Filtri IIR - definizione e confronto con i FIR

Un filtro FIR calcola ogni campione d'uscita con un numero finito di campioni dell'ingresso (Sistemi a tempo discreto e filtri FIRUn sistema a tempo discreto trasforma una sequenza x[n] in una sequenza y[n]. Il filtro FIR causale di ordine M calcola y[n] = Σ b_k x[n-k] (k = 0..M): è una media mobile pesata di L = M+1 campioni, la sua risposta impulsiva h[n] coincide con i coefficienti b_k e l'uscita ha supporto lungo N+M se l'ingresso è lungo N. La media mobile è un passa-basso che ritarda di M/2 campioni; la versione centrata non è causale. Gli schemi a blocchi usano solo moltiplicatori, sommatori e ritardi unitari, senza anelli (feed-forward).Sistemi a tempo discreto e filtri FIR →). Un filtro IIR (infinite impulse response) usa anche campioni dell'uscita già calcolati: l'uscita viene "riportata indietro" e combinata con l'ingresso, quindi è un sistema con retroazione (feedback) o ricorsivo (recursive filter). La conseguenza, da cui il nome, è che la risposta impulsiva dura infinitamente.

L'equazione alle differenze

Definizione (filtro IIR). La classe più generale di sistemi LTI a tempo discreto realizzabili con un numero finito di operazioni è $$y[n]=\sum_{\ell=1}^{N}a_\ell\,y[n-\ell]+\sum_{k=0}^{M}b_k\,x[n-k].$$ I $N$ coefficienti $a_\ell$ sono i coefficienti di retroazione (feedback coefficients), gli $M+1$ coefficienti $b_k$ quelli in avanti (feed-forward coefficients). Servono $N+M+1$ coefficienti. Con $N=0$ si ricade nei FIR. L'ordine del filtro IIR è $N$, il numero di termini di retroazione.

Esempio. $y[n]=0{,}8\,y[n-1]+5\,x[n]$ è un IIR del primo ordine con $N=M=1$, $a_1=0{,}8$, $b_0=5$, $b_1=0$.

Il numero di ritardi $N$ e $M$ dà il grado dei due polinomi della funzione di sistema, vista sotto.

Condizioni di riposo iniziale

Per calcolare $y[0]$ nell'esempio serve $y[-1]$, che non è dato dall'equazione. Per rendere il sistema univocamente LTI si fanno due ipotesi, le condizioni di riposo iniziale (initial rest conditions):

1. l'ingresso è nullo prima di un certo istante $n_0$ (ingresso applicato di colpo): $x[n]=0$ per $n<n_0$;
2. l'uscita è nulla prima di $n_0$: $y[n]=0$ per $n<n_0$.

Il sistema è "a riposo" finché l'ingresso non arriva. Senza queste condizioni il risultato dipenderebbe dalle condizioni iniziali e il sistema non sarebbe né lineare né invariante nel tempo (Risposta a regime e transitorioLa formula y[n] = H(ω̂) X e^{jω̂n} vale per un esponenziale complesso definito per ogni n. Se l'esponenziale è applicato all'istante n = 0, x[n] = X e^{jω̂n}u[n], l'uscita di un FIR di ordine M ha tre regioni: zero per n < 0, transitorio per 0 ≤ n < M (somma incompleta Σ_{k=0}^{n} h[k]e^{-jω̂k}), regime per n ≥ M (uguale al caso bilatero). Per un IIR stabile il transitorio non si annulla in tempo finito ma tende a zero; la sua analisi dice se il sistema è stabile.Risposta a regime e transitorio →).

Esempio. Con $y[n]=0{,}8y[n-1]+5x[n]$ e $x[n]=2\delta[n]-3\delta[n-1]+2\delta[n-3]$ (quattro campioni): $$y[0]=0{,}8\cdot0+5\cdot2=10,\quad y[1]=0{,}8\cdot10+5\cdot(-3)=-7,\quad y[2]=0{,}8\cdot(-7)+0=-5{,}6,$$ $$y[3]=0{,}8\cdot(-5{,}6)+5\cdot2=5{,}52,\quad y[4]=0{,}8\cdot5{,}52=4{,}416,\quad y[5]=3{,}5328,\ \dots$$ L'ingresso dura quattro campioni, ma dopo $n=3$ il termine $5x[n]$ è zero e il termine $0{,}8\,y[n-1]$ continua a produrre valori non nulli: l'uscita non si ferma più, e decresce come $0{,}8^n$. Un FIR con ingresso di lunghezza finita ha sempre uscita di lunghezza finita; per un IIR in generale (ma non sempre) no.

Risposta impulsiva

Un sistema LTI è caratterizzato dalla risposta impulsiva $h[n]$, l'uscita a $x[n]=\delta[n]$ (Sistemi LTI e convoluzione discretaUn sistema lineare e tempo-invariante (LTI) è completamente descritto dalla sua risposta impulsiva h[n]: y[n] = Σ x[k] h[n-k] = x[n] * h[n] (somma di convoluzione). Si ricava scomponendo x in impulsi traslati e usando linearità e invarianza. La convoluzione è commutativa, associativa e distributiva; una cascata di LTI equivale a un solo filtro con h = h1 * h2 e l'ordine non conta. Se x ha lunghezza N e h lunghezza L, y ha lunghezza N+L-1. Si calcola col metodo della finestra scorrevole o a tabella. I FIR sono LTI; altri sistemi (n·x[n], x[-n], x²) non lo sono.Sistemi LTI e convoluzione discreta →). Con le condizioni di riposo l'IIR è LTI, quindi $y[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h[n-k]$.

Primo ordine con $b_1=0$. Da $h[n]=a_1h[n-1]+b_0\delta[n]$: per $n<0$ è $h=0$; per $n=0$ è $h[0]=a_1\cdot0+b_0=b_0$; per $n=1$ è $h[1]=a_1b_0$; poi $h[2]=a_1^2b_0$, e così via. Quindi $$h[n]=b_0\,a_1^n\,u[n].$$ Per $a_1=0{,}8$ e $b_0=5$ vale $5,\,4,\,3{,}2,\,2{,}56,\dots$: infinita, ma esponenziale decrescente.

Primo ordine con $b_1\ne0$. $y[n]=a_1y[n-1]+b_0x[n]+b_1x[n-1]$. Per linearità e invarianza nel tempo la risposta a $b_0\delta[n]+b_1\delta[n-1]$ è la somma delle risposte ai due impulsi: $$h[n]=b_0a_1^nu[n]+b_1a_1^{n-1}u[n-1],\qquad h[0]=b_0,\quad h[n]=(a_1b_0+b_1)\,a_1^{n-1}\ (n\ge1).$$

Esempio. $a_1=0{,}8$, $b_0=5$, $b_1=2$: $h=\{5,\,6,\,4{,}8,\,3{,}84,\,3{,}072,\dots\}$ (verificato con lfilter).

Convoluzione e ricorsione

Per un FIR l'equazione alle differenze e la convoluzione sono la stessa cosa, $y[n]=\sum_{k=0}^{M}b_kx[n-k]=\sum_kx[k]h[n-k]$ con $h[k]=b_k$. Per un IIR la somma di convoluzione ha infiniti termini: usarla è conveniente solo se esistono formule semplici sia per ingresso sia per risposta impulsiva. In pratica gli IIR si calcolano iterando l'equazione alle differenze, che richiede $N+M+1$ moltiplicazioni per campione indipendentemente da quanto è lunga $h$.

Risposta al gradino del primo ordine

Per $y[n]=a_1y[n-1]+b_0x[n]$ e $x[n]=u[n]$ i valori successivi sono $y[0]=b_0$, $y[1]=b_0(1+a_1)$, $y[2]=b_0(1+a_1+a_1^2)$, ... cioè $y[n]=b_0\sum_{k=0}^{n}a_1^k$. Per la somma della serie geometrica troncata (SommatorieIl simbolo di sommatoria, le sue proprietà (linearità, additività, cambio di indice) e le somme notevoli di Gauss e geometrica.Sommatorie →) per $a_1\ne1$: $$y[n]=b_0\,\frac{1-a_1^{n+1}}{1-a_1},\quad n\ge0 .$$ Tre casi, che sono anche l'analisi di stabilità del sistema:

1. $|a_1|<1$: $a_1^{n+1}\to0$ e $y[n]\to\frac{b_0}{1-a_1}$. Il termine $\frac{b_0}{1-a_1}$ è la risposta a regime (steady state) e $-\frac{b_0\,a_1^{n+1}}{1-a_1}$ è il transitorio, che si estingue: sistema stabile.
2. $|a_1|>1$: $a_1^{n+1}$ cresce senza limite, l'uscita diverge: instabile.
3. $|a_1|=1$: caso limite. Per $a_1=1$ il gradino dà $y[n]=b_0(n+1)$, che cresce linearmente: instabile. Per $a_1=-1$ è $y[n]=b_0$ per $n$ pari e $0$ per $n$ dispari: l'uscita non diverge per questo ingresso ma il sistema non è stabile (Funzione di sistema, poli, zeri e stabilitàLa funzione di sistema H(z) è la trasformata zeta della risposta impulsiva: con ingresso z^n l'uscita è H(z) z^n. Per un FIR H(z) = Σ b_k z^{-k} è un polinomio con M zeri e M poli in z = 0; in generale H = B(z)/A(z) dall'equazione alle differenze. Sulla circonferenza unitaria H(e^{jω̂}) è la risposta in frequenza: |H| = prodotto delle distanze dagli zeri / prodotto delle distanze dai poli, quindi gli zeri bloccano frequenze e i poli le esaltano. Un LTI causale è BIBO stabile se e solo se tutti i poli hanno modulo < 1 (a meno di cancellazioni polo-zero); i FIR sono sempre stabili.Funzione di sistema, poli, zeri e stabilità →); si parla di stabilità marginale.

Esempio. $y[n]=0{,}8y[n-1]+3x[n]$: $y[n]=15(1-0{,}8^{n+1})$ e $y[n]\to\frac{3}{1-0{,}8}=15$ (con $n=25$ si è già a $14{,}9954$).

Funzione di sistema di un IIR

Per un FIR $H(z)$ è un polinomio in $z^{-1}$ (Trasformata zeta - definizione e regione di convergenzaLa trasformata zeta bilatera X(z) = Σ x[n] z^{-n} associa a una sequenza una funzione della variabile complessa z, definita nella regione di convergenza (ROC), sempre una corona circolare |z| in (R1, R2). Segnale a durata finita: ROC tutto il piano (tranne eventualmente 0 e ∞); causale: |z| > R1 (teorema di Abel); anticausale: |z| < R2; bilatero: intersezione, se non vuota. La stessa espressione algebrica con ROC diverse è la trasformata di segnali diversi: la ROC fa parte della trasformata. Sulla circonferenza unitaria, se è nella ROC, X(e^{jθ}) è la trasformata di Fourier. Le ROC non contengono poli.Trasformata zeta - definizione e regione di convergenza →). Per un IIR, trasformando i due membri dell'equazione alle differenze con la proprietà del ritardo (Proprietà della trasformata zetaProprietà della zeta bilatera con le ROC: linearità (ROC ⊇ intersezione), ritardo x[n-n0] → z^{-n0}X(z) (unilatera: + termini iniziali), convoluzione → prodotto, stabilità BIBO ⇔ circonferenza unitaria nella ROC di H, coniugato X*(z*), inversione temporale X(1/z) con ROC invertita, derivazione n x[n] → -z X'(z), moltiplicazione per a^n → X(z/a) (ROC scalata di |a|), teoremi del valore iniziale e finale (ipotesi sul polo in 1). Con la tabella delle coppie notevoli.Proprietà della trasformata zeta →), $Y(z)=\sum_\ell a_\ell z^{-\ell}Y(z)+\sum_kb_kz^{-k}X(z)$, si ottiene

$$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{\sum_{k=0}^{M}b_kz^{-k}}{1-\sum_{\ell=1}^{N}a_\ell z^{-\ell}}=\frac{B(z)}{A(z)} .$$

È un rapporto di polinomi: i coefficienti del numeratore sono i coefficienti in avanti $b_k$, il denominatore ha termine noto $1$ e gli altri coefficienti sono gli $-a_\ell$. Gli zeri sono le radici di $B$, i poli quelle di $A$ (Funzione di sistema, poli, zeri e stabilitàLa funzione di sistema H(z) è la trasformata zeta della risposta impulsiva: con ingresso z^n l'uscita è H(z) z^n. Per un FIR H(z) = Σ b_k z^{-k} è un polinomio con M zeri e M poli in z = 0; in generale H = B(z)/A(z) dall'equazione alle differenze. Sulla circonferenza unitaria H(e^{jω̂}) è la risposta in frequenza: |H| = prodotto delle distanze dagli zeri / prodotto delle distanze dai poli, quindi gli zeri bloccano frequenze e i poli le esaltano. Un LTI causale è BIBO stabile se e solo se tutti i poli hanno modulo < 1 (a meno di cancellazioni polo-zero); i FIR sono sempre stabili.Funzione di sistema, poli, zeri e stabilità →).

Formula (blocco elementare). $h[n]=a_1^nu[n]\ \longleftrightarrow\ H(z)=\dfrac{1}{1-a_1z^{-1}}$, con regione di convergenza $|z|>|a_1|$.

Perché: $H(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_1^nz^{-n}=\sum_{n=0}^\infty(a_1z^{-1})^n$ è una serie geometrica che converge se $|a_1z^{-1}|<1$, cioè $|z|>|a_1|$, e vale $\frac1{1-a_1z^{-1}}$. È il mattone di tutti gli IIR di ordine superiore (frazioni parziali: Antitrasformata zetaPer tornare da X(z) a x[n] serve anche la ROC. Formula di inversione x[n] = (1/2πj)∮ X(z)z^{n-1}dz (somma dei residui). Nella pratica: ispezione (riconoscere coppie note, scegliendo la ROC), divisione lunga (sviluppo in serie di potenze), frazioni parziali per le razionali. Causale con poli semplici p_k: X = Σ A_k/(1-p_k z^-1) con A_k = [(1-p_k z^-1)X]_{z=p_k}, x[n] = Σ A_k p_k^n u[n]; se il grado del numeratore in z^-1 è ≥ di quello del denominatore c'è anche una parte polinomiale (impulsi). Poli doppi: n a^n u[n]; poli complessi coniugati: r^n cos(ω0 n + φ).Antitrasformata zeta →).

Per il primo ordine il polo è in $z=a_1$ e la stabilità è $|a_1|<1$: il polo è dentro la circonferenza unitaria e la ROC la contiene. Se $|a_1|=1$ il polo è sulla circonferenza e la sola funzione di sistema non permette di concludere in modo semplice sulla stabilità (come nel caso $a_1=\pm1$ sopra).

Esempio. $y[n]=a_1y[n-1]+b_0x[n]+b_1x[n-1]$ ha $H(z)=\frac{b_0+b_1z^{-1}}{1-a_1z^{-1}}$, con uno zero in $-b_1/b_0$ e un polo in $a_1$.

Risposta in frequenza

Per un IIR stabile, $H(e^{j\hat\omega})$ si ottiene con $z=e^{j\hat\omega}$ (Risposta in frequenza dei sistemi FIRSe all'ingresso di un FIR c'è un esponenziale complesso A e^{jφ} e^{jω̂n} (per ogni n), l'uscita è lo stesso esponenziale moltiplicato per H(ω̂) = Σ b_k e^{-jω̂k}: la frequenza non cambia, ampiezza e fase sono modificate da |H| (guadagno) e ∠H (sfasamento). Per sovrapposizione si trattano somme di sinusoidi. H è periodica di periodo 2π e, per coefficienti reali, hermitiana (|H| pari, fase dispari). La cascata ha H = H1·H2. Esempi: ritardo (fase lineare), differenza prima (passa-alto), {1,2,1} (passa-basso), media mobile di L punti (Dirichlet: |H| = |sin(Lω̂/2)/(L sin(ω̂/2))|, fase lineare -(L-1)ω̂/2).Risposta in frequenza dei sistemi FIR →). Per $H(z)=\frac1{1-az^{-1}}$ è $|H(e^{j\hat\omega})|=\frac1{\sqrt{1-2a\cos\hat\omega+a^2}}$: per $a>0$ il polo "attrae" le basse frequenze (passa-basso, massimo $\frac1{1-a}$ in $\hat\omega=0$), per $a<0$ le alte (passa-alto, massimo in $\pi$). Più $|a|$ è vicino a $1$, più il picco è alto e stretto.

Esempio. $a=0{,}8$: $|H(1)|=\frac1{0{,}2}=5$ in $\hat\omega=0$ e $\frac1{1{,}8}=0{,}556$ in $\hat\omega=\pi$; con $a=0{,}5$ i valori sono $2$ e $0{,}667$.

Come si progetta un IIR

Un IIR si specifica in genere con il solo modulo della risposta in frequenza (oppure con il modulo e il ritardo di gruppo). Per le specifiche sul solo modulo si hanno tre strade:

1. per tentativi (by trial): si scelgono a mano poli e zeri. Va bene quando bastano pochi coefficienti: filtri notch per eliminare un'interferenza sinusoidale (rete a 50/60 Hz), passa-basso o passa-alto molto semplici. Esempio tipico: zeri sulla circonferenza unitaria in $e^{\pm j\hat\omega_0}$ (annullano la frequenza) e poli vicini, in $re^{\pm j\hat\omega_0}$ con $r<1$ (la risposta torna a uno appena ci si allontana): $H(z)=b_0\frac{1-2\cos\hat\omega_0z^{-1}+z^{-2}}{1-2r\cos\hat\omega_0z^{-1}+r^2z^{-2}}$ (Esercizio - Laboratorio 5 - notch IIR e vuvuzela);
2. metodo di trasformazione $s\to z$: si parte da un filtro analogico noto e lo si mappa nel dominio $z$ (Trasformazione bilinearePer progettare un IIR si parte da un filtro analogico noto $H_a(s)$ e si sostituisce $s=\frac{z-1}{z+1}$ (trasformazione bilineare): $H(z)=H_a!\big(\frac{z-1}{z+1}\big)$. Questa mappa manda funzioni razionali in funzioni razionali, l'asse immaginario $s=j\Omega$ nella circonferenza unitaria $z=e^{j\hat\omega}$ e il semipiano sinistro nel disco unitario, quindi conserva la stabilità. Poli e zeri vanno in $\hat z=\frac{1+\hat s}{1-\hat s}$ ($s=0\to z=1$, $s=\infty\to z=-1$). Le frequenze si corrispondono con $\Omega=\tan\frac{\hat\omega}{2}$, cioè $\hat\omega=2\arctan\Omega$: relazione non lineare che comprime l'asse e distorce le frequenze (warping). Il modulo si conserva (oscillazioni, tolleranze $\delta_p,\delta_s$) ma la fase no: si perde la fase lineare. Per i filtri selettivi in frequenza la distorsione si compensa progettando il filtro analogico alle frequenze trasformate $\Omega_p=\tan\frac{\hat\omega_p}2$, $\Omega_s=\tan\frac{\hat\omega_s}2$ (prewarping).Trasformazione bilineare →, Filtri di ButterworthIl filtro di Butterworth analogico di ordine $N$ e pulsazione di taglio a $-3$ dB $\Omega_0$ ha $|H_a(j\Omega)|^2=\frac1{1+(\Omega/\Omega_0)^{2N}}$: massimamente piatto in $\Omega=0$, monotono decrescente, valore $\frac1{\sqrt2}$ in $\Omega_0$. È un filtro tutti-poli: i $2N$ poli di $H_a(s)H_a(-s)$ stanno su una circonferenza di raggio $\Omega_0$, $H_a(s)$ prende i $N$ poli del semipiano sinistro $s_k=\Omega_0e^{j\pi(\frac12+\frac{2k-1}{2N})}$, $H_a(s)=\Omega_0^N/\prod(s-s_k)$. Con la bilineare $H(z)=A\frac{(1+z^{-1})^N}{\prod(1-p_kz^{-1})}$, $p_k=\frac{1+s_k}{1-s_k}$, zero di molteplicità $N$ in $z=-1$, $A$ tale che $H(1)=1$; il modulo digitale è $|H(e^{j\hat\omega})|^2=\frac1{1+(\tan(\hat\omega/2)/\Omega_0)^{2N}}$. Il filtro è fissato da $N$ e $\Omega_0$. Dalle specifiche ($\varepsilon^2=10^{R_p/10}-1$, $A=10^{R_s/20}$, $\Omega_p=\tan\frac{\hat\omega_p}2$, $\Omega_s=\tan\frac{\hat\omega_s}2$): $N=\Big\lceil\frac{\log_{10}\frac{A^2-1}{\varepsilon^2}}{2\log_{10}(\Omega_s/\Omega_p)}\Big\rceil$ e $\Omega_0$ fra $\Omega_p\varepsilon^{-1/N}$ e $\Omega_s(A^2-1)^{-1/2N}$.Filtri di Butterworth →);
3. ottimizzazione numerica nel dominio $z$: si cercano i coefficienti con un algoritmo di approssimazione.

Confronto con i FIR

L'esempio numerico: banda passante fino a $0{,}25\pi$, banda oscura da $0{,}375\pi$, $R_p=0{,}055$ dB, $A_s=50$ dB (le stesse specifiche dell'esempio in Progetto di filtri FIR con il metodo delle finestreUn filtro FIR a fase lineare di tipo I (ordine $N$ pari, $h[n]=h[N-n]$) ha risposta $H(e^{j\hat\omega})=e^{-j\hat\omega N/2}\bar H(\hat\omega)$ con ampiezza $\bar H(\hat\omega)=\sum_{n=0}^{N/2}p_n\cos(n\hat\omega)$. Per approssimare un'ampiezza desiderata $D(\hat\omega)$ (passa-basso: $1$ in banda passante, $0$ in banda oscura, con tolleranze $\delta_p,\delta_s$ e frequenze $\hat\omega_p,\hat\omega_s$) ci sono tre metodi. Finestre: si tronca la serie di Fourier di $D$, cioè $h[n]=h_d[n-N/2],w[n]$ con $h_d[n]=\frac{\hat\omega_0}{\pi}\operatorname{sinc}\frac{\hat\omega_0 n}{\pi}$; la rettangolare è ottima in errore quadratico ma dà il fenomeno di Gibbs (9%, $21$ dB), le finestre rastremate (Hann, Hamming, Blackman, Kaiser) abbassano i lobi laterali allargando la transizione ($\hat\omega_s-\hat\omega_p\simeq\alpha,2\pi/L$). Campionamento in frequenza: $h=\mathrm{IDFT}$ dei campioni di $D$, esatto solo sui campioni. Minimax (Parks-McClellan): errore pesato minimo nel caso peggiore, soluzione equiripple con almeno $r+2$ alternanze, ordine più basso a parità di specifiche.Progetto di filtri FIR con il metodo delle finestre →). Un FIR a fase lineare richiede $N=54$ (Hamming) o $N=42$ (minimax). Un filtro IIR di Butterworth richiede ordine $17$, un Chebyshev di tipo 1 ordine $9$ e un ellittico ordine $6$ (calcolati con scipy.signal.buttord, cheb1ord, ellipord). Il costo è la fase: un Butterworth di ordine $8$ con taglio $0{,}3125\pi$ ha ritardo di gruppo $4{,}8$ campioni a frequenze basse e $10{,}9$ campioni a $0{,}3\pi$, vicino al taglio, mentre un FIR simmetrico ha ritardo costante $N/2$. Un segnale che occupa la banda passante e la banda di transizione viene quindi deformato dall'IIR. Ancora un confronto significativo: in un notch FIR con zeri sulla circonferenza il ritardo di gruppo è $1$ campione a tutte le frequenze, mentre in quello IIR del laboratorio 5 con $r=0{,}99$ arriva a circa $100$ campioni vicino alla frequenza tolta.

Scelta tra FIR e IIR: se serve fase lineare (audio, immagini, dati dove la forma d'onda conta), il FIR; se contano i costi di calcolo e la fase non è critica (controllo, filtri per eliminare un disturbo), l'IIR.

Domande d'esame

1. Descrivi le caratteristiche dei filtri IIR e commenta la differenza con i FIR. Traccia: equazione alle differenze con retroazione, ordine $N$, condizioni di riposo iniziale; $H(z)=B/A$, poli e zeri; risposta impulsiva infinita; stabilità solo con poli dentro la circonferenza, mentre i FIR sono sempre stabili; fase non lineare contro fase lineare dei FIR simmetrici; ordine molto più basso per le stesse specifiche di modulo; calcolo per ricorsione. Esempio numerico del confronto $17/9/6$ contro $54/42$.
2. Definisci la risposta a regime e il transitorio per un IIR del primo ordine $y[n]=a_1y[n-1]+b_0x[n]$ e dì cosa ne puoi dedurre sulla stabilità. Traccia: risposta al gradino $y[n]=b_0\frac{1-a_1^{n+1}}{1-a_1}$; regime $\frac{b_0}{1-a_1}$ e transitorio $-\frac{b_0a_1^{n+1}}{1-a_1}$; per $|a_1|<1$ il transitorio si estingue e il sistema è stabile, per $|a_1|>1$ diverge, per $|a_1|=1$ caso limite ($a_1=1$ cresce linearmente, $a_1=-1$ oscilla); legame con il polo $z=a_1$ e la ROC $|z|>|a_1|$.
3. Perché un IIR si calcola iterando l'equazione alle differenze e non con la convoluzione? Traccia: $h$ infinita, somma infinita; l'equazione alle differenze ha $N+M+1$ operazioni per campione; condizioni di riposo iniziale.