Serie di Fourier - coefficienti di segnali notevoli

In questa nota si calcolano con la formula di analisi (Serie di Fourier - analisi e sintesiUn segnale periodico di periodo $T$ si scrive come somma di esponenziali in relazione armonica, $x(t)=\sum_ka_ke^{jk\omega_0t}$ con $\omega_0=2\pi/T$, e i coefficienti si ottengono per proiezione, $a_k=\frac1T\int_Tx(t)e^{-jk\omega_0t}dt$. L'ortogonalità degli esponenziali dà la formula; la convergenza è in media quadratica (Riesz-Fischer), con il fenomeno di Gibbs nei salti.Serie di Fourier - analisi e sintesi →) i coefficienti dei segnali periodici che compaiono in tutti gli esercizi. Conviene impararli come una piccola tabella, ma soprattutto conoscere i metodi: (1) segnali trigonometrici: si legge con Eulero, senza integrali; (2) segnali a tratti: integrale diretto o derivata generalizzata; (3) segnali ottenuti dai precedenti con le proprietà (Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodicoLe proprietà della serie di Fourier (linearità, ribaltamento, coniugio, ritardo $\to$ fattore $e^{-jk\omega_0t_1}$, modulazione $\to$ traslazione dei coefficienti, derivata $\to$ fattore $jk\omega_0$, Parseval $P=\sum|a_k|^2$, convoluzione periodica $\to$ prodotto) permettono di calcolare i coefficienti senza integrare. Un LTI stabile con ingresso periodico produce uscita periodica con coefficienti $b_k=H(k\omega_0)a_k$.Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodico →).

1. Costante e sinusoidi: si leggono senza integrare

Se il segnale è già una combinazione di esponenziali, i coefficienti sono i coefficienti degli esponenziali, una volta scelto $\omega_0$ tale che tutte le pulsazioni siano multiple di $\omega_0$.

• Costante $x(t)=c$: $a_0=c$, tutti gli altri nulli.
• $x(t)=A\cos(\omega_0t+\varphi_0)$: per Eulero $=\frac A2e^{j\varphi_0}e^{j\omega_0t}+\frac A2e^{-j\varphi_0}e^{-j\omega_0t}$, quindi $a_1=\frac A2e^{j\varphi_0}$, $a_{-1}=\frac A2e^{-j\varphi_0}$, altri nulli.

Esempio: periodicità e coefficienti di $x(t)=A\sin\left(\frac{\pi t}\Delta\right)+A\cos^2\left(\frac{2\pi t}{3\Delta}\right)$. Il periodo comune è $T=6\Delta$ (Segnali periodici, sinusoidi ed esponenziali immaginari puriUn segnale continuo è periodico di periodo T se x(t+T)=x(t); $e^{j2\pi f_0t}$ ha periodo minimo $1/|f_0|$ e una somma di periodici è periodica solo se il rapporto dei periodi è razionale. A tempo discreto $e^{j2\pi\nu n}$ è periodico solo se $\nu$ è razionale, e le pulsazioni che differiscono di $2\pi$ sono lo stesso segnale: ogni sinusoide si riporta alla forma canonica con $\omega\in[0,\pi]$.Segnali periodici, sinusoidi ed esponenziali immaginari puri →), quindi $\omega_0=\frac{2\pi}{6\Delta}=\frac{\pi}{3\Delta}$. Il primo termine ha pulsazione $\frac{\pi}{\Delta}=3\omega_0$; $\cos^2\left(\frac{2\pi t}{3\Delta}\right)=\frac12+\frac12\cos\left(\frac{4\pi t}{3\Delta}\right)$ e $\frac{4\pi}{3\Delta}=4\omega_0$. Scrivendo con Eulero: $$x(t)=\frac A{2j}e^{j3\omega_0t}-\frac{A}{2j}e^{-j3\omega_0t}+\frac A2+\frac A4e^{j4\omega_0t}+\frac A4e^{-j4\omega_0t}.$$ Quindi $a_0=\frac A2$, $a_3=\frac{A}{2j}=-\frac{jA}2$, $a_{-3}=\frac{jA}{2}$, $a_{\pm4}=\frac A4$, tutti gli altri nulli.

2. Il pettine periodico

$x(t)=\operatorname{comb}_T(t)=\sum_k\delta(t-kT)$. Nel periodo $[-\frac T2,\frac T2]$ c'è un solo impulso in $t=0$: $$a_k=\frac1T\int_{-T/2}^{T/2}\delta(t)\,e^{-jk\omega_0t}\,dt=\frac1T\,e^{0}=\frac1T\quad\forall k.$$ Tutte le armoniche hanno la stessa ampiezza $\frac1T$: il pettine contiene "tutte le frequenze allo stesso modo" (un impulso contiene tutte le frequenze: si veda anche Trasformata di Fourier di segnali periodici e generalizzatiCon le delta di Dirac in frequenza si trasformano anche segnali non integrabili: $1\leftrightarrow2\pi\delta(\omega)$, $e^{j\omega_0t}\leftrightarrow2\pi\delta(\omega-\omega_0)$, $\cos\omega_0t\leftrightarrow\pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]$, $u(t)\leftrightarrow\pi\delta(\omega)+\frac1{j\omega}$. Un segnale periodico con coefficienti $a_k$ ha spettro a righe $2\pi\sum a_k\delta(\omega-k\omega_0)$: la periodizzazione nel tempo è un campionamento in frequenza.Trasformata di Fourier di segnali periodici e generalizzati →). Il valor medio vale $a_0=\frac1T$ (area $1$ per periodo).

3. Onda quadra con duty cycle qualsiasi

$x(t)=\operatorname{rep}_T\operatorname{rect}\left(\frac{t}{2a}\right)$: impulsi rettangolari di ampiezza $1$ e durata $2a$, ripetuti con periodo $T$. Il duty cycle è la frazione di periodo in cui il segnale è attivo, $d=\frac{2a}{T}$. Con $\omega_0=\frac{2\pi}T$ e integrando su $[-\frac T2,\frac T2]$ (dove il segnale vale $1$ solo in $|t|<a$): $$a_k=\frac1T\int_{-a}^{a}e^{-jk\omega_0t}dt=\frac1T\cdot\frac{e^{jk\omega_0a}-e^{-jk\omega_0a}}{jk\omega_0}=\frac1T\cdot\frac{2\sin(k\omega_0a)}{k\omega_0}\quad(k\ne0).$$ Si porta $2a$ fuori e si ricostruisce un sinc: $\frac{2\sin(k\omega_0a)}{T\,k\omega_0}=\frac{2a}{T}\cdot\frac{\sin(k\omega_0a)}{k\omega_0a}$. Con $k\omega_0a=k\frac{2\pi a}T=\pi kd$ il rapporto è $\frac{\sin\pi kd}{\pi kd}=\operatorname{sinc}(kd)$:

$$\boxed{a_k=d\,\operatorname{sinc}(kd)=\frac{2a}T\operatorname{sinc}\left(\frac{2ak}{T}\right)}\quad(\text{vale anche per }k=0:\ a_0=d).$$

Le armoniche si annullano quando $kd$ è un intero non nullo.

Esempi numerici.

• $T=2$, $a=\frac12$ ($d=\frac12$): $a_k=\frac12\operatorname{sinc}\left(\frac k2\right)$ (esempio della nota precedente).
• $T=4$, $x=\operatorname{rep}_4\operatorname{rect}\left(\frac t2\right)$ ($a=1$, $d=\frac12$): $a_k=\frac12\operatorname{sinc}\left(\frac{k}{2}\right)$; $a_0=\frac12$, $a_{\pm1}=\frac1\pi$, $a_{\pm2}=0$, $a_{\pm3}=-\frac1{3\pi}$ (tema d'esame febbraio 2026, Esercizio 13 · onda quadra attraverso un filtro passa-basso ideale (tema d'esame febbraio 2026), con $\omega_0=\frac\pi2$).
• $T=3$, $x=\operatorname{rep}_3\operatorname{rect}\left(\frac t2\right)$: $d=\frac23$, $a_k=\frac23\operatorname{sinc}\left(\frac{2k}3\right)$ (Esercizio 14 · segnale periodico determinato da condizioni sui coefficienti (tema d'esame aprile 2024)).

Effetto del duty cycle. Se $d$ diminuisce (impulsi più stretti) i coefficienti decadono più lentamente: i primi zeri sono in $k=\frac1d$, cioè lo spettro si allarga. Al limite ($a\to0$ con area $2a\cdot\frac{1}{2a}=1$) si ritrova il pettine, con tutti i coefficienti uguali. È la riprova che un segnale breve nel tempo ha spettro largo (e viceversa).

4. Coseno rettificato

$x(t)=|\cos(\pi t)|$. Il coseno ha periodo $2$, ma il valore assoluto "ribalta" le semionde negative: il periodo diventa $T=1$ ($|\cos\pi(t+1)|=|-\cos\pi t|$) e $\omega_0=2\pi$. Su $[-\frac12,\frac12]$ vale $x=\cos(\pi t)\ge0$:

$$a_k=\int_{-1/2}^{1/2}\cos(\pi t)\,e^{-j2\pi kt}dt=\frac12\int_{-1/2}^{1/2}\left[e^{-j2\pi t(k-\frac12)}+e^{-j2\pi t(k+\frac12)}\right]dt.$$ Per l'integrale esponenziale (Numeri complessi, formula di Eulero ed esponenziali complessiUn numero complesso si scrive in forma cartesiana a+jb o polare |x|e^{jφ}; il prodotto moltiplica i moduli e somma le fasi. La formula di Eulero e^{jα}=cos α + j sin α lega esponenziali e sinusoidi e permette di trattare tutti i segnali del corso come somme di esponenziali complessi e^{(σ+jω)t}.Numeri complessi, formula di Eulero ed esponenziali complessi →): $\int_{-1/2}^{1/2}e^{-j2\pi t\beta}dt=\frac{e^{j\pi\beta}-e^{-j\pi\beta}}{j2\pi\beta}=\frac{\sin\pi\beta}{\pi\beta}=\operatorname{sinc}(\beta)$. Quindi $$a_k=\frac12\left[\operatorname{sinc}\left(k-\tfrac12\right)+\operatorname{sinc}\left(k+\tfrac12\right)\right].$$ Si può semplificare: $\operatorname{sinc}(k-\frac12)=\frac{\sin(\pi k-\pi/2)}{\pi(k-\frac12)}=\frac{-\cos\pi k}{\pi(k-\frac12)}=-\frac{(-1)^k}{\pi(k-\frac12)}$ e $\operatorname{sinc}(k+\frac12)=\frac{\sin(\pi k+\pi/2)}{\pi(k+\frac12)}=\frac{(-1)^k}{\pi(k+\frac12)}$. Sommando: $$a_k=\frac{(-1)^k}{2\pi}\left[\frac{1}{k+\frac12}-\frac1{k-\frac12}\right]=\frac{(-1)^k}{2\pi}\cdot\frac{-1}{k^2-\frac14}=\frac{2\,(-1)^{k+1}}{\pi\,(4k^2-1)}.$$ Valori: $a_0=\frac2\pi\approx0{,}637$ (è il valor medio di $|\cos|$), $a_{\pm1}=\frac{2}{3\pi}\approx0{,}212$, $a_{\pm2}=-\frac{2}{15\pi}\approx-0{,}042$, $a_{\pm3}=\frac2{35\pi}\approx0{,}018$. Il decadimento è come $\frac1{k^2}$: più rapido dell'onda quadra, perché $|\cos|$ è continua (ha solo spigoli, non salti). Questi valori sono stati verificati con integrazione numerica.

5. Dente di sega e onda triangolare

Dente di sega $x(t)=t$ per $|t|<1$, periodo $T=2$ ($\omega_0=\pi$): è dispari. Con l'integrazione per parti, $\int_{-1}^{1}te^{-jk\pi t}dt=\left[\frac{te^{-jk\pi t}}{-jk\pi}\right]_{-1}^1+\frac{1}{jk\pi}\int_{-1}^{1}e^{-jk\pi t}dt$, e l'ultimo integrale è nullo (numero intero di giri); resta $\frac{e^{-jk\pi}+e^{jk\pi}}{-jk\pi}=\frac{2(-1)^k}{-jk\pi}=\frac{2j(-1)^k}{k\pi}$. Dividendo per $T=2$: $$a_k=\frac{j(-1)^k}{k\pi}\quad(k\ne0),\qquad a_0=0.$$ I coefficienti sono immaginari e dispari (segnale reale e dispari). Il decadimento $\frac1k$ è quello tipico di un salto.

Metodo della derivata (più veloce per i segnali lineari a tratti). Se $b_k$ sono i coefficienti di $x'$ (derivata generalizzata), la derivata moltiplica per $jk\omega_0$ (Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodicoLe proprietà della serie di Fourier (linearità, ribaltamento, coniugio, ritardo $\to$ fattore $e^{-jk\omega_0t_1}$, modulazione $\to$ traslazione dei coefficienti, derivata $\to$ fattore $jk\omega_0$, Parseval $P=\sum|a_k|^2$, convoluzione periodica $\to$ prodotto) permettono di calcolare i coefficienti senza integrare. Un LTI stabile con ingresso periodico produce uscita periodica con coefficienti $b_k=H(k\omega_0)a_k$.Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodico →): $b_k=jk\omega_0a_k$, quindi $a_k=\frac{b_k}{jk\omega_0}$ per $k\ne0$ (il valor medio $a_0$ va calcolato a parte: la derivata lo perde). Per il dente di sega: $x'(t)=1-2\operatorname{comb}_2(t-1)$ (pendenza $1$ e un salto di $-2$ nei multipli dispari di 1). I coefficienti di $\operatorname{comb}_2(t-1)$ sono $\frac12e^{-jk\pi\cdot1}=\frac12(-1)^k$, quindi $b_k=-(-1)^k$ per $k\ne0$ e $a_k=\frac{-(-1)^k}{jk\pi}=\frac{j(-1)^k}{k\pi}$ ✓.

Onda triangolare $x(t)=\operatorname{rep}_T\Lambda\left(\frac{2t}T\right)$ (triangoli di altezza $1$ e base $T$ che si toccano): valor medio $\frac12$ e $$a_k=\frac12\operatorname{sinc}^2\left(\frac k2\right):\quad a_0=\tfrac12,\ a_{\pm1}=\tfrac2{\pi^2}\approx0{,}203,\ a_{\pm2}=0,\ a_{\pm3}=\tfrac{2}{9\pi^2}\approx0{,}0225.$$ (Verificato numericamente.) Derivando una volta si ottiene un'onda quadra ±, derivando due volte due pettini: decadimento $\frac1{k^2}$.

Tabella riassuntiva

Errori comuni

• Scegliere il periodo sbagliato: per $|\cos(\pi t)|$ il periodo è $1$, non $2$.
• Perdere il valor medio quando si usa il metodo della derivata.
• Dimenticare di ricostruire il sinc con il giusto fattore: $a_k=d\operatorname{sinc}(kd)$, non $\operatorname{sinc}(kd)$.
• Per le sinusoidi, dimenticare il fattore $\frac12$ ($\cos=\frac12e^{j}+\frac12e^{-j}$).