Trasformata di Laplace - definizione e regione di convergenza

La trasformata di Fourier (Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempiLa trasformata di Fourier $X(\omega)=\int x(t)e^{-j\omega t}dt$ estende la serie ai segnali aperiodici; si inverte con $x(t)=\frac1{2\pi}\int X(\omega)e^{j\omega t}d\omega$. Esiste per $x\in L^1$ (e per $x\in L^2$ in senso quadratico). Coppie fondamentali: $e^{-at}u\leftrightarrow\frac1{a+j\omega}$, $e^{-a|t|}\leftrightarrow\frac{2a}{a^2+\omega^2}$, $\operatorname{rect}(t)\leftrightarrow\operatorname{sinc}\frac\omega{2\pi}$, $\operatorname{sinc}(t)\leftrightarrow\operatorname{rect}\frac\omega{2\pi}$.Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempi →) esiste per segnali assolutamente integrabili o di energia finita. Un sistema instabile ($h=e^{2t}u(t)$) o un ingresso crescente non hanno TF, ma sono comunque interessanti, e sono i segnali che compaiono nelle equazioni differenziali (Equazioni differenziali lineari a coefficienti costantiUn'EDOLCC $\sum a_ky^{(k)}=\sum b_kx^{(k)}$ descrive molti sistemi fisici (circuiti RC, massa-molla-smorzatore). Le soluzioni dell'omogenea formano uno spazio vettoriale di dimensione $n$ con base $t^he^{\lambda t}$ ($\lambda$ radici del polinomio caratteristico $a(s)$). La soluzione generale è libera (dalle condizioni iniziali) più forzata (dall'ingresso); il sistema LTI causale associato ha funzione di trasferimento $b(s)/a(s)$.Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti →). La trasformata di Laplace risolve il problema moltiplicando prima il segnale per un esponenziale che lo "smorza".

Definizione

Si consideri $x(t)$ e un numero reale $\sigma$. Il segnale smorzato $x(t)e^{-\sigma t}$ può avere TF anche se $x$ non ce l'ha: per esempio $x(t)=e^{2t}u(t)$ non ha TF, ma $x(t)e^{-3t}=e^{-t}u(t)$ sì. La TF del segnale smorzato è $$\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\,e^{-\sigma t}\,e^{-j\omega t}\,dt=\int x(t)\,e^{-(\sigma+j\omega)t}\,dt.$$ Con la variabile complessa $s=\sigma+j\omega$ si definisce la trasformata (bilatera) di Laplace $$\boxed{X(s)=\mathcal L[x](s)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\,e^{-st}\,dt,\qquad s=\sigma+j\omega\in\mathbb C.}$$ Equivalentemente $X(\sigma+j\omega)=\mathcal F\left[x(t)e^{-\sigma t}\right](\omega)$: Laplace è la TF del segnale smorzato esponenzialmente, per ogni valore di $\sigma$ per cui questa TF esiste.

Regione di convergenza (ROC)

L'integrale non converge per ogni $s$. La regione di convergenza (ROC) è l'insieme dei $s$ per cui $x(t)e^{-\sigma t}\in L^1$, cioè $\int|x(t)|e^{-\sigma t}dt<\infty$. Siccome la condizione dipende solo da $\sigma=\mathrm{Re}\,s$, la ROC è unione di strisce verticali del piano complesso. Dentro la ROC $X(s)$ è una funzione analitica (derivabile in senso complesso) e non ha poli.

I cinque tipi di ROC. Una ROC può essere:

1. l'insieme vuoto (il segnale non ha trasformata);
2. tutto il piano $\mathbb C$ (segnali a durata limitata, $\delta$, $\operatorname{rect}$);
3. un semipiano destro $\{\mathrm{Re}\,s>\lambda\}$;
4. un semipiano sinistro $\{\mathrm{Re}\,s<\lambda\}$;
5. una striscia $\{\lambda_1<\mathrm{Re}\,s<\lambda_2\}$.

Legame con la causalità.

• Segnale causale ($x=0$ per $t<0$): per $\sigma$ grande $e^{-\sigma t}$ decade velocemente per $t>0$, quindi se converge per un $\sigma_0$ converge per ogni $\sigma>\sigma_0$: la ROC è un semipiano destro (a destra del polo più a destra).
• Segnale anticausale ($x=0$ per $t>0$): ROC semipiano sinistro.
• Segnale bilatero (non causale): la ROC, se non vuota, è una striscia.

Perché la ROC fa parte della trasformata. La stessa espressione $X(s)$ può essere la trasformata di due segnali diversi. Esempio fondamentale:

Esempio 1: l'esponenziale causale. $x(t)=e^{s_0t}u(t)$ ($s_0\in\mathbb C$): $$X(s)=\int_0^{\infty}e^{s_0t}e^{-st}dt=\int_0^\infty e^{(s_0-s)t}dt=\left[\frac{e^{(s_0-s)t}}{s_0-s}\right]_0^\infty=\frac{1}{s-s_0}.$$ L'esponenziale all'estremo superiore tende a zero se $\mathrm{Re}(s_0-s)<0$, cioè $\mathrm{Re}\,s>\mathrm{Re}\,s_0$. Quindi $$e^{s_0t}u(t)\ \leftrightarrow\ \frac1{s-s_0},\qquad\mathrm{ROC}:\ \mathrm{Re}\,s>\mathrm{Re}\,s_0.$$

Esempio 2: l'esponenziale anticausale. $x(t)=-e^{s_0t}u(-t)$: $$X(s)=-\int_{-\infty}^0e^{(s_0-s)t}dt=-\left[\frac{e^{(s_0-s)t}}{s_0-s}\right]_{-\infty}^0=-\frac{1}{s_0-s}=\frac1{s-s_0},$$ perché l'esponenziale in $-\infty$ tende a zero se $\mathrm{Re}(s_0-s)>0$, cioè $\mathrm{Re}\,s<\mathrm{Re}\,s_0$. Stessa espressione, ROC opposta: $$-e^{s_0t}u(-t)\ \leftrightarrow\ \frac1{s-s_0},\qquad\mathrm{ROC}:\ \mathrm{Re}\,s<\mathrm{Re}\,s_0.$$ Con $s_0=0$: $u(t)\leftrightarrow\frac1s$ ($\mathrm{Re}\,s>0$) e $-u(-t)\leftrightarrow\frac1s$ ($\mathrm{Re}\,s<0$): è l'esempio classico (domanda di teoria del febbraio 2025). Per tornare al segnale serve la ROC.

Esempio 3: combinazione bilatera. $x(t)=e^{-t}u(t)+e^{2t}u(-t)$: il primo termine ha ROC $\mathrm{Re}\,s>-1$ e trasformata $\frac1{s+1}$; il secondo è $-\left[-e^{2t}u(-t)\right]$, cioè $-\frac1{s-2}$ con ROC $\mathrm{Re}\,s<2$. La ROC totale è l'intersezione, la striscia $-1<\mathrm{Re}\,s<2$, e $X(s)=\frac1{s+1}-\frac1{s-2}=\frac{-3}{(s+1)(s-2)}$. Se i due segnali avessero ROC disgiunte (per esempio $e^{2t}u(t)+e^{-t}u(-t)$: $\mathrm{Re}\,s>2$ e $\mathrm{Re}\,s<-1$), la ROC totale sarebbe vuota: il segnale non ha trasformata.

Esempio 4: l'esponenziale bilatero con $a=1$. $e^{-|t|}=e^{-t}u(t)+e^{t}u(-t)$: $\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s-1}=\frac{-2}{s^2-1}$ nella striscia $-1<\mathrm{Re}\,s<1$. Sull'asse immaginario ($s=j\omega$, che sta nella striscia): $\frac{-2}{-\omega^2-1}=\frac2{1+\omega^2}$, che è la TF di $e^{-|t|}$ ✓ (trovata in Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempiLa trasformata di Fourier $X(\omega)=\int x(t)e^{-j\omega t}dt$ estende la serie ai segnali aperiodici; si inverte con $x(t)=\frac1{2\pi}\int X(\omega)e^{j\omega t}d\omega$. Esiste per $x\in L^1$ (e per $x\in L^2$ in senso quadratico). Coppie fondamentali: $e^{-at}u\leftrightarrow\frac1{a+j\omega}$, $e^{-a|t|}\leftrightarrow\frac{2a}{a^2+\omega^2}$, $\operatorname{rect}(t)\leftrightarrow\operatorname{sinc}\frac\omega{2\pi}$, $\operatorname{sinc}(t)\leftrightarrow\operatorname{rect}\frac\omega{2\pi}$.Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempi →).

Legame con la trasformata di Fourier

Se la ROC contiene l'asse immaginario ($\sigma=0$) allora il segnale ha TF e $X(\omega)=X(s)\big|_{s=j\omega}$.

Se invece l'asse immaginario non è nella ROC, la TF non esiste come funzione (o richiede delta: il gradino ha ROC $\mathrm{Re}\,s>0$ e TF $\frac{1}{j\omega}+\pi\delta(\omega)$, non la sola sostituzione $s\to j\omega$). Per un sistema causale con $h=e^{-at}u(t)$: $H(s)=\frac1{s+a}$ con ROC $\mathrm{Re}\,s>-a$; se $a>0$ il sistema è stabile e la ROC contiene l'asse immaginario, quindi $H(\omega)=\frac1{a+j\omega}$ ✓. Se $a<0$ il sistema è instabile e la sostituzione non ha significato. Un sistema LTI causale è BIBO stabile se e solo se la ROC di $H$ contiene l'asse immaginario (Laplace unilatera, funzione di trasferimento e stabilitàCon la trasformata unilatera $X(s)=\int_{0^-}^\infty x(t)e^{-st}dt$ le derivate diventano $\mathcal L[y']=sY-y(0^-)$: un problema di Cauchy causale si riduce a un'equazione algebrica, $Y=\frac{b}{a}X+\frac{\text{termini iniziali}}{a}$ (forzata + libera). La funzione di trasferimento è $H(s)=b(s)/a(s)$; il sistema causale è BIBO stabile se e solo se $H$ è propria e tutti i poli hanno parte reale negativa.Laplace unilatera, funzione di trasferimento e stabilità →).

Trasformate notevoli

Tutte con segnali causali (ROC $\mathrm{Re}\,s>\ldots$ a destra del polo più a destra).

Derivazioni.

• $\delta$: per la proprietà rivelatrice, $\int\delta(t)e^{-st}dt=1$, per ogni $s$.
• Coseno e seno: $\cos\omega_0t=\frac12\left(e^{j\omega_0t}+e^{-j\omega_0t}\right)$; per linearità e per l'esempio 1, $\frac12\left[\frac1{s-j\omega_0}+\frac1{s+j\omega_0}\right]=\frac12\cdot\frac{2s}{s^2+\omega_0^2}$. Il seno si ottiene con $\frac1{2j}\left[\frac1{s-j\omega_0}-\frac1{s+j\omega_0}\right]=\frac1{2j}\cdot\frac{2j\omega_0}{s^2+\omega_0^2}$.
• Formula generale con $\sigma$: $e^{\sigma t}\cos\omega t$ è un coseno modulato da un esponenziale reale, quindi per la regola di traslazione in $s$ (Proprietà della trasformata di LaplaceLe proprietà della trasformata di Laplace ricalcano quelle di Fourier: linearità, ritardo $\to e^{-st_0}$, modulazione esponenziale $e^{s_0t}x\to X(s-s_0)$, derivata nel tempo $\to sX$, moltiplicazione per $t\to-X'(s)$, integrazione $\to X/s$, convoluzione $\to$ prodotto. Ogni regola dice anche come cambia la ROC.Proprietà della trasformata di Laplace →) $s\to s-\sigma$ in $\frac s{s^2+\omega^2}$, cioè $\frac{s-\sigma}{(s-\sigma)^2+\omega^2}$; analogamente per il seno. Questa è la formula che ricorre nei temi d'esame, dove viene fornita nel testo.
• $\operatorname{rect}$: $\int_{-1/2}^{1/2}e^{-st}dt=\frac{e^{s/2}-e^{-s/2}}{s}$; essendo a durata limitata, l'integrale converge per ogni $s$ (ROC tutto il piano), anche se $X$ ha una singolarità apparente in $s=0$ (limite $1$).
• $t^ke^{s_0t}u$: dalla regola di derivazione in $s$ (vedi Proprietà della trasformata di LaplaceLe proprietà della trasformata di Laplace ricalcano quelle di Fourier: linearità, ritardo $\to e^{-st_0}$, modulazione esponenziale $e^{s_0t}x\to X(s-s_0)$, derivata nel tempo $\to sX$, moltiplicazione per $t\to-X'(s)$, integrazione $\to X/s$, convoluzione $\to$ prodotto. Ogni regola dice anche come cambia la ROC.Proprietà della trasformata di Laplace →).

Errori comuni

• Scrivere $X(s)$ senza la ROC e poi antitrasformare "a caso": $\frac1{s-s_0}$ è sia $e^{s_0t}u(t)$ sia $-e^{s_0t}u(-t)$.
• Sostituire $s=j\omega$ senza controllare che la ROC contenga l'asse immaginario.
• Dimenticare che nell'intersezione delle ROC si può trovare il vuoto.
• Confondere il polo con la ROC: la ROC non contiene poli ma è delimitata da poli.