Calcolo della convoluzione e sue proprietà

La convoluzione (Sistemi LTI, risposta impulsiva e convoluzioneUn sistema lineare tempo-invariante (LTI) è completamente descritto dalla sua risposta impulsiva $h=\Sigma[\delta]$: l'uscita è la convoluzione $y=x*h$, cioè $y(t)=\int x(u)h(t-u)du$ (somma $\sum_k x(k)h(n-k)$ nel discreto). Il teorema discende da linearità e tempo-invarianza applicate alla scomposizione del segnale in impulsi.Sistemi LTI, risposta impulsiva e convoluzione →) è un'operazione da saper eseguire "a mano" su segnali semplici (rettangoli, esponenziali, sequenze finite) e da saper manipolare con le sue proprietà. In frequenza diventerà un semplice prodotto (Proprietà della trasformata di FourierCon le proprietà (linearità, simmetrie, ritardo $\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}$, modulazione $\leftrightarrow$ traslazione in frequenza, scala, dualità, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $E=\frac1{2\pi}\int|X|^2$, derivata $\leftrightarrow j\omega$, moltiplicazione per $t\leftrightarrow j,d/d\omega$, integrazione) quasi tutte le trasformate si ottengono da poche coppie base senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →), ma in molti esercizi il calcolo diretto è la via più veloce.

Supporto della convoluzione

Siano $x$ con supporto $[t_x,T_x]$ e $y$ con supporto $[t_y,T_y]$. Nell'integrale $\int x(u)y(t-u)\,du$ il prodotto è non nullo solo quando $u\in[t_x,T_x]$ e $t-u\in[t_y,T_y]$, cioè $u\in[t-T_y,t-t_y]$. Il risultato è non nullo solo se i due intervalli $[t_x,T_x]$ e $[t-T_y,t-t_y]$ si sovrappongono:

• inizio: il ribaltato $y(t-u)$, il cui lato destro è in $u=t-t_y$, comincia a sovrapporsi a $x$ quando $t-t_y=t_x$, cioè $t=t_x+t_y$;
• fine: l'ultima sovrapposizione è quando il lato sinistro del ribaltato $t-T_y$ raggiunge $T_x$, cioè $t=T_x+T_y$.

$$\text{supp}(x*y)=[t_x+t_y,\,T_x+T_y],\qquad D_{x*y}=D_x+D_y.$$

Le durate si sommano. Nel discreto, con $x$ su $[n_x,N_x]$ e $y$ su $[n_y,N_y]$ si ha supporto $[n_x+n_y,N_x+N_y]$: due sequenze di $L_x$ e $L_y$ campioni danno $L_x+L_y-1$ campioni. Questa regola permette di sapere in anticipo dove l'uscita è non nulla, e di controllare il risultato.

Il metodo grafico a casi

Per $x*y(t)=\int x(u)y(t-u)du$:

1. disegnare $x(u)$ e $y(u)$ in funzione di $u$, scrivendo i supporti;
2. ribaltare uno dei due (conviene quello con l'espressione più semplice), ottenendo $y(-u)$;
3. traslarlo di $t$ ottenendo $y(t-u)$: il ribaltato scorre verso destra al crescere di $t$;
4. distinguere i casi in base alla posizione relativa dei supporti: "ancora non si toccano" (risultato $0$), "si sovrappongono parzialmente", "uno è contenuto nell'altro", "non si toccano più" (risultato $0$). Il cambio di caso avviene quando un estremo di $y(t-u)$ incontra un estremo di $x(u)$ o un punto di discontinuità;
5. per ogni caso scrivere l'integrale con gli estremi corretti (l'intervallo di sovrapposizione) e calcolarlo;
6. controllare: continuità tra i casi (se i segnali sono limitati la convoluzione è continua) e supporto.

Esempi svolti

1. $\operatorname{rect}*\operatorname{rect}=\Lambda$. Con $x=y=\operatorname{rect}$ (supporto $[-\frac12,\frac12]$) il supporto della convoluzione è $[-1,1]$. Dato che in sovrapposizione il prodotto vale $1$, $y(t)$ è la lunghezza della sovrapposizione.

• $t<-1$ o $t>1$: nessuna sovrapposizione, $0$.
• $-1<t<0$: $y(t-u)$ copre $[t-\frac12,t+\frac12]$, che si sovrappone a $[-\frac12,\frac12]$ nell'intervallo $[-\frac12,t+\frac12]$, di lunghezza $t+1$.
• $0<t<1$: sovrapposizione $[t-\frac12,\frac12]$, lunghezza $1-t$.

Quindi $\operatorname{rect}*\operatorname{rect}(t)=(1-|t|)\operatorname{rect}\left(\frac t2\right)=\Lambda(t)$ (un triangolo di base 2 e altezza 1; l'area è $1\cdot1=1$ ✓).

2. Due rettangoli di base diversa. $x(t)=\operatorname{rect}\left(\frac t{T_1}\right)$ e $y(t)=\operatorname{rect}\left(\frac t{T_2}\right)$ con $T_2<T_1$. Il risultato è un trapezio: base maggiore $T_1+T_2$, base minore $T_1-T_2$, altezza $T_2$ (la sovrapposizione massima è la lunghezza del rettangolo più corto). Numericamente $T_1=2$, $T_2=1$: supporto $[-\frac32,\frac32]$, altezza $1$ per $|t|<\frac12$, rampe da $\frac12$ a $\frac32$. L'area totale è $2\cdot1=2$ (area del trapezio: $\frac{(3+1)}{2}\cdot1=2$ ✓).

3. Due esponenziali causali. $x(t)=e^{-at}u(t)$, $y(t)=e^{-bt}u(t)$ con $a,b>0$. Supporto $[0,\infty)$. Per $t<0$ è $0$. Per $t>0$ la sovrapposizione è $u\in[0,t]$: $$x*y(t)=\int_0^te^{-au}e^{-b(t-u)}\,du=e^{-bt}\int_0^te^{-(a-b)u}\,du.$$ Se $a\ne b$ l'integrale vale $\frac{1-e^{-(a-b)t}}{a-b}$, quindi $$x*y(t)=\frac{e^{-bt}-e^{-at}}{a-b}\,u(t)\quad(a\neq b),\qquad x*x(t)=t\,e^{-at}u(t)\quad(a=b).$$ Per $a=b$ l'integrando vale $1$ e l'integrale è $t$. Il caso $a=b$ è un limite di quello generale (derivata di $e^{-at}$ rispetto a $a$): il fattore $t$ è tipico di un polo doppio. Si controlla con Laplace in Antitrasformata di Laplace di funzioni razionaliPer antitrasformare una funzione razionale $X(s)=b(s)/a(s)$ si porta in forma propria con la divisione tra polinomi (resto $\to$ $\delta$ e derivate), si scompone in fratti semplici con il metodo dei limiti (poli semplici), con i termini in $1/(s-p)^k$ (poli multipli) o con $\frac{A(s-\sigma)+B\omega}{(s-\sigma)^2+\omega^2}$ (coppie complesse), e si antitrasforma termine a termine scegliendo causale o anticausale secondo la ROC.Antitrasformata di Laplace di funzioni razionali →.

4. Esponenziale e rampa (tema d'esame giugno 2024). $x(t)=e^{-t}u(t)$ e $y(t)=t\,u(t)$. Per $t>0$: $$\int_0^te^{-u}(t-u)\,du=t\int_0^te^{-u}du-\int_0^tue^{-u}du.$$ Il primo integrale è $t(1-e^{-t})$. Per il secondo si integra per parti: $\int_0^tue^{-u}du=[-ue^{-u}]_0^t+\int_0^te^{-u}du=-te^{-t}+1-e^{-t}$. Quindi $$x*y(t)=t-te^{-t}+te^{-t}-1+e^{-t}=t+e^{-t}-1\quad(t>0).$$ Verifica: in $t=0$ vale $0+1-1=0$ (continuità), e la derivata in $0$ è $1-1=0$. Con Laplace: $\frac{1}{s+1}\cdot\frac1{s^2}$, e $\frac{1}{s^2(s+1)}=\frac{-1}{s}+\frac{1}{s^2}+\frac{1}{s+1}$ dà $-1+t+e^{-t}$ ✓.

5. Un rettangolo e un esponenziale (esempio con un caso in più). $h(t)=e^{-t}u(t)$ e $x(t)=\operatorname{rect}\left(\frac{t-1}{2}\right)$, che vale $1$ su $(0,2)$. Supporto del risultato: $[0,\infty)$. Per $t<0$: $0$.

• $0<t<2$: sovrapposizione $u\in[0,t]$ (il ribaltato $h(t-u)$ vive per $u<t$): $\int_0^te^{-(t-u)}du=1-e^{-t}$.
• $t>2$: sovrapposizione $u\in[0,2]$: $\int_0^2e^{-(t-u)}du=e^{-t}(e^2-1)$.

I due rami coincidono in $t=2$: $1-e^{-2}=e^{-t}(e^2-1)|_{t=2}=1-e^{-2}$ ✓. Il segnale cresce finché dura il rettangolo e poi decade con la costante di tempo $1$ dell'esponenziale: è la risposta di un filtro RC a un impulso di tensione.

6. Sinusoide ed esponenziale. $x(t)=A+\cos(2\pi f_0t)$ e $y(t)=e^{-at}u(t)$, $a>0$. Per linearità si convolve ogni termine. Con $\omega_0=2\pi f_0$: $\cos\omega_0t*y=\int_0^\infty e^{-au}\cos(\omega_0(t-u))\,du$. Con la formula di Eulero $\cos\omega_0(t-u)=\Re[e^{j\omega_0t}e^{-j\omega_0u}]$ si trova $\Re\left[e^{j\omega_0t}\cdot\frac{1}{a+j\omega_0}\right]=\frac{1}{\sqrt{a^2+\omega_0^2}}\cos\left(\omega_0t-\arctan\frac{\omega_0}a\right)$. La costante dà $A\int_0^\infty e^{-au}du=\frac Aa$. Quindi $x*y(t)=\frac Aa+\frac{1}{\sqrt{a^2+\omega_0^2}}\cos\left(\omega_0t-\arctan\frac{\omega_0}{a}\right)$. È il caso "a regime": l'uscita contiene solo costante e sinusoide alla stessa frequenza, con ampiezza e fase modificate (si ritroverà in Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidaleGli esponenziali complessi $e^{j\omega t}$ sono autofunzioni dei sistemi LTI stabili: escono moltiplicati per la risposta in frequenza $H(\omega)=\int h(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau$. Per un sistema reale, $A\cos(\omega_0t+\varphi)$ esce come $A|H(\omega_0)|\cos(\omega_0t+\varphi+\arg H(\omega_0))$: la frequenza non cambia, cambiano ampiezza e fase.Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidale →).

7. Caso discreto. $u(n)*\left(\frac12\right)^nu(n)=\sum_{k=0}^{n}\left(\frac12\right)^{k}=\frac{1-(1/2)^{n+1}}{1-1/2}=2-\left(\frac12\right)^n$ per $n\ge0$ (e $0$ per $n<0$): è la somma corrente di un esponenziale, tende a $2$ (l'area di $(1/2)^n$). I primi valori sono $1,\frac32,\frac74,\frac{15}8,\ldots$

Proprietà

Per segnali per cui le convoluzioni esistono:

Dimostrazione della regola dell'area. $\int(x*y)(t)\,dt=\int\!\!\int x(u)y(t-u)\,du\,dt$; scambiando l'ordine di integrazione e ponendo $v=t-u$: $\int x(u)\left[\int y(v)\,dv\right]du=A_y\,A_x$. È un modo rapidissimo di controllare un risultato: per l'esempio 2, area $2\cdot1=2$; per l'esempio 4 non vale (le aree sono infinite).

Conseguenze utili. Per la traslazione, convolvere segnali già traslati somma i ritardi: $\operatorname{rect}\left(\frac{t-3}{2}\right)*\operatorname{rect}\left(\frac{t+1}{4}\right)=\left(\operatorname{rect}\left(\frac t2\right)*\operatorname{rect}\left(\frac t4\right)\right)(t-2)$, cioè ritardo di $3-1=2$. Per la commutatività si può sempre scegliere quale dei due segnali ribaltare. Con la regola del neutro, $x*\delta(\cdot-t_0)=x(\cdot-t_0)$: convolvere con una somma di impulsi dà una somma di copie traslate: per esempio $x*[\delta(t+1)+2\delta(t)-\delta(t-3)]=x(t+1)+2x(t)-x(t-3)$.

Convoluzione con segnali periodici

• Aperiodico $*$ periodico. Se $y$ ha periodo $T_p$ e $x$ è assolutamente integrabile, $x*y$ è periodico di periodo $T_p$: $(x*y)(t+T_p)=\int x(u)y(t+T_p-u)du=\int x(u)y(t-u)du$. Nel discreto: aperiodico $*$ periodico di periodo $N$ dà periodico di periodo $N$. Ed è proprio la situazione di un sistema LTI stabile con ingresso periodico (Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodicoLe proprietà della serie di Fourier (linearità, ribaltamento, coniugio, ritardo $\to$ fattore $e^{-jk\omega_0t_1}$, modulazione $\to$ traslazione dei coefficienti, derivata $\to$ fattore $jk\omega_0$, Parseval $P=\sum|a_k|^2$, convoluzione periodica $\to$ prodotto) permettono di calcolare i coefficienti senza integrare. Un LTI stabile con ingresso periodico produce uscita periodica con coefficienti $b_k=H(k\omega_0)a_k$.Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodico →).
• Periodico $*$ periodico (stesso periodo): l'integrale su $\mathbb{R}$ diverge. Si usa la convoluzione periodica, con l'integrale limitato a un periodo, $\int_{T_p}x(u)y(t-u)\,du$. Ha le stesse proprietà, ma l'elemento neutro è il pettine $\operatorname{comb}_{T_p}$ (non la $\delta$). Nel discreto è la convoluzione circolare (Trasformata di Fourier discreta (TFD)La TFD è la serie di Fourier dei segnali discreti periodici di periodo $N$: servono solo $N$ armoniche, $X(k)=\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j2\pi kn/N}$ e $x(n)=\sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{j2\pi kn/N}$. È un prodotto matrice-vettore in $\mathbb{C}^N$ (la matrice di Fourier); la convoluzione circolare diventa prodotto, $N X(k)Y(k)$. La FFT la calcola in $O(N\log N)$.Trasformata di Fourier discreta (TFD) →).

Errori comuni

• Dimenticare di individuare tutti i casi (scambiare i due segnali non cambia il risultato, ma può semplificare i conti);
• Usare gli estremi di integrazione sbagliati: il ribaltato $y(t-u)$ è non nullo per $u\in[t-T_y,t-t_y]$;
• Non verificare la continuità tra i rami e il supporto;
• Applicare la regola dell'area quando le aree sono infinite.