Trasformata zeta - definizione e regione di convergenza

La trasformata zeta (z-transform) è per i sistemi a tempo discreto ciò che la trasformata di Laplace è per quelli continui (Trasformata di Laplace - definizione e regione di convergenzaLa trasformata di Laplace (bilatera) $X(s)=\int x(t)e^{-st}dt$, con $s=\sigma+j\omega$, generalizza la TF a segnali che non stanno in $L^1$. Esiste solo nella regione di convergenza (ROC), una striscia verticale ${\sigma_1<\mathrm{Re},s<\sigma_2}$ (semipiano destro se il segnale è causale, sinistro se anticausale): la stessa espressione di $X(s)$ con ROC diverse corrisponde a segnali diversi. La TF è $X(s)$ calcolata sull'asse immaginario, se questo sta nella ROC.Trasformata di Laplace - definizione e regione di convergenza →). Le basi sono in Trasformata zeta e sistemi a tempo discretoUn sistema LTI discreto è descritto da un'equazione alle differenze Σ a_i y(n-i) = Σ b_i x(n-i) con condizioni iniziali. L'uscita è evoluzione libera (dalle condizioni iniziali) più risposta forzata g*x. Si calcola in tre modi: soluzione dell'equazione, risposta impulsiva con segnale fittizio, trasformata zeta. FIR: memoria finita, sempre stabile; IIR: stabile se tutti i poli hanno modulo minore di 1. In frequenza G(f) = Σ b_i e^{-i2πfi} / Σ a_i e^{-i2πfi}.Trasformata zeta e sistemi a tempo discreto → e Trasformata Z ed equazioni alle differenzeLa trasformata Z, $X(z)=\sum x(n)z^{-n}$, è la versione discreta di Laplace (la TFtd è $X(e^{j\omega})$). Un sistema descritto da un'equazione alle differenze $\sum a_ky(n-k)=\sum b_kx(n-k)$ ha $H(z)=\frac{\sum b_kz^{-k}}{\sum a_kz^{-k}}$ ed è BIBO stabile (se causale) quando tutti i poli stanno dentro il cerchio unitario, $|p|<1$. Cenni.Trasformata Z ed equazioni alle differenze →; qui si sviluppa per esteso quello che serve nel corso: regione di convergenza (region of convergence, ROC) e teorema di Abel. I tre modi di descrivere un FIR sono: nel dominio $n$ (equazione alle differenze), nel dominio della frequenza ($\mathcal H(\hat\omega)$) e nel dominio $z$ ($H(z)$).

Definizione

Definizione (trasformata zeta bilatera, two-sided z-transform). Per una sequenza $x[n]$, $n\in\mathbb Z$ (con $T=1$), $$X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\,z^{-n},\qquad z\in R_X\subset\mathbb C,$$ dove $R_X$ è la regione di convergenza: l'insieme dei $z$ in cui la serie converge.

Definizione (trasformata unilatera, one-sided). $X^+(z)=\sum_{n=0}^{\infty}x[n]z^{-n}$.

Per un segnale causale le due coincidono; per segnali generici alcune proprietà (ritardo, valori iniziali) cambiano, come si vede in Proprietà della trasformata zetaProprietà della zeta bilatera con le ROC: linearità (ROC ⊇ intersezione), ritardo x[n-n0] → z^{-n0}X(z) (unilatera: + termini iniziali), convoluzione → prodotto, stabilità BIBO ⇔ circonferenza unitaria nella ROC di H, coniugato X*(z*), inversione temporale X(1/z) con ROC invertita, derivazione n x[n] → -z X'(z), moltiplicazione per a^n → X(z/a) (ROC scalata di |a|), teoremi del valore iniziale e finale (ipotesi sul polo in 1). Con la tabella delle coppie notevoli.Proprietà della trasformata zeta →. Se in nessun punto la serie converge, la ROC è vuota e il segnale non ha trasformata zeta.

La serie $\sum x[n]z^{-n}$ è una serie di Laurent in $z$ centrata nell'origine (Serie di Laurent e singolarità isolateLe serie di Laurent permettono di sviluppare in serie di potenze funzioni analitiche in una corona circolare, includendo potenze negative (parte principale). Le singolarità isolate si classificano in eliminabili, poli (tramite l'ordine del polo) o essenziali in base al comportamento dei coefficienti della parte principale.Serie di Laurent e singolarità isolate →, Serie di potenze e serie di TaylorLe serie di potenze sono serie di funzioni della forma $\sum a_n(x-x_0)^n$. Esse convergono assolutamente all'interno del raggio di convergenza $\rho$ e uniformemente nei compatti interni, permettendo l'integrazione e la derivazione termine a termine.Serie di potenze e serie di Taylor →); dove converge $X$ è una funzione analitica (continua e infinitamente derivabile), quindi si può derivare, integrare e fare somme e prodotti.

Esempio. $x[n]=\delta[n]$ ha $X(z)=1$ in tutto il piano. $x[n]=\delta[n-1]$ ha $X(z)=z^{-1}$ (definita per $z\ne0$); $x[n]=\delta[n+1]$ ha $X(z)=z$ (definita per $\lvert z\rvert<\infty$, cioè tutto $\mathbb C$ ma non l'infinito).

La ROC è una corona circolare

In coordinate polari $z=re^{j\theta}$ il termine $x[n]z^{-n}$ ha modulo $\lvert x[n]\rvert r^{-n}$: la convergenza assoluta dipende solo da $r=\lvert z\rvert$. Quindi la ROC è unione di circonferenze centrate nell'origine, e si scrive $$R_X=\{z\in\mathbb C:\ R_1<\lvert z\rvert<R_2\},\qquad 0\le R_1<R_2\le+\infty.$$ Per capirlo si distinguono quattro casi.

1. Durata finita. Se $x[n]=0$ fuori da $N_1\le n\le N_2$, $X(z)=\sum_{n=N_1}^{N_2}x[n]z^{-n}$ è una somma finita: converge per ogni $z$ con possibile esclusione dell'origine (se $N_2>0$, compaiono potenze negative di $z$) e dell'infinito (se $N_1<0$, compaiono potenze positive). Per un FIR causale ($N_1=0$) la ROC è $0<\lvert z\rvert\le\infty$, cioè il piano senza l'origine; il valore $z=\infty$ conta come incluso.

2. Causale (a destra), $x[n]=0$ per $n<N_1$.

Teorema (Abel). Se $\sum_{n\ge0}x[n]z_0^{-n}$ converge in $z_0=r_0e^{j\theta_0}$, allora converge (assolutamente) per ogni $z$ con $\lvert z\rvert>r_0$; se non converge in $z_0$, non converge per nessun $z$ con $\lvert z\rvert<r_0$.

Dimostrazione. Se la serie converge in $z_0$ i suoi termini sono limitati: $\lvert x[n]\rvert r_0^{-n}<M$ per ogni $n$, cioè $\lvert x[n]\rvert<Mr_0^{n}$. Per $z=re^{j\theta}$ con $r>r_0$: $\lvert x[n]z^{-n}\rvert<M\,(r_0/r)^n$, e $\sum_n(r_0/r)^n$ è una serie geometrica di ragione $<1$ (Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonicaLe serie di cui si conosce il carattere e da usare come termine di paragone: geometrica (converge a 1/(1-q) se |q|<1), telescopiche (somma b_1 - lim b_n, come Mengoli), armonica generalizzata (1/n^alpha converge se e solo se alpha>1).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica →): per confronto la serie converge assolutamente. La seconda parte è per assurdo: se convergesse in un punto con $\lvert z\rvert<r_0$, per la prima parte convergerebbe anche in $z_0$. $\square$

Quindi detto $R_1=\inf\{\lvert z\rvert:\ \text{la serie converge}\}$, la ROC è l'esterno di una circonferenza: $R_X=\{\lvert z\rvert>R_1\}$ (sul bordo $\lvert z\rvert=R_1$ non si può dire niente in generale). Segue che una sequenza causale con trasformata è dominata da un esponenziale: $\lvert x[n]\rvert<M\,r^n$ per ogni $r>R_1$.

3. Anticausale (a sinistra), $x[n]=0$ per $n>N_2$. Con lo stesso ragionamento (Abel "rovesciato"): se la serie converge in $z_0$ converge per $\lvert z\rvert<r_0$. La ROC è l'interno di una circonferenza, $R_X=\{\lvert z\rvert<R_2\}$.

4. Bilatero. Si spezza $X(z)=X_-(z)+X^+(z)$ in parte anticausale ($n<0$) e causale ($n\ge0$): la ROC è l'intersezione $R_1<\lvert z\rvert<R_2$, se non è vuota (altrimenti la sequenza non ha trasformata).

Calcolo dei raggi

Si usa un criterio di convergenza assoluta per serie, tipicamente il rapporto (Criteri del rapporto e della radice per le seriePer una serie a termini positivi, se il limite di a_(n+1)/a_n (criterio del rapporto) o di radice n-esima di a_n (criterio della radice) è L < 1 la serie converge, se è L > 1 diverge; con L = 1 il criterio non dice nulla.Criteri del rapporto e della radice per le serie →). Per $\sum x[n]z^{-n}$ causale si impone $\lim_n\Big\lvert\frac{x[n+1]z^{-(n+1)}}{x[n]z^{-n}}\Big\rvert=\frac1{\lvert z\rvert}\lim_n\Big\lvert\frac{x[n+1]}{x[n]}\Big\rvert<1$, da cui converge per $\lvert z\rvert>R_1=\lim_n\lvert\frac{x[n+1]}{x[n]}\rvert$ (se il limite esiste), non converge per $\lvert z\rvert<R_1$ e sul cerchio $\lvert z\rvert=R_1$ il criterio non dice nulla: ci possono essere serie convergenti e divergenti.

Esempio (bordo). Tre sequenze causali con $R_1=1$: $x[n]=1$, $\frac1n$, $\frac1{n^2}$ (per $n\ge1$). Sulla circonferenza unitaria $z=e^{j\theta}$ le serie sono $\sum e^{-jn\theta}$ (non converge per nessun $\theta$: i termini non tendono a zero), $\sum\frac1ne^{-jn\theta}$ (converge per $\theta\ne0$, per il criterio di Dirichlet, ma non assolutamente, e in $\theta=0$ diventa la serie armonica che diverge) e $\sum\frac1{n^2}e^{-jn\theta}$ (converge assolutamente per ogni $\theta$). Stessa ROC "aperta" $\lvert z\rvert>1$, comportamenti diversi sul bordo.

Esponenziali: stessa $X(z)$, ROC diverse

Formula (esponenziale causale). $a^nu[n]\ \longleftrightarrow\ \dfrac1{1-az^{-1}}=\dfrac z{z-a},\qquad\lvert z\rvert>\lvert a\rvert.$

Formula (esponenziale anticausale). $-a^nu[-n-1]\ \longleftrightarrow\ \dfrac1{1-az^{-1}},\qquad\lvert z\rvert<\lvert a\rvert.$

Derivazione. Causale: $\sum_{n\ge0}a^nz^{-n}=\sum_{n\ge0}(az^{-1})^n$, geometrica di ragione $az^{-1}$, converge se $\lvert az^{-1}\rvert<1$, cioè $\lvert z\rvert>\lvert a\rvert$, e vale $\frac1{1-az^{-1}}$. Anticausale: $-\sum_{n=-\infty}^{-1}a^nz^{-n}=-\sum_{m\ge1}(a^{-1}z)^m=-\frac{a^{-1}z}{1-a^{-1}z}=\frac1{1-az^{-1}}$ per $\lvert z\rvert<\lvert a\rvert$ (la geometrica converge se $\lvert z/a\rvert<1$; e $-\frac{a^{-1}z}{1-a^{-1}z}=\frac{-z}{a-z}=\frac{z}{z-a}=\frac1{1-az^{-1}}$).

Le due sequenze, $a^nu[n]$ e $-a^nu[-n-1]$, hanno la stessa espressione algebrica e ROC complementari: la ROC fa parte della trasformata, senza di essa $\frac1{1-az^{-1}}$ non individua il segnale. Caso $a=1$: $u[n]\leftrightarrow\frac1{1-z^{-1}}$, $\lvert z\rvert>1$; $\delta[n]\leftrightarrow1$.

Esempio. $x[n]=(0{,}5)^nu[n]$ ha $X(z)=\frac1{1-0{,}5z^{-1}}$, $\lvert z\rvert>0{,}5$: nel punto $z=1$ la serie $\sum0{,}5^n=2$ coincide con $\frac1{1-0{,}5}=2$ (verificato). La sequenza $-(0{,}5)^nu[-n-1]$ ha la stessa $X(z)$ ma ROC $\lvert z\rvert<0{,}5$: in $z=0{,}25$ la serie $-\sum_{m\ge1}2^m\,0{,}25^m=-\sum(0{,}5)^m=-1$ coincide con $\frac1{1-0{,}5\cdot4}=-1$ (verificato).

Esempio bilatero

$x[n]=a^n$ per $n\ge0$ e $b^n$ per $n<0$. La parte causale dà $\frac1{1-az^{-1}}$, $\lvert z\rvert>\lvert a\rvert$; la parte anticausale è $\sum_{n=-\infty}^{-1}b^nz^{-n}=\sum_{m\ge1}(z/b)^m=\frac{b^{-1}z}{1-b^{-1}z}$, $\lvert z\rvert<\lvert b\rvert$. La somma $$X(z)=\frac1{1-az^{-1}}+\frac{b^{-1}z}{1-b^{-1}z},\qquad\lvert a\rvert<\lvert z\rvert<\lvert b\rvert,$$ ha una ROC non vuota solo se $\lvert a\rvert<\lvert b\rvert$ (se $\lvert b\rvert<\lvert a\rvert$ non converge da nessuna parte). Con $a=0{,}5$ e $b=2$: nel punto $z=1$, $\sum_{n\ge0}0{,}5^n+\sum_{n<0}2^n=2+1=3$, e la formula dà $2+\frac{0{,}5}{1-0{,}5}=3$ (verificato).

Funzioni razionali, poli, zeri e ROC

Molte trasformate sono razionali, $X(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$. Gli zeri sono le radici di $P$, i poli le radici di $Q$ (si indicano con $\circ$ e $\times$ nel piano $z$). Siccome $X$ è analitica nella ROC, la ROC non contiene poli; e poiché è una corona connessa, i suoi bordi passano per i moduli dei poli. Perciò un'espressione razionale con $k$ poli di moduli distinti ha $k+1$ possibili ROC (le corone tra poli consecutivi, più l'esterno e l'interno), ciascuna corrispondente a un segnale diverso. La ROC di un segnale causale è sempre l'esterno del cerchio del polo di modulo massimo. Inoltre $X(z)$ deve restare finita per $z\to\infty$ (la ROC di un segnale causale contiene l'infinito): il grado del numeratore non supera quello del denominatore (come polinomi in $z$).

Rapporto con la trasformata di Fourier

Se la ROC contiene la circonferenza unitaria, valutando in $z=e^{j\theta}$ la serie diventa $$X(e^{j\theta})=\sum_{n}x[n]e^{-j\theta n},$$ la trasformata di Fourier a tempo discreto del segnale (Trasformata di Fourier a tempo discretoLa trasformata di Fourier di un segnale discreto è $S(f)=\sum_nT,s(nT),e^{-i2\pi fnT}$: una funzione continua e periodica in $f$ di periodo $F_p=1/T$. L'antitrasformata è l'integrale su un periodo, $s(nT)=\int_0^{F_p}S(f)e^{i2\pi fnT}df$. Le regole sono quelle del caso continuo (traslazione, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $\sum T|s|^2=\int_0^{F_p}|S|^2$), con incremento e somma corrente al posto di derivata e integrale. Per segnali reali $S(f)=S^*(-f)$, quindi basta $[0,F_p/2]$. Esempi: $\delta\to1$, $1\to\delta_{F_p}$, rect $\to$ sinc periodico, $a^n\mathbf 1_0\to\frac T{1-ae^{-i2\pi fT}}$.Trasformata di Fourier a tempo discreto →; con passo $T$ generico $\theta=2\pi fT$). Quando $\theta$ va da $0$ a $2\pi$ il punto $e^{j\theta}$ percorre una volta la circonferenza (da $1$ a $-1$ per $\theta\in[0,\pi]$, poi ritorna a $1$): la periodicità $2\pi$ della trasformata di Fourier discreta è il fatto naturale che avvolgere l'asse delle frequenze sulla circonferenza lo fa tornare sullo stesso punto. Per questo la risposta in frequenza di un filtro è $H(z)$ sulla circonferenza unitaria, e esiste solo se la ROC la comprende (il sistema è stabile, Funzione di sistema, poli, zeri e stabilitàLa funzione di sistema H(z) è la trasformata zeta della risposta impulsiva: con ingresso z^n l'uscita è H(z) z^n. Per un FIR H(z) = Σ b_k z^{-k} è un polinomio con M zeri e M poli in z = 0; in generale H = B(z)/A(z) dall'equazione alle differenze. Sulla circonferenza unitaria H(e^{jω̂}) è la risposta in frequenza: |H| = prodotto delle distanze dagli zeri / prodotto delle distanze dai poli, quindi gli zeri bloccano frequenze e i poli le esaltano. Un LTI causale è BIBO stabile se e solo se tutti i poli hanno modulo < 1 (a meno di cancellazioni polo-zero); i FIR sono sempre stabili.Funzione di sistema, poli, zeri e stabilità →).

Esempio. Per $h[n]=(0{,}5)^nu[n]$ la ROC $\lvert z\rvert>0{,}5$ contiene $\lvert z\rvert=1$ e $\mathcal H(\hat\omega)=\frac1{1-0{,}5e^{-j\hat\omega}}$; per $-(0{,}5)^nu[-n-1]$ la ROC non la contiene e quella serie non ha trasformata di Fourier (diverge).

Domande d'esame

1. Definire la trasformata zeta di un segnale di lunghezza finita, e mostrare come ci si arriva alla funzione di sistema di un FIR e perché è comoda. Traccia: $X(z)=\sum_{n=N_1}^{N_2}x[n]z^{-n}$ somma finita, ROC tutto il piano salvo $0$ e/o $\infty$; i coefficienti sono i campioni; per un FIR $H(z)=\sum_{k=0}^{M}b_kz^{-k}$ è un polinomio in $z^{-1}$ di grado $M$ con $M$ zeri e $M$ poli in $z=0$; vantaggio: la convoluzione diventa prodotto e la cascata il prodotto di polinomi, si leggono zeri e frequenze bloccate.
2. Perché la ROC è una corona circolare? Enunciare e dimostrare il teorema di Abel per segnali causali. Traccia: convergenza assoluta dipende da $\lvert z\rvert$; enunciato; dimostrazione con $\lvert x[n]\rvert<Mr_0^n$ e confronto con la geometrica; caso anticausale; caso bilatero (intersezione); bordo non decidibile col rapporto.
3. Perché la ROC fa parte della trasformata? Esempio. Traccia: $a^nu[n]$ e $-a^nu[-n-1]$ hanno $\frac1{1-az^{-1}}$ con ROC complementari; la ROC non contiene poli; solo la ROC con la circonferenza unitaria dà la trasformata di Fourier.