Esercizio 12serie di Fourier del coseno rettificato e filtro passa-basso ideale (tema d'esame febbraio 2023)

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Teoria usata: Segnali periodici, sinusoidi ed esponenziali immaginari puriUn segnale continuo è periodico di periodo T se x(t+T)=x(t); $e^{j2\pi f_0t}$ ha periodo minimo $1/|f_0|$ e una somma di periodici è periodica solo se il rapporto dei periodi è razionale. A tempo discreto $e^{j2\pi\nu n}$ è periodico solo se $\nu$ è razionale, e le pulsazioni che differiscono di $2\pi$ sono lo stesso segnale: ogni sinusoide si riporta alla forma canonica con $\omega\in[0,\pi]$.Segnali periodici, sinusoidi ed esponenziali immaginari puri →, Segnali - supporto, area, valor medio, energia e potenzaUn segnale è una funzione del tempo (continuo $t$ o discreto $n$). Si descrive con pochi numeri: estensione, area, valor medio, energia $\int|x|^2$ e potenza (energia media). Energia finita implica potenza nulla; potenza finita non nulla implica energia infinita; per i segnali periodici tutto si calcola su un periodo.Segnali - supporto, area, valor medio, energia e potenza →, Serie di Fourier - coefficienti di segnali notevoliCoefficienti di Fourier dei segnali periodici più frequenti: costante e sinusoidi (si leggono con Eulero), pettine ($a_k=1/T$), onda quadra con duty cycle $d$ ($a_k=d,\operatorname{sinc}(kd)$), coseno rettificato, dente di sega e onda triangolare. Utile anche il trucco della derivata: $a_k=b_k/(jk\omega_0)$ dove $b_k$ sono i coefficienti di $x'$.Serie di Fourier - coefficienti di segnali notevoli →, Filtri, modulazione e trasmissione AMIn frequenza un filtro LTI moltiplica: $Y(\omega)=H(\omega)X(\omega)$ (serie, parallelo, retroazione diventano $H_1H_2$, $H_1+H_2$, $\frac{H_1}{1+H_1H_2}$). I filtri ideali (passa-basso, passa-alto, passa-banda) hanno $h$ non causale e instabile; il filtro RC è il passa-basso reale. La modulazione $x(t)\cos\omega_0t$ trasla lo spettro in $\pm\omega_0$ e si demodula con la stessa portante e un passa-basso di guadagno 2.Filtri, modulazione e trasmissione AM →, Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodicoLe proprietà della serie di Fourier (linearità, ribaltamento, coniugio, ritardo $\to$ fattore $e^{-jk\omega_0t_1}$, modulazione $\to$ traslazione dei coefficienti, derivata $\to$ fattore $jk\omega_0$, Parseval $P=\sum|a_k|^2$, convoluzione periodica $\to$ prodotto) permettono di calcolare i coefficienti senza integrare. Un LTI stabile con ingresso periodico produce uscita periodica con coefficienti $b_k=H(k\omega_0)a_k$.Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodico →.

(1) Grafico e periodo

$|\cos\pi t|$ è sempre non negativo e si annulla per $\cos\pi t=0$, cioè $t=k+\frac12$. Tra due zeri consecutivi è un arco di coseno positivo: il grafico è una sequenza di "gobbe" di altezza $1$ larghe $1$, con minimi (nulli, con spigolo) in $t=\pm\frac12,\pm\frac32$ e massimi $1$ in $t=0,\pm1,\pm2$.

Il coseno ha periodo $2$ e il valore assoluto "ribalta" le semionde negative: $|\cos\pi(t+1)|=|-\cos\pi t|=|\cos\pi t|$. Il periodo fondamentale è $T=1$ (nessun $T<1$ funziona: i massimi sono distanziati di $1$), e $$\omega_0=\frac{2\pi}T=2\pi.$$

(2) Energia e potenza

Un segnale periodico non negativo e non identicamente nullo ha energia infinita: $E_x=\int_{-\infty}^{+\infty}\cos^2\pi t\,dt=\infty$ (ogni periodo aggiunge lo stesso contributo positivo). La potenza si calcola su un periodo (Segnali - supporto, area, valor medio, energia e potenzaUn segnale è una funzione del tempo (continuo $t$ o discreto $n$). Si descrive con pochi numeri: estensione, area, valor medio, energia $\int|x|^2$ e potenza (energia media). Energia finita implica potenza nulla; potenza finita non nulla implica energia infinita; per i segnali periodici tutto si calcola su un periodo.Segnali - supporto, area, valor medio, energia e potenza →): $$P_x=\frac1T\int_{-1/2}^{1/2}\cos^2(\pi t)\,dt=\int_{-1/2}^{1/2}\left[\frac12+\frac12\cos(2\pi t)\right]dt=\frac12+\frac12\left[\frac{\sin2\pi t}{2\pi}\right]_{-1/2}^{1/2}=\frac12+0=\frac12.$$ (Equivalentemente come limite: $E(\tau)=\int_{-\tau/2}^{\tau/2}\cos^2=\frac\tau2+\frac{\sin\pi\tau}{2\pi}$, quindi $\frac{E(\tau)}\tau\to\frac12$.)

(3) I coefficienti di Fourier

Sul periodo $[-\frac12,\frac12]$ vale $x=\cos(\pi t)\ge0$ ($|\pi t|\le\frac\pi2$). Con la formula di analisi ($T=1$, $\omega_0=2\pi$): $$a_k=\int_{-1/2}^{1/2}\cos(\pi t)\,e^{-j2\pi kt}dt=\frac12\int_{-1/2}^{1/2}\left[e^{j\pi t}+e^{-j\pi t}\right]e^{-j2\pi kt}dt=\frac12\int_{-1/2}^{1/2}\left[e^{-j2\pi t\left(k-\frac12\right)}+e^{-j2\pi t\left(k+\frac12\right)}\right]dt.$$ Ciascun integrale ha la forma $\int_{-1/2}^{1/2}e^{-j2\pi\beta t}dt=\frac{e^{j\pi\beta}-e^{-j\pi\beta}}{j2\pi\beta}=\frac{\sin\pi\beta}{\pi\beta}=\operatorname{sinc}(\beta)$. Quindi $$a_k=\frac12\left[\operatorname{sinc}\left(k-\tfrac12\right)+\operatorname{sinc}\left(k+\tfrac12\right)\right]\ \checkmark$$ Forma chiusa. Con $\operatorname{sinc}\left(k\mp\frac12\right)=\mp\frac{(-1)^k}{\pi(k\mp\frac12)}$ (si veda Serie di Fourier - coefficienti di segnali notevoliCoefficienti di Fourier dei segnali periodici più frequenti: costante e sinusoidi (si leggono con Eulero), pettine ($a_k=1/T$), onda quadra con duty cycle $d$ ($a_k=d,\operatorname{sinc}(kd)$), coseno rettificato, dente di sega e onda triangolare. Utile anche il trucco della derivata: $a_k=b_k/(jk\omega_0)$ dove $b_k$ sono i coefficienti di $x'$.Serie di Fourier - coefficienti di segnali notevoli →) si trova $a_k=\frac{2(-1)^{k+1}}{\pi(4k^2-1)}$: $a_0=\frac2\pi\approx0{,}637$, $a_{\pm1}=\frac2{3\pi}\approx0{,}212$, $a_{\pm2}=-\frac2{15\pi}\approx-0{,}042$. (Verificato con integrazione numerica.)

(4) Risposta in frequenza di $S$

Da $\operatorname{sinc}(t)\leftrightarrow\operatorname{rect}\left(\frac\omega{2\pi}\right)$ e dalla scala, $\operatorname{sinc}\left(\frac tD\right)\leftrightarrow D\operatorname{rect}\left(\frac{D\omega}{2\pi}\right)$ (per $D>0$): $$H(\omega)=A\,D\operatorname{rect}\left(\frac{D\,\omega}{2\pi}\right).$$ È un filtro passa-basso ideale: guadagno $AD$ per $|\omega|<\frac\pi D$ (pulsazione di taglio $\omega_c=\frac\pi D$) e $0$ fuori. Schizzo: un rettangolo di altezza $AD$ e larghezza $\frac{2\pi}D$ centrato in $0$.

(5) Condizione su $D$ perché $y$ sia costante

Lo spettro dell'ingresso è a righe: $X(\omega)=2\pi\sum_ka_k\delta(\omega-2\pi k)$. Il filtro lascia passare solo le righe in $|\omega|<\frac\pi D$. Per ottenere un'uscita costante devono sparire tutte le armoniche $k\ne0$, in particolare la prima $k=\pm1$, che ha pulsazione $2\pi$ (e $a_{\pm1}\ne0$): serve che la prima armonica sia fuori dalla banda passante, $$\frac\pi D<2\pi\iff D>\frac12.$$ Con $D>\frac12$ restano soltanto la continua: $y(t)=a_0\,H(0)=\frac2\pi\cdot AD$, cioè $$y(t)=\frac{2AD}{\pi}\quad\text{(costante)}\qquad\text{per }D>\frac12.$$ Nel caso limite $D=\frac12$ la riga in $\pm2\pi$ cade esattamente sul bordo della banda ($H=\frac{AD}{2}$ per la convenzione dell'emivalore), quindi non viene eliminata e $y$ non è costante: la condizione è $D>\frac12$ (disuguaglianza stretta). Per $D<\frac12$ la prima armonica passa e $y$ contiene anche $2|a_1H(2\pi)|\cos(2\pi t)=\frac{4AD}{3\pi}\cos(2\pi t)$, e così via.

Errori comuni

• Dire che il periodo è $2$ (è quello del coseno, non del suo valore assoluto).
• Calcolare la potenza su $\mathbb R$ con $\int_{\mathbb R}$ (infinito): va fatta su un periodo.
• Dimenticare che l'integrale dei coefficienti va svolto su $\left[-\frac12,\frac12\right]$ dove $x=\cos\pi t$ senza valore assoluto.
• Imporre $D\ge\frac12$ invece di $D>\frac12$.
• Dimenticare il guadagno $D$ nella $H$ (la scala dà il fattore $D$).