Esercizio 6segnali discreti con gradino quadratico, decimazione ed energia (tema d'esame settembre 2025)

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Teoria usata: Segnali - supporto, area, valor medio, energia e potenzaUn segnale è una funzione del tempo (continuo $t$ o discreto $n$). Si descrive con pochi numeri: estensione, area, valor medio, energia $\int|x|^2$ e potenza (energia media). Energia finita implica potenza nulla; potenza finita non nulla implica energia infinita; per i segnali periodici tutto si calcola su un periodo.Segnali - supporto, area, valor medio, energia e potenza →, Spazi di segnali L1, L2 e L-infinitoGli spazi $L^1$ (area del modulo finita), $L^2$ (energia finita) e $L^\infty$ (segnale limitato) classificano i segnali e dicono quali teoremi si possono usare: $L^1$ per l'esistenza della trasformata di Fourier e la stabilità BIBO, $L^2$ per Parseval. Nel discreto valgono le inclusioni $\ell^1 \subset \ell^2 \subset \ell^\infty$, nel continuo no.Spazi di segnali L1, L2 e L-infinito →, Trasformazioni elementari e simmetrie dei segnaliRibaltamento $x(-t)$, traslazione $x(t-t_0)$ e scala $x(t/a)$ permettono di costruire ogni segnale a partire da pochi modelli ($\operatorname{rect}$, $\Lambda$, $u$). L'ordine di scala e traslazione conta. Un segnale si scompone in parte pari e dispari, reale e immaginaria, hermitiana e antihermitiana; la ripetizione periodica $\operatorname{rep}{T}x$ costruisce segnali periodici.Trasformazioni elementari e simmetrie dei segnali →, Teorema del campionamento, interpolazione e aliasingTeorema di Shannon: un segnale a banda limitata $\omega_M$ si ricostruisce esattamente dai campioni se $T_c<\pi/\omega_M$ (frequenza di campionamento maggiore di quella di Nyquist $2f{\max}$), con la formula di interpolazione ideale $x(t)=\sum_nx(nT_c)\operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT_c}{T_c}\right)$. Sotto Nyquist c'è aliasing: le frequenze alte si confondono con quelle basse e l'informazione è persa.Teorema del campionamento, interpolazione e aliasing →.

(1) Supporti e appartenenza agli spazi

Il segnale $x$. $x(n)=1$ se $N^2-n^2\ge0$, cioè $|n|\le N$, e $0$ altrimenti: è la finestra $\operatorname{rect}_N$ con $2N+1$ campioni a $1$. Supporto $[-N,N]$ (finito).

Il segnale $y(n)=x(3n-6)=x\big(3(n-2)\big)$. È una decimazione di fattore $3$ (Trasformazioni elementari e simmetrie dei segnaliRibaltamento $x(-t)$, traslazione $x(t-t_0)$ e scala $x(t/a)$ permettono di costruire ogni segnale a partire da pochi modelli ($\operatorname{rect}$, $\Lambda$, $u$). L'ordine di scala e traslazione conta. Un segnale si scompone in parte pari e dispari, reale e immaginaria, hermitiana e antihermitiana; la ripetizione periodica $\operatorname{rep}_{T}x$ costruisce segnali periodici.Trasformazioni elementari e simmetrie dei segnali →): $y(n)$ vale $1$ se $|3n-6|\le N$, cioè $\frac{6-N}{3}\le n\le\frac{6+N}{3}$ (con $n$ intero). Il supporto è finito.

Il segnale $z=1-y$. Vale $1$ ovunque tranne dove $y=1$, dove vale $0$. Il suo supporto è infinito (è non nullo per tutti gli $n$ fuori dal supporto di $y$).

Appartenenza.

• $x$ e $y$ hanno supporto finito e valori limitati: stanno in $\ell^1$, $\ell^2$ e $\ell^\infty$.
• $z$ è limitato ($|z|\le1$), quindi sta in $\ell^\infty$; ma vale $1$ per infiniti $n$, quindi $\sum|z|=\infty$ e $\sum|z|^2=\infty$: non sta né in $\ell^1$ né in $\ell^2$. Solo $\ell^\infty$ (Spazi di segnali L1, L2 e L-infinitoGli spazi $L^1$ (area del modulo finita), $L^2$ (energia finita) e $L^\infty$ (segnale limitato) classificano i segnali e dicono quali teoremi si possono usare: $L^1$ per l'esistenza della trasformata di Fourier e la stabilità BIBO, $L^2$ per Parseval. Nel discreto valgono le inclusioni $\ell^1 \subset \ell^2 \subset \ell^\infty$, nel continuo no.Spazi di segnali L1, L2 e L-infinito →).

(2) Grafici per $N=6$

$x(n)=1$ per $n=-6,\ldots,6$ (13 campioni). Per $y$: $|3n-6|\le6\iff0\le3n\le12\iff0\le n\le4$, quindi $y(n)=1$ per $n=0,1,2,3,4$ (5 campioni). Controllo punto per punto: $y(0)=x(-6)=1$, $y(1)=x(-3)=1$, $y(2)=x(0)=1$, $y(3)=x(3)=1$, $y(4)=x(6)=1$, mentre $y(-1)=x(-9)=0$ e $y(5)=x(9)=0$. Del segnale $x$ la decimazione tiene un campione ogni tre ($\ldots,-6,-3,0,3,6,\ldots$), e li dispone da $n=0$ a $n=4$ (ritardo di $2$).

$z(n)=0$ per $n=0,\ldots,4$ e $z(n)=1$ per tutti gli altri $n$ (un "buco" di 5 campioni in una costante $1$).

(3) Energia e potenza per $N=6$

L'energia è $E=\sum|{\cdot}|^2$, la potenza $P=\lim_{M\to\infty}\frac{1}{2M+1}\sum_{n=-M}^M|{\cdot}|^2$ (Segnali - supporto, area, valor medio, energia e potenzaUn segnale è una funzione del tempo (continuo $t$ o discreto $n$). Si descrive con pochi numeri: estensione, area, valor medio, energia $\int|x|^2$ e potenza (energia media). Energia finita implica potenza nulla; potenza finita non nulla implica energia infinita; per i segnali periodici tutto si calcola su un periodo.Segnali - supporto, area, valor medio, energia e potenza →).

• $x$: $E_x=13$ (tredici campioni a $1$); energia finita, quindi $P_x=0$.
• $y$: $E_y=5$; $P_y=0$.
• $z$: $E_z=\infty$ (infiniti campioni a $1$). Potenza: su $[-M,M]$ ci sono $2M+1$ campioni, di cui $5$ nulli (per $M\ge4$), quindi $\sum|z|^2=2M+1-5$ e $P_z=\lim\frac{2M-4}{2M+1}=1$. Segnale di potenza.

(4) Due segnali continui che campionati a $T_c=1$ danno $x(n)$

Servono $x_a(n)=1$ per $|n|\le6$ e $x_a(n)=0$ per $|n|\ge7$ (con $N=6$).

Esempio A (non a banda limitata). La finestra rettangolare continua $x_a(t)=\operatorname{rect}\left(\frac{t}{13}\right)$, che vale $1$ per $|t|<6{,}5$ e $0$ altrimenti: negli interi $|n|\le6$ vale $1$, in $|n|\ge7$ vale $0$ ✓. Ha durata limitata, quindi banda infinita (Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempiLa trasformata di Fourier $X(\omega)=\int x(t)e^{-j\omega t}dt$ estende la serie ai segnali aperiodici; si inverte con $x(t)=\frac1{2\pi}\int X(\omega)e^{j\omega t}d\omega$. Esiste per $x\in L^1$ (e per $x\in L^2$ in senso quadratico). Coppie fondamentali: $e^{-at}u\leftrightarrow\frac1{a+j\omega}$, $e^{-a|t|}\leftrightarrow\frac{2a}{a^2+\omega^2}$, $\operatorname{rect}(t)\leftrightarrow\operatorname{sinc}\frac\omega{2\pi}$, $\operatorname{sinc}(t)\leftrightarrow\operatorname{rect}\frac\omega{2\pi}$.Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempi →).

Esempio B (a banda limitata). Si usa l'interpolazione ideale (Teorema del campionamento, interpolazione e aliasingTeorema di Shannon: un segnale a banda limitata $\omega_M$ si ricostruisce esattamente dai campioni se $T_c<\pi/\omega_M$ (frequenza di campionamento maggiore di quella di Nyquist $2f_{\max}$), con la formula di interpolazione ideale $x(t)=\sum_nx(nT_c)\operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT_c}{T_c}\right)$. Sotto Nyquist c'è aliasing: le frequenze alte si confondono con quelle basse e l'informazione è persa.Teorema del campionamento, interpolazione e aliasing →), che per costruzione passa per i campioni: $$x_a(t)=\sum_{n=-6}^{6}\operatorname{sinc}(t-n).$$ Campionando a $T_c=1$: $\operatorname{sinc}(m-n)=\delta_{mn}$ (il sinc vale $1$ in zero e si annulla negli altri interi), quindi $x_a(m)=1$ per $|m|\le6$ e $0$ altrimenti ✓. È una somma finita di sinc traslati; ogni $\operatorname{sinc}(t-n)$ ha trasformata $\operatorname{rect}\left(\frac\omega{2\pi}\right)e^{-j\omega n}$ (supporto $|\omega|<\pi$), quindi $X_a(\omega)=\operatorname{rect}\left(\frac{\omega}{2\pi}\right)W_6(\omega)$ con $W_6$ la TFtd di $x$: banda limitata a $\pi$ e per il teorema di Shannon ($T_c=1=\frac{\pi}{\omega_M}$, al limite) $x_a$ è ricostruibile dai suoi campioni.

(Ogni altro segnale della forma $x_a+\sin(\pi t)\cdot g(t)$ con $g$ qualsiasi ha gli stessi campioni, perché $\sin(\pi n)=0$: i campioni non determinano il segnale se non c'è la banda limitata.)

Errori comuni

• Dire che $y$ è "$x$ compresso": la decimazione butta via campioni, non li comprime in modo continuo. Qui si tengono $x(-6),x(-3),x(0),x(3),x(6)$.
• Dimenticare che $y(n)=x(3n-6)=x(3(n-2))$ è anche ritardato di 2 (il suo supporto parte da $0$, non da $-2$).
• Dichiarare $z\in\ell^2$ perché "$z$ è limitato".
• Calcolare la potenza di $z$ come $0$ o come $\frac{2M-4}{2M+1}$ senza passare al limite.
• Pensare che esista un solo segnale continuo con quei campioni.