Esercizio 20catena di campionamento e interpolazione ideale (tema d'esame settembre 2024)

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Teoria usata: Campionamento e formula di PoissonCampionare un segnale continuo $x(t)$ con passo $T_c$ dà la sequenza $x(nT_c)$. La formula di Poisson lega gli spettri: $\hat W(\omega)=\frac1{T_c}\sum_kX\left(\frac{\omega+2\pi k}{T_c}\right)$, cioè lo spettro del segnale campionato è la ripetizione periodica (di periodo $2\pi/T_c$ in pulsazione analogica) dello spettro originale, riscalata. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing.Campionamento e formula di Poisson →, Teorema del campionamento, interpolazione e aliasingTeorema di Shannon: un segnale a banda limitata $\omega_M$ si ricostruisce esattamente dai campioni se $T_c<\pi/\omega_M$ (frequenza di campionamento maggiore di quella di Nyquist $2f_{\max}$), con la formula di interpolazione ideale $x(t)=\sum_nx(nT_c)\operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT_c}{T_c}\right)$. Sotto Nyquist c'è aliasing: le frequenze alte si confondono con quelle basse e l'informazione è persa.Teorema del campionamento, interpolazione e aliasing →, Proprietà della trasformata di FourierCon le proprietà (linearità, simmetrie, ritardo $\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}$, modulazione $\leftrightarrow$ traslazione in frequenza, scala, dualità, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $E=\frac1{2\pi}\int|X|^2$, derivata $\leftrightarrow j\omega$, moltiplicazione per $t\leftrightarrow j,d/d\omega$, integrazione) quasi tutte le trasformate si ottengono da poche coppie base senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →.

Il modello di un blocco campionatore-interpolatore

Un blocco "campiona con passo $T$ e interpola con $h$" produce $y(t)=\sum_nx(nT)h(t-nT)=(x_s*h)(t)$, con $x_s=\sum_nx(nT)\delta(t-nT)$ il segnale a impulsi (Campionamento e formula di PoissonCampionare un segnale continuo $x(t)$ con passo $T_c$ dà la sequenza $x(nT_c)$. La formula di Poisson lega gli spettri: $\hat W(\omega)=\frac1{T_c}\sum_kX\left(\frac{\omega+2\pi k}{T_c}\right)$, cioè lo spettro del segnale campionato è la ripetizione periodica (di periodo $2\pi/T_c$ in pulsazione analogica) dello spettro originale, riscalata. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing.Campionamento e formula di Poisson →). In frequenza, usando $X_s(\omega)=\frac1T\sum_kX\left(\omega-k\frac{2\pi}T\right)$ (ripetizione periodica con periodo $\frac{2\pi}T$ e fattore $\frac1T$): $$\boxed{Y(\omega)=H(\omega)\cdot\frac1T\sum_{k}X\left(\omega-k\frac{2\pi}T\right).}$$ Qui $h(t)=2\operatorname{sinc}(2t)$ ha $H(\omega)=\frac22\operatorname{rect}\left(\frac\omega{4\pi}\right)=\operatorname{rect}\left(\frac\omega{4\pi}\right)$ (da $\operatorname{sinc}(at)\leftrightarrow\frac1a\operatorname{rect}\left(\frac\omega{2\pi a}\right)$ con $a=2$): un passa-basso ideale con guadagno $1$ e taglio $2\pi$. Il fattore $\frac1T$ della ripetizione non è compensato dal filtro (un interpolatore "corretto" avrebbe guadagno $T$), quindi a ogni stadio l'uscita risulta moltiplicata per $\frac1T$.

Lo spettro di $x$

$x(t)=\operatorname{sinc}^2(2t)=\operatorname{sinc}^2\left(\frac tT\right)$ con $T=\frac12$: dalla coppia $\operatorname{sinc}^2\left(\frac tT\right)\leftrightarrow T\Lambda\left(\frac{T\omega}{2\pi}\right)$: $$X(\omega)=\frac12\Lambda\left(\frac\omega{4\pi}\right),\quad\text{banda }|\omega|<4\pi.$$

(1) Il primo stadio: $Y(\omega)$

Con $T_1=\frac13$: ripetizione ogni $\frac{2\pi}{T_1}=6\pi$, fattore $\frac1{T_1}=3$: $$Y(\omega)=\operatorname{rect}\left(\frac\omega{4\pi}\right)\cdot3\sum_kX(\omega-6\pi k).$$ Lo spettro $X$ ha banda $4\pi>3\pi=\frac{6\pi}2$: c'è aliasing tra le repliche (si sovrappongono nell'intorno di $\pm3\pi$). Il filtro $H$ però lascia passare solo $|\omega|<2\pi$, e in quell'intervallo contribuisce soltanto la replica centrale: la prima replica ($k=\pm1$) ha supporto da $6\pi-4\pi=2\pi$ in su, cioè fuori dalla banda passante.

Quindi in $|\omega|<2\pi$ si ha $Y(\omega)=3X(\omega)=\frac32\Lambda\left(\frac\omega{4\pi}\right)=\frac32\left(1-\frac{|\omega|}{4\pi}\right)$ e fuori $0$: $$Y(\omega)=\frac32\left(1-\frac{|\omega|}{4\pi}\right)\operatorname{rect}\left(\frac\omega{4\pi}\right).$$ Si può riscrivere come $Y(\omega)=\frac34\operatorname{rect}\left(\frac\omega{4\pi}\right)+\frac34\Lambda\left(\frac\omega{2\pi}\right)$ (verifica: in $\omega=0$ vale $\frac34+\frac34=\frac32$ ✓; per $|\omega|<2\pi$, $\frac34+\frac34\left(1-\frac{|\omega|}{2\pi}\right)=\frac32-\frac{3|\omega|}{8\pi}=\frac32\left(1-\frac{|\omega|}{4\pi}\right)$ ✓). Altezza $\frac32$ al centro, $\frac34$ ai bordi $|\omega|=2\pi$ (dove il filtro taglia).

(2) Il secondo stadio: $Z(\omega)$

Ora $T_2=\frac12$: ripetizione ogni $\frac{2\pi}{T_2}=4\pi$, fattore $\frac1{T_2}=2$: $$Z(\omega)=\operatorname{rect}\left(\frac\omega{4\pi}\right)\cdot2\sum_kY(\omega-4\pi k).$$ $Y$ ha supporto $|\omega|<2\pi$, quindi la prima replica occupa $(2\pi,6\pi)$: le repliche si toccano soltanto nei punti $\pm2\pi$ e non si sovrappongono. È il caso di una ricostruzione esatta (Teorema del campionamento, interpolazione e aliasingTeorema di Shannon: un segnale a banda limitata $\omega_M$ si ricostruisce esattamente dai campioni se $T_c<\pi/\omega_M$ (frequenza di campionamento maggiore di quella di Nyquist $2f_{\max}$), con la formula di interpolazione ideale $x(t)=\sum_nx(nT_c)\operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT_c}{T_c}\right)$. Sotto Nyquist c'è aliasing: le frequenze alte si confondono con quelle basse e l'informazione è persa.Teorema del campionamento, interpolazione e aliasing →): in $|\omega|<2\pi$ c'è solo la replica centrale. Dunque $$Z(\omega)=2\,Y(\omega).$$ Attenzione al fattore $2$: lo stadio non ha guadagno $T_2=\frac12$ (che compenserebbe $\frac1{T_2}$), ma guadagno $1$: l'uscita è $\frac1{T_2}=2$ volte il segnale originale. Il fattore $2$ non compare se si assume un interpolatore con $H=T_2\operatorname{rect}\left(\frac{T_2\omega}{2\pi}\right)=\frac12\operatorname{rect}\left(\frac{\omega}{4\pi}\right)$.

(3) Il segnale $z(t)$

Si antitrasforma $Z=2Y=\frac32\operatorname{rect}\left(\frac\omega{4\pi}\right)+\frac32\Lambda\left(\frac\omega{2\pi}\right)$ con $\operatorname{rect}\left(\frac\omega{4\pi}\right)\leftrightarrow2\operatorname{sinc}(2t)$ e $\Lambda\left(\frac\omega{2\pi}\right)\leftrightarrow\operatorname{sinc}^2(t)$ (dalla coppia $\operatorname{sinc}^2(t)\leftrightarrow\Lambda\left(\frac\omega{2\pi}\right)$): $$y(t)=\frac34\cdot2\operatorname{sinc}(2t)+\frac34\operatorname{sinc}^2(t)=\frac32\operatorname{sinc}(2t)+\frac34\operatorname{sinc}^2(t),$$ $$\boxed{z(t)=2\,y(t)=3\operatorname{sinc}(2t)+\frac32\operatorname{sinc}^2(t).}$$

Verifica numerica. Simulando davvero i due stadi (somme di sinc con $10^4$ campioni) si ottiene $y(0)=2{,}25$ e $z(0)=4{,}5=2\,y(0)$; in $t=0{,}3$: $y=1{,}30946$, $z=2{,}61891$; in $t=0{,}7$: $y=-0{,}22285$, $z=-0{,}44570$; in $t=1{,}1$: $y=0{,}13356$, $z=0{,}26713$; sempre $z=2y$ e $y=\frac32\operatorname{sinc}(2t)+\frac34\operatorname{sinc}^2(t)$ (per esempio $y(0)=\frac32+\frac34=2{,}25$ ✓). Il fattore $2$ è proprio il $\frac1{T_2}$ del secondo stadio: il conto numerico e il modello $Y=H\cdot\frac1T\sum_kX(\omega-k\omega_c)$ concordano.

Errori comuni

• Dimenticare il fattore $\frac1T$ della ripetizione periodica, a ogni stadio: dopo il primo $\times3$, dopo il secondo $\times2$ in più.
• Non vedere che nel primo stadio c'è aliasing ma il filtro lo evita (agisce solo su $|\omega|<2\pi$, dove c'è una sola replica).
• Prendere $H(\omega)=\operatorname{rect}\left(\frac{\omega}{4\pi}\right)\cdot T$ senza leggere che $h(t)=2\operatorname{sinc}(2t)$ ha guadagno $1$.
• Dire che il secondo stadio "non fa nulla" perché ricostruisce esattamente: lo spettro resta uguale a meno del fattore $\frac1{T_2}$.