Esercizio 15trasformata di sinc e sinc quadro, energia e convoluzione (tema d'esame giugno 2023)

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Teoria usata: Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempiLa trasformata di Fourier $X(\omega)=\int x(t)e^{-j\omega t}dt$ estende la serie ai segnali aperiodici; si inverte con $x(t)=\frac1{2\pi}\int X(\omega)e^{j\omega t}d\omega$. Esiste per $x\in L^1$ (e per $x\in L^2$ in senso quadratico). Coppie fondamentali: $e^{-at}u\leftrightarrow\frac1{a+j\omega}$, $e^{-a|t|}\leftrightarrow\frac{2a}{a^2+\omega^2}$, $\operatorname{rect}(t)\leftrightarrow\operatorname{sinc}\frac\omega{2\pi}$, $\operatorname{sinc}(t)\leftrightarrow\operatorname{rect}\frac\omega{2\pi}$.Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempi →, Proprietà della trasformata di FourierCon le proprietà (linearità, simmetrie, ritardo $\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}$, modulazione $\leftrightarrow$ traslazione in frequenza, scala, dualità, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $E=\frac1{2\pi}\int|X|^2$, derivata $\leftrightarrow j\omega$, moltiplicazione per $t\leftrightarrow j,d/d\omega$, integrazione) quasi tutte le trasformate si ottengono da poche coppie base senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →, Calcolo della convoluzione e sue proprietàIl supporto della convoluzione è la somma dei supporti, $\operatorname{rect}*\operatorname{rect}=\Lambda$, e due esponenziali causali danno $(e^{-bt}-e^{-at})/(a-b)$. Si calcola con il metodo grafico a casi (ribaltare, traslare, individuare gli intervalli di sovrapposizione). Proprietà: lineare, commutativa, associativa, $\delta$ è l'elemento neutro, la traslazione si somma, l'area è il prodotto delle aree.Calcolo della convoluzione e sue proprietà →.

(1) I grafici

$x(t)=a_1\operatorname{sinc}\left(\frac t{T_1}\right)$: vale $a_1$ in $t=0$ (massimo), si annulla in $t=\pm T_1,\pm2T_1,\ldots$ (zeri del $\operatorname{sinc}$ in corrispondenza degli interi non nulli di $\frac t{T_1}$), oscilla con ampiezze alternate che decadono come $\frac1t$. $y(t)=a_2\operatorname{sinc}^2\left(\frac t{T_2}\right)$: è non negativo, con massimo $a_2$ in $0$, zeri (doppi, mai negativo) in $t=\pm T_2,\pm2T_2,\ldots$ e code che decadono come $\frac1{t^2}$.

(2) Le trasformate

Si parte da $\operatorname{rect}(t)\leftrightarrow\operatorname{sinc}\left(\frac\omega{2\pi}\right)$ e da $\operatorname{sinc}(t)\leftrightarrow\operatorname{rect}\left(\frac\omega{2\pi}\right)$ (Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempiLa trasformata di Fourier $X(\omega)=\int x(t)e^{-j\omega t}dt$ estende la serie ai segnali aperiodici; si inverte con $x(t)=\frac1{2\pi}\int X(\omega)e^{j\omega t}d\omega$. Esiste per $x\in L^1$ (e per $x\in L^2$ in senso quadratico). Coppie fondamentali: $e^{-at}u\leftrightarrow\frac1{a+j\omega}$, $e^{-a|t|}\leftrightarrow\frac{2a}{a^2+\omega^2}$, $\operatorname{rect}(t)\leftrightarrow\operatorname{sinc}\frac\omega{2\pi}$, $\operatorname{sinc}(t)\leftrightarrow\operatorname{rect}\frac\omega{2\pi}$.Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempi →) e si applica la regola di scala $x(t/T)\leftrightarrow|T|X(T\omega)$ (Proprietà della trasformata di FourierCon le proprietà (linearità, simmetrie, ritardo $\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}$, modulazione $\leftrightarrow$ traslazione in frequenza, scala, dualità, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $E=\frac1{2\pi}\int|X|^2$, derivata $\leftrightarrow j\omega$, moltiplicazione per $t\leftrightarrow j,d/d\omega$, integrazione) quasi tutte le trasformate si ottengono da poche coppie base senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →).

$X$: $$X(\omega)=a_1T_1\operatorname{rect}\left(\frac{T_1\,\omega}{2\pi}\right)=\begin{cases}a_1T_1&|\omega|<\frac\pi{T_1}\\0&|\omega|>\frac\pi{T_1}\end{cases}$$ Un rettangolo di altezza $a_1T_1$ e semilarghezza $\frac\pi{T_1}$: banda limitata a $\frac\pi{T_1}$.

$Y$: il quadrato nel tempo diventa una convoluzione in frequenza: da $\operatorname{sinc}^2(t)=\operatorname{sinc}(t)\cdot\operatorname{sinc}(t)$, $\mathcal F=\frac1{2\pi}\operatorname{rect}\left(\frac\omega{2\pi}\right)*\operatorname{rect}\left(\frac\omega{2\pi}\right)=\frac1{2\pi}\cdot2\pi\,\Lambda\left(\frac\omega{2\pi}\right)=\Lambda\left(\frac\omega{2\pi}\right)$ (convoluzione di due rettangoli di base $2\pi$: triangolo di base $4\pi$ e altezza $2\pi$, Calcolo della convoluzione e sue proprietàIl supporto della convoluzione è la somma dei supporti, $\operatorname{rect}*\operatorname{rect}=\Lambda$, e due esponenziali causali danno $(e^{-bt}-e^{-at})/(a-b)$. Si calcola con il metodo grafico a casi (ribaltare, traslare, individuare gli intervalli di sovrapposizione). Proprietà: lineare, commutativa, associativa, $\delta$ è l'elemento neutro, la traslazione si somma, l'area è il prodotto delle aree.Calcolo della convoluzione e sue proprietà →). Con la scala: $$Y(\omega)=a_2T_2\,\Lambda\left(\frac{T_2\,\omega}{2\pi}\right),$$ un triangolo di altezza $a_2T_2$ e semilarghezza $\frac{2\pi}{T_2}$ (banda limitata a $\frac{2\pi}{T_2}$).

(3) Le energie

Per Parseval-Plancherel $E=\frac1{2\pi}\int|X(\omega)|^2d\omega$.

Energia di $x$: $$E_x=\frac1{2\pi}\int_{-\pi/T_1}^{\pi/T_1}(a_1T_1)^2d\omega=\frac1{2\pi}a_1^2T_1^2\cdot\frac{2\pi}{T_1}=a_1^2\,T_1.$$

Energia di $y$: $|Y|^2=a_2^2T_2^2\Lambda^2\left(\frac{T_2\omega}{2\pi}\right)$, con $|Y|$ simmetrico: $$\int|Y|^2d\omega=2a_2^2T_2^2\int_0^{2\pi/T_2}\left(1-\frac{T_2\,\omega}{2\pi}\right)^2d\omega.$$ Con $s=1-\frac{T_2\omega}{2\pi}$ (da $1$ a $0$), $d\omega=-\frac{2\pi}{T_2}ds$: $$\int_0^{2\pi/T_2}\left(1-\tfrac{T_2\omega}{2\pi}\right)^2d\omega=\frac{2\pi}{T_2}\int_0^1s^2ds=\frac{2\pi}{3T_2}.$$ Quindi $\|Y\|_2^2=2a_2^2T_2^2\cdot\frac{2\pi}{3T_2}=\frac{4\pi}{3}a_2^2T_2$ e $$E_y=\frac1{2\pi}\cdot\frac{4\pi}3a_2^2T_2=\frac23\,a_2^2\,T_2.$$ (Verificato con integrazione numerica di $|x|^2$ e $|y|^2$ nel dominio del tempo: per $a_1=2,T_1=0{,}3$ si ottiene $1{,}1999\approx a_1^2T_1=1{,}2$; per $a_2=1{,}5$, $T_2=1$ si ottiene $1{,}5000=\frac23a_2^2T_2$.)

(4) La convoluzione $z=x*y$ per $T_1<\frac{T_2}2$

La convoluzione diventa un prodotto in frequenza: $Z(\omega)=X(\omega)Y(\omega)$: $$Z(\omega)=a_1T_1\operatorname{rect}\left(\frac{T_1\omega}{2\pi}\right)\cdot a_2T_2\Lambda\left(\frac{T_2\omega}{2\pi}\right).$$ Il rettangolo vale $1$ per $|\omega|<\frac\pi{T_1}$; il triangolo $\Lambda\left(\frac{T_2\omega}{2\pi}\right)$ è non nullo solo per $|\omega|<\frac{2\pi}{T_2}$. Se $T_1<\frac{T_2}{2}$ allora $\frac\pi{T_1}>\frac{2\pi}{T_2}$: il rettangolo copre tutto il supporto del triangolo, dove vale $1$. Quindi il prodotto è semplicemente il triangolo: $$Z(\omega)=a_1T_1\cdot Y(\omega)\quad\Longrightarrow\quad z(t)=a_1T_1\,y(t)=a_1a_2T_1\operatorname{sinc}^2\left(\frac t{T_2}\right).$$ Il filtro con risposta $x$ (un passa-basso ideale con banda $\frac\pi{T_1}$) lascia passare tutto lo spettro di $y$ (banda $\frac{2\pi}{T_2}$), scalandolo del guadagno $a_1T_1$. Verifica numerica della convoluzione con $a_1=2,T_1=0{,}3,a_2=1{,}5,T_2=1$: $z(0)=0{,}9000$, $z(0{,}4)=0{,}51551$, $z(1{,}3)=0{,}03532$, tutti uguali alla formula $a_1a_2T_1\operatorname{sinc}^2(t/T_2)$ ($=0{,}9\operatorname{sinc}^2t$).

Errori comuni

• Scrivere $X(\omega)=a_1\operatorname{rect}\left(\frac{\omega}{2\pi}\right)$ senza la scala: il $\operatorname{sinc}\left(\frac t{T_1}\right)$ ha banda $\frac\pi{T_1}$ e altezza $a_1T_1$.
• Dimenticare il fattore $\frac1{2\pi}$ in Parseval, o dimenticare che $|Y|^2$ è il quadrato del triangolo (non il triangolo).
• Calcolare la convoluzione nel tempo (integrale di sinc): in frequenza è un prodotto di due funzioni elementari.
• Confondere la condizione $T_1<\frac{T_2}2$ con $T_1<T_2$: la condizione corretta è $\frac\pi{T_1}\ge\frac{2\pi}{T_2}$.