta[n]-\delta[n-1]$ dà $Y(z)=\frac{1-z^{-1}}{1-z^{-1}}=1$ in tutto il piano.

Stabilità BIBO

Un LTI con risposta impulsiva $h[n]$ è BIBO stabile (bounded-input bounded-output) se e solo se $h$ è assolutamente sommabile: $\sum_n\lvert h[n]\rvert<\infty$. Sulla circonferenza unitaria $H(e^{j\theta})=\sum h[n]e^{-jn\theta}$ converge assolutamente esattamente in quel caso, quindi:

Proprietà (stabilità). Il sistema è BIBO stabile se e solo se la ROC di $H(z)$ contiene la circonferenza unitaria $\{\lvert z\rvert=1\}$.

Il corollario sui poli (causale: tutti i poli in $\lvert p\rvert<1$) è nella nota Funzione di sistema, poli, zeri e stabilitàLa funzione di sistema H(z) è la trasformata zeta della risposta impulsiva: con ingresso z^n l'uscita è H(z) z^n. Per un FIR H(z) = Σ b_k z^{-k} è un polinomio con M zeri e M poli in z = 0; in generale H = B(z)/A(z) dall'equazione alle differenze. Sulla circonferenza unitaria H(e^{jω̂}) è la risposta in frequenza: |H| = prodotto delle distanze dagli zeri / prodotto delle distanze dai poli, quindi gli zeri bloccano frequenze e i poli le esaltano. Un LTI causale è BIBO stabile se e solo se tutti i poli hanno modulo < 1 (a meno di cancellazioni polo-zero); i FIR sono sempre stabili.Funzione di sistema, poli, zeri e stabilità →.

Coniugato

$x^*[n]\leftrightarrow X^*(z^*)$ con la stessa ROC. Per un segnale reale ($x=x^*$) segue $X(z)=X^*(z^*)$: zeri e poli reali oppure a coppie di complessi coniugati.

Inversione temporale

Proprietà (time reversal). $x[-n]\leftrightarrow X(z^{-1})$, ROC $\{\frac1{R_2}<\lvert z\rvert<\frac1{R_1}\}$ (raggi invertiti).

Esempio. $a^nu[n]\to\frac1{1-az^{-1}}$, $\lvert z\rvert>\lvert a\rvert$. Allora $a^{-n}u[-n]\to\frac1{1-az}$ con ROC $\lvert z\rvert<\frac1{\lvert a\rvert}$: infatti $\sum_{n\le0}a^{-n}z^{-n}=\sum_{m\ge0}(az)^m$, geometrica di ragione $az$ (verificato numericamente con $a=0{,}6$).

Derivazione nel dominio $z$

Derivando $X(z)=\sum x[n]z^{-n}$ termine a termine, $\frac{dX}{dz}=\sum(-n)x[n]z^{-n-1}=-z^{-1}\sum nx[n]z^{-n}$, quindi:

Proprietà (derivazione). $n\,x[n]\leftrightarrow-z\dfrac{dX(z)}{dz}$, stessa ROC. Iterando: $n^2x[n]\leftrightarrow-z\frac{d}{dz}\big(-z\frac{dX}{dz}\big)$.

Esempio. Da $a^nu[n]\to\frac1{1-az^{-1}}$: $-z\frac{d}{dz}\frac1{1-az^{-1}}=\frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2}$, ovvero $n\,a^nu[n]\leftrightarrow\dfrac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2}$, $\lvert z\rvert>\lvert a\rvert$ (verificato numericamente con $a=0{,}6$, $z=1{,}7e^{0{,}9j}$). È la coppia che serve per i poli doppi.

Moltiplicazione per un esponenziale

Proprietà (scalamento in $z$). $a^nx[n]\leftrightarrow X(z/a)$ con ROC $\{\lvert a\rvert R_1<\lvert z\rvert<\lvert a\rvert R_2\}$.

Dimostrazione: $\sum a^nx[n]z^{-n}=\sum x[n](z/a)^{-n}$. Se $\lvert a\rvert<1$ la ROC si contrae (i due raggi diminuiscono), se $\lvert a\rvert>1$ si espande. Esempio. $u[n]\to\frac1{1-z^{-1}}$ ($\lvert z\rvert>1$) e $(0{,}5)^nu[n]\to\frac1{1-0{,}5z^{-1}}$ ($\lvert z\rvert>0{,}5$). Se $a=e^{j\omega_0}$ ($\lvert a\rvert=1$) è la traslazione in frequenza: $e^{j\omega_0n}x[n]\leftrightarrow X(e^{-j\omega_0}z)$ (ROC invariata): il diagramma poli-zeri ruota di $\omega_0$ e lo spettro $X(e^{j\theta})$ trasla.

Teoremi del valore iniziale e finale

Con la trasformata unilatera $X^+(z)=x[0]+x[1]z^{-1}+x[2]z^{-2}+\dots$

Teorema (valore iniziale). $x[0]=\lim_{z\to\infty}X^+(z)$.

Perché tutti i termini $z^{-n}$ con $n\ge1$ tendono a zero. Esempio. $X^+(z)=\frac1{1-0{,}5z^{-1}}\to1=x[0]$.

Teorema (valore finale). Sia $W(z)=(1-z^{-1})X^+(z)$. Se la ROC di $W$ contiene $z=1$, allora $\lim_{n\to\infty}x[n]=\lim_{z\to1}(1-z^{-1})X^+(z)$.

Perché: la sequenza $y[n]=x[n]-x[n-1]$ ha $Y^+=(1-z^{-1})X^+-x[-1]$ e la somma delle differenze dei campioni si telescopa in $x[N]-x[-1]$. L'ipotesi sulla ROC non è un dettaglio: i poli di $(1-z^{-1})X^+$ devono stare dentro il cerchio unitario.

Esempio. $x[n]=(2-0{,}5^n)u[n]$, $X=\frac2{1-z^{-1}}-\frac1{1-0{,}5z^{-1}}$: $(1-z^{-1})X\to2$ per $z\to1$, e $x[n]\to2$ (verificato). Controesempi: $(-1)^nu[n]$ ha $(1-z^{-1})\frac1{1+z^{-1}}\to0$ ma la successione non ha limite (polo in $-1$ sul cerchio); $2^nu[n]$ ha $(1-z^{-1})\frac1{1-2z^{-1}}\to0$ ma $x[n]\to\infty$ (polo fuori dal cerchio). Il teorema vale solo se la ROC di $W$ contiene $z=1$.

Tabelle

Esempio (espansione). Inserendo uno zero tra i campioni di $0{,}6^nu[n]$ (cioè $x_{(2)}[2m]=0{,}6^m$) si ottiene $\sum0{,}6^mz^{-2m}=\frac1{1-0{,}6z^{-2}}=X(z^2)$ (verificato).

Coppie notevoli (tutte con $\alpha\in\mathbb C$, $r>0$):

Le ultime quattro si ricavano da $\alpha^nu[n]$ con $\alpha=re^{\pm j\omega_0}$ e Eulero (verificate numericamente con $r=0{,}8$, $\omega_0=0{,}7$, $z=1{,}7e^{0{,}9j}$). Al polo di $r^n\cos(\omega_0n)u[n]$ sta una coppia di poli complessi coniugati $re^{\pm j\omega_0}$: il modulo $r$ dà il decadimento, l'angolo $\omega_0$ la frequenza dell'oscillazione.

Domande d'esame

1. Enunciare e dimostrare le proprietà di ritardo e di convoluzione della trasformata zeta; che cosa accade alla ROC? Traccia: cambio di indice per il ritardo (e il termine $x[-1]$ nell'unilatera); per la convoluzione scambio delle somme; ROC $\supseteq$ intersezione, con cancellazione polo-zero possibile; uso: funzione di sistema del FIR $=\sum b_kz^{-k}$.
2. Teoremi del valore iniziale e finale: enunciato, dimostrazione e condizioni. Traccia: iniziale da $\lim_{z\to\infty}z^{-n}=0$; finale dalla differenza $x[n]-x[n-1]$; ipotesi: $z=1$ nella ROC di $(1-z^{-1})X^+$; controesempi $(-1)^nu[n]$ e $2^nu[n]$.
3. Stabilità BIBO e ROC. Traccia: $\sum\lvert h\rvert<\infty\Leftrightarrow$ la serie $\sum h[n]e^{-jn\theta}$ converge assolutamente $\Leftrightarrow$ circonferenza unitaria in ROC.