Segnali - supporto, area, valor medio, energia e potenza

Un segnale è una funzione che descrive come varia una grandezza (una tensione, una pressione, un valore di pixel) nel tempo. Si distinguono:

• segnali a tempo continuo: $x(t)$ con $t \in \mathbb{R}$ (in secondi);
• segnali a tempo discreto: $x(n)$ con $n \in \mathbb{Z}$ (successioni di campioni; se vengono da un campionamento con passo $T_c$, $x(n) = x(nT_c)$, vedi Campionamento e formula di PoissonCampionare un segnale continuo $x(t)$ con passo $T_c$ dà la sequenza $x(nT_c)$. La formula di Poisson lega gli spettri: $\hat W(\omega)=\frac1{T_c}\sum_kX\left(\frac{\omega+2\pi k}{T_c}\right)$, cioè lo spettro del segnale campionato è la ripetizione periodica (di periodo $2\pi/T_c$ in pulsazione analogica) dello spettro originale, riscalata. Se le repliche si sovrappongono si ha aliasing.Campionamento e formula di Poisson →).

I valori possono essere reali o complessi. Nel corso i segnali complessi sono un comodo strumento matematico (vedi Numeri complessi, formula di Eulero ed esponenziali complessiUn numero complesso si scrive in forma cartesiana a+jb o polare |x|e^{jφ}; il prodotto moltiplica i moduli e somma le fasi. La formula di Eulero e^{jα}=cos α + j sin α lega esponenziali e sinusoidi e permette di trattare tutti i segnali del corso come somme di esponenziali complessi e^{(σ+jω)t}.Numeri complessi, formula di Eulero ed esponenziali complessi →).

Segnali notevoli

Tutti i segnali del corso si costruiscono con pochi mattoni:

Convenzione dell'emivalore. Nei punti di discontinuità il segnale assume il valore medio tra limite sinistro e destro: $\operatorname{rect}(\pm\frac12) = \frac12$, $u(0)=\frac12$. È una convenzione comoda (la trasformata di Fourier non distingue) e coerente con il fatto che la serie e la trasformata di Fourier convergono proprio al valore medio nei salti.

Nel discreto: gradino $u(n)$ ($=1$ per $n \ge 0$), impulso di Kronecker $\delta(n)$ ($=1$ solo per $n=0$), esponenziale $a^n u(n)$, finestra $\operatorname{rect}_N(n)$ che vale $1$ per $|n| \le N$ ($2N+1$ campioni).

Estensione, durata, causalità

• Estensione (supporto) di $x$: l'intervallo $[t_s, T_s]$ fuori dal quale il segnale è nullo (più precisamente il più piccolo intervallo che contiene i punti in cui $x \ne 0$). La durata è $D = T_s - t_s$. Possono essere infinite.
• Un segnale è causale se $x(t) = 0$ per $t < 0$, cioè se il supporto è contenuto in $[0, +\infty)$. Il nome si capirà con i sistemi: la risposta di un sistema fisico non può precedere la causa (Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTIPer un sistema LTI le proprietà si leggono sulla risposta impulsiva $h$: causale se $h$ è nulla per $t<0$; reale se $h$ è reale; statico se $h=K\delta$; BIBO stabile se e solo se $h$ è assolutamente integrabile (sommabile nel discreto). Serie e parallelo corrispondono a $h_1*h_2$ e $h_1+h_2$.Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTI →). È anticausale se $x(t) = 0$ per $t > 0$.

Esempio. $x(t) = \operatorname{rect}\left(\frac{t-1}{2}\right)$ vale $1$ quando $|t - 1| < 1$, cioè per $0 < t < 2$: supporto $[0, 2]$, durata $2$, ed è causale. Invece $\operatorname{rect}(t)$ ha supporto $[-\frac12, \frac12]$ e non è causale.

Area e valor medio

Per un segnale a tempo continuo:

$$\text{area } A_x = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\, dt, \qquad \text{valor medio } m_x = \lim_{T \to \infty}\frac1T\int_{-T/2}^{T/2} x(t)\, dt.$$

Nel discreto gli integrali diventano somme: $A_x = \sum_n x(n)$, $m_x = \lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N}x(n)$.

Se $x$ è reale l'area è l'area con segno tra curva e asse delle ascisse (può essere negativa); se $x$ è complesso l'area è un numero complesso. Area e valor medio sono operatori lineari ($A_{ax+by} = aA_x + bA_y$) e invarianti per traslazione ($x(t)$ e $x(t-t_0)$ hanno stessa area e stesso valor medio).

Proprietà generale. Un segnale con area finita ha valor medio nullo (l'area viene divisa per $T \to \infty$). Un segnale con valor medio finito e non nullo ha area infinita.

Energia e potenza

$$E_x = \int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2\, dt, \qquad P_x = \lim_{T\to\infty}\frac1T\int_{-T/2}^{T/2}|x(t)|^2\, dt.$$

L'energia misura la "quantità" totale di segnale; la potenza è l'energia media per unità di tempo. Nel discreto $E_x = \sum_n|x(n)|^2$ e $P_x = \lim\frac1{2N+1}\sum_{n=-N}^{N}|x(n)|^2$.

Origine fisica. Un resistore $R$ con tensione $v(t)$ e corrente $i(t) = v(t)/R$ dissipa la potenza istantanea $p(t) = v(t) i(t) = v^2(t)/R$ e nell'intervallo $[t_1, t_2]$ l'energia $\int_{t_1}^{t_2} v^2(t)/R\, dt$. Un segnale di tensione ha dunque "energia" $\int v^2$ a meno del fattore $1/R$, che si pone uguale a 1.

Proprietà (sono sempre valori reali non negativi, non sono lineari: $E_{x+y} \neq E_x + E_y$ in generale, per il termine misto, e sono invarianti per traslazione):

Perché: se $E_x$ è finito, nel limite $\frac1T\int_{-T/2}^{T/2}|x|^2 \le \frac{E_x}{T} \to 0$. Se invece $P_x > 0$, l'energia su $[-T/2,T/2]$ è $\approx P_x\,T \to \infty$.

Esempi svolti

Per ogni segnale: area $A$, valor medio $m$, energia $E$, potenza $P$.

1. $x(t) = \operatorname{rect}(t)$. Vale 1 su un intervallo di lunghezza 1: $A = 1$, $E = \int_{-1/2}^{1/2}1\, dt = 1$. Energia finita, quindi $P = 0$ e $m = 0$.

2. Gradino $u(t)$. $A = \infty$. Valor medio: $\frac1T\int_{-T/2}^{T/2}u = \frac1T\cdot\frac T2 = \frac12$, quindi $m = \frac12$. $E = \int_0^\infty 1 = \infty$ e $P = \frac12$ (anche $|u|^2 = u$).

3. Rampa $t\,u(t)$. $A = \infty$, $E = \int_0^{\infty}t^2\, dt = \infty$ e $P = \lim\frac1T\int_0^{T/2}t^2\, dt = \lim\frac{T^2}{24} = \infty$: né energia né potenza finite.

4. Esponenziale bilatero $e^{-a|t|}$, $a>0$. $A = 2\int_0^\infty e^{-at}\, dt = \frac2a$. $E = \int e^{-2a|t|}\, dt = 2\cdot\frac1{2a} = \frac1a$. Energia finita: $P = m = 0$.

5. Esponenziale causale $e^{-at}u(t)$, $a > 0$. $A = \frac1a$, $E = \int_0^\infty e^{-2at}\, dt = \frac1{2a}$, $P = m = 0$. Con $a<0$ il segnale diverge: $A=E=\infty$, e anche $P=\infty$ (cresce esponenzialmente).

6. Segnale complesso $(1+j)\operatorname{rect}(t)$. $A = 1 + j$. $|x|^2 = |1+j|^2\operatorname{rect}^2 = 2\operatorname{rect}(t)$, quindi $E = 2$.

7. Sinusoide $A\cos(\omega_0 t + \varphi_0)$. $m = 0$. $|x|^2 = A^2\cos^2(\ldots) = \frac{A^2}{2}[1 + \cos(2\omega_0 t + 2\varphi_0)]$, che ha media $\frac{A^2}2$: $P = \frac{A^2}{2}$ e $E=\infty$. (Per questo il valore efficace di una sinusoide è $A/\sqrt2$.)

8. Esponenziale complesso $Ae^{j(\omega_0 t+\varphi_0)}$. $|x|^2 = A^2$ costante, quindi $P = A^2$, $E = \infty$, $m = 0$ (se $\omega_0\neq0$).

Discreti. Gradino $u(n)$: $m = P = \frac12$. Esponenziale $\left(\frac12\right)^n u(n)$: $A = \sum_{n\ge 0}2^{-n} = \frac{1}{1-1/2} = 2$ e $E = \sum_{n \ge 0}4^{-n} = \frac{1}{1-1/4} = \frac43$ (serie geometrica, vedi Numeri complessi, formula di Eulero ed esponenziali complessiUn numero complesso si scrive in forma cartesiana a+jb o polare |x|e^{jφ}; il prodotto moltiplica i moduli e somma le fasi. La formula di Eulero e^{jα}=cos α + j sin α lega esponenziali e sinusoidi e permette di trattare tutti i segnali del corso come somme di esponenziali complessi e^{(σ+jω)t}.Numeri complessi, formula di Eulero ed esponenziali complessi →).

Segnali periodici

Un segnale è periodico di periodo $T_p$ se $x(t) = x(t + T_p)$ per ogni $t$ (vedi Segnali periodici, sinusoidi ed esponenziali immaginari puriUn segnale continuo è periodico di periodo T se x(t+T)=x(t); $e^{j2\pi f_0t}$ ha periodo minimo $1/|f_0|$ e una somma di periodici è periodica solo se il rapporto dei periodi è razionale. A tempo discreto $e^{j2\pi\nu n}$ è periodico solo se $\nu$ è razionale, e le pulsazioni che differiscono di $2\pi$ sono lo stesso segnale: ogni sinusoide si riporta alla forma canonica con $\omega\in[0,\pi]$.Segnali periodici, sinusoidi ed esponenziali immaginari puri →). Area ed energia complessive sono infinite (si accumulano periodo dopo periodo), quindi per i segnali periodici si riportano le definizioni al periodo:

$$A_x(T_p) = \int_{T_p} x(t)\, dt, \qquad m_x = \frac1{T_p}\int_{T_p} x(t)\, dt, \qquad E_x(T_p) = \int_{T_p}|x|^2\, dt, \qquad P_x = \frac1{T_p}\int_{T_p}|x|^2\, dt.$$

Valor medio e potenza non cambiano se si sceglie un periodo non minimo (un multiplo $kT_p$): le $k$ ripetizioni identiche si compensano con la divisione per $kT_p$. Per esempio $\operatorname{sinc}$ non è periodico, mentre $|\cos(\pi t)|$ ha periodo $T_p = 1$ e potenza $P = \int_{-1/2}^{1/2}\cos^2(\pi t)\, dt = \frac12$ (esame del 2023 con questo segnale: Esercizio 12 · serie di Fourier del coseno rettificato e filtro passa-basso ideale (tema d'esame febbraio 2023)).

Cambio di scala e di posizione

Sia $y(t) = x(t/a)$ con $a > 0$ (dilata se $a>1$, comprime se $a<1$). Con il cambio di variabile $u = t/a$, $dt = a\, du$:

$$A_y = a\,A_x, \qquad E_y = \int|x(t/a)|^2\, dt = a\,E_x, \qquad m_y = m_x, \qquad P_y = P_x.$$

Area ed energia si scalano con $a$ (il segnale dura $a$ volte di più), mentre valor medio e potenza, che sono "medie", restano uguali. Per un ritardo $y(t) = x(t - t_0)$ non cambia nulla (con $u = t - t_0$ l'integrale è identico): sono tutte e quattro invarianti per traslazione.

Errori comuni

• Dire che "un segnale limitato ha energia finita": $u(t)$ e le sinusoidi sono limitati e hanno energia infinita.
• Calcolare la potenza di un segnale periodico sull'intero asse: va fatto su un periodo (o come limite, ma allora il risultato è lo stesso).
• Dimenticare il modulo al quadrato per segnali complessi: l'energia è $\int|x|^2$, non $\int x^2$.
• Applicare la linearità a $E$ e $P$ (non sono lineari: servirà l'ortogonalità, vedi Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodicoLe proprietà della serie di Fourier (linearità, ribaltamento, coniugio, ritardo $\to$ fattore $e^{-jk\omega_0t_1}$, modulazione $\to$ traslazione dei coefficienti, derivata $\to$ fattore $jk\omega_0$, Parseval $P=\sum|a_k|^2$, convoluzione periodica $\to$ prodotto) permettono di calcolare i coefficienti senza integrare. Un LTI stabile con ingresso periodico produce uscita periodica con coefficienti $b_k=H(k\omega_0)a_k$.Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodico →).