Proprietà della trasformata di Fourier

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Con $x(t)\leftrightarrow X(\omega)$ si indica la coppia segnale-trasformata (Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempi). Le proprietà qui sotto, insieme a poche coppie base, permettono di trovare quasi tutte le trasformate senza integrare. Sono le stesse viste per la serie di Fourier (Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodico), con una proprietà in più: la scala (che nella serie non esiste perché il periodo è fissato) e la dualità.

Tabella delle proprietà

Proprietà	Segnale	Trasformata
linearità	$\alpha x+\beta y$	$\alpha X+\beta Y$
ribaltamento	$x(-t)$	$X(-\omega)$
coniugio	$x^*(t)$	$X^*(-\omega)$
ritardo	$x(t-t_0)$	$X(\omega)\,e^{-j\omega t_0}$
modulazione	$x(t)\,e^{j\omega_0t}$	$X(\omega-\omega_0)$
scala ( $a\ne0$ )	$x(at)$	$\frac1{\lvert a\rvert}X\left(\frac\omega a\right)$
dualità	$X(t)$	$2\pi\,x(-\omega)$
convoluzione	$x*y$	$X\,Y$
prodotto	$x\,y$	$\frac1{2\pi}X*Y$
derivata	$x'(t)$	$j\omega X(\omega)$
prodotto per $t$	$t\,x(t)$	$j\,\dfrac{dX}{d\omega}$
integrazione	$\int_{-\infty}^tx$	$\dfrac{X(\omega)}{j\omega}+\pi X(0)\delta(\omega)$
area	$\int x$	$X(0)$
valore in $0$	$x(0)$	$\frac1{2\pi}\int X(\omega)d\omega$
Parseval-Plancherel	$E_x=\int\lvert x\rvert^2$	$\frac1{2\pi}\int\lvert X\rvert^2d\omega$

Dimostrazioni

Tutte seguono dalla definizione $X(\omega)=\int x(t)e^{-j\omega t}dt$ con un cambio di variabile.

Ribaltamento. Con $u=-t$ : $\int x(-t)e^{-j\omega t}dt=\int x(u)e^{j\omega u}du=X(-\omega)$ .
Coniugio. $\int x^*(t)e^{-j\omega t}dt=\left[\int x(t)e^{j\omega t}dt\right]^*=X^*(-\omega)$ .
Ritardo. Con $u=t-t_0$ : $\int x(u)e^{-j\omega(u+t_0)}du=e^{-j\omega t_0}X(\omega)$ . Il ritardo non cambia $|X|$ e aggiunge una fase lineare $-\omega t_0$ .
Modulazione. $\int x(t)e^{j\omega_0t}e^{-j\omega t}dt=\int x(t)e^{-j(\omega-\omega_0)t}dt=X(\omega-\omega_0)$ . Moltiplicare per $e^{j\omega_0t}$ trasla lo spettro a destra di $\omega_0$ . Ritardo e modulazione sono operazioni duali. Per un coseno: $x(t)\cos(\omega_0t)\leftrightarrow\frac12\left[X(\omega-\omega_0)+X(\omega+\omega_0)\right]$ : lo spettro si sdoppia, due copie dimezzate centrate in $\pm\omega_0$ .
Scala. Con $u=at$ ( $a>0$ ): $\int x(at)e^{-j\omega t}dt=\frac1a\int x(u)e^{-j(\omega/a)u}du=\frac1aX\left(\frac\omega a\right)$ . Comprimere nel tempo ( $a>1$ ) dilata lo spettro e ne riduce l'altezza (durata e banda inversamente proporzionali). In particolare $x\left(\frac tT\right)\leftrightarrow|T|\,X(T\omega)$ .
Convoluzione. $\int\!\!\int x(u)y(t-u)du\,e^{-j\omega t}dt$ ; con $v=t-u$ : $\int x(u)e^{-j\omega u}du\cdot\int y(v)e^{-j\omega v}dv=XY$ . È la ragione per cui la TF semplifica lo studio dei filtri: l'uscita $y=h*x$ ha $Y(\omega)=H(\omega)X(\omega)$ .
Prodotto. Per dualità, la TF di un prodotto è la convoluzione delle trasformate con il fattore $\frac1{2\pi}$ .
Area e $x(0)$ . Basta porre $\omega=0$ nell'analisi e $t=0$ nella sintesi.
Parseval-Plancherel. $E_x=\int x\,x^*\,dt=\frac1{2\pi}\int X(\omega)X^*(\omega)d\omega$ (si sostituisce la sintesi di $x^*$ e si scambiano gli integrali). La funzione $\frac{|X(\omega)|^2}{2\pi}$ è la densità spettrale di energia: l'energia si può calcolare indifferentemente nel tempo o in frequenza.
Derivata. Derivando la sintesi $x(t)=\frac1{2\pi}\int Xe^{j\omega t}d\omega$ rispetto a $t$ si moltiplica l'integrando per $j\omega$ . Vale per le derivate generalizzate (Delta di Dirac e derivate generalizzate): $\delta'\leftrightarrow j\omega$ .
Prodotto per $t$ . Derivando l'analisi rispetto a $\omega$ : $\frac{dX}{d\omega}=\int x(t)(-jt)e^{-j\omega t}dt=-j\,\mathcal F[tx]$ , quindi $\mathcal F[tx]=j\frac{dX}{d\omega}$ . Una moltiplicazione per $t$ nel tempo diventa una derivazione in frequenza, ed è la proprietà duale della derivata.
Integrazione. $\int_{-\infty}^tx=x*u$ , e $u\leftrightarrow\pi\delta(\omega)+\frac1{j\omega}$ ; per la convoluzione $\leftrightarrow X(\omega)\left[\pi\delta(\omega)+\frac1{j\omega}\right]=\pi X(0)\delta(\omega)+\frac{X(\omega)}{j\omega}$ (il prodotto $X(\omega)\delta(\omega)=X(0)\delta(\omega)$ per la proprietà rivelatrice). Se l'area $X(0)$ è nulla resta solo $\frac{X}{j\omega}$ .
Dualità. La sintesi $x(t)=\frac1{2\pi}\int X(\omega)e^{j\omega t}d\omega$ scambiando i nomi $t\leftrightarrow\omega$ dice che $X(t)$ ha trasformata $2\pi x(-\omega)$ . Esempio: da $\operatorname{rect}(t)\leftrightarrow\operatorname{sinc}\left(\frac\omega{2\pi}\right)$ segue $\operatorname{sinc}\left(\frac t{2\pi}\right)\leftrightarrow2\pi\operatorname{rect}(-\omega)=2\pi\operatorname{rect}(\omega)$ ; con la proprietà di scala $\operatorname{sinc}(t)\leftrightarrow\operatorname{rect}\left(\frac\omega{2\pi}\right)$ ✓. Tempo e frequenza sono simmetrici: troncare nel tempo ( $\operatorname{rect}$ ) dà un $\operatorname{sinc}$ in frequenza e viceversa.

Simmetrie

Da ribaltamento e coniugio:

Segnale $x(t)$	Trasformata $X(\omega)$
reale	hermitiana: $X(-\omega)=X^*(\omega)$ ( $\lvert X\rvert$ pari, $\arg X$ dispari)
pari	pari
dispari	dispari
reale e pari	reale e pari
reale e dispari	immaginaria pura e dispari
immaginaria pura e pari	immaginaria pura e pari
immaginaria pura e dispari	reale e dispari

Esempio di uso: lo spettro di $e^{-a|t|}$ (reale e pari) è reale e pari ✓. La trasformata di un segnale reale si descrive con la sola semiretta $\omega\ge0$ . La sintesi di un segnale reale si può scrivere in forma trigonometrica: $x(t)=\frac1\pi\int_0^\infty|X(\omega)|\cos(\omega t+\arg X(\omega))\,d\omega$ .

Esempi d'uso

1. Il sinc quadro. $\operatorname{sinc}^2(t)=\operatorname{sinc}(t)\cdot\operatorname{sinc}(t)$ . Per il prodotto: $\frac1{2\pi}\operatorname{rect}\left(\frac\omega{2\pi}\right)*\operatorname{rect}\left(\frac\omega{2\pi}\right)$ . Il prodotto di convoluzione di due rettangoli di base $2\pi$ è un triangolo di base $4\pi$ e altezza $2\pi$ (Calcolo della convoluzione e sue proprietà): $2\pi\,\Lambda\left(\frac\omega{2\pi}\right)$ . Quindi $\operatorname{sinc}^2(t)\leftrightarrow\Lambda\left(\frac\omega{2\pi}\right)$ , e con la scala $\operatorname{sinc}^2\left(\frac tT\right)\leftrightarrow T\Lambda\left(\frac{T\omega}{2\pi}\right)$ (triangolo con supporto $|\omega|<\frac{2\pi}T$ ).

2. Il segnale $e^{-at}u(t)$ convoluto con sé stesso. $x*x\leftrightarrow\frac{1}{(a+j\omega)^2}$ . Dal prodotto per $t$ : $\mathcal F[t\,e^{-at}u]=j\frac d{d\omega}\frac1{a+j\omega}=j\cdot\frac{-j}{(a+j\omega)^2}=\frac1{(a+j\omega)^2}$ . Quindi $x*x=t\,e^{-at}u(t)$ , in accordo con il calcolo diretto (Calcolo della convoluzione e sue proprietà). Verificato numericamente.

3. Modulazione doppia banda laterale. $s(t)=x(t)\cos(\omega_0t)$ con $x(t)=\operatorname{rect}(t)$ : $S(\omega)=\frac12\operatorname{sinc}\left(\frac{\omega-\omega_0}{2\pi}\right)+\frac12\operatorname{sinc}\left(\frac{\omega+\omega_0}{2\pi}\right)$ (per $\omega_0\gg2\pi$ i due sinc si sovrappongono poco). Vedi Filtri, modulazione e trasmissione AM.

4. Area ed energia del sinc. $\operatorname{sinc}\leftrightarrow\operatorname{rect}\left(\frac\omega{2\pi}\right)$ , quindi l'area è $X(0)=1$ e l'energia $E=\frac1{2\pi}\int\operatorname{rect}^2\left(\frac\omega{2\pi}\right)d\omega=\frac1{2\pi}\cdot2\pi=1$ . Per $\operatorname{sinc}^3$ , che non ha trasformata elementare: l'area è $X(0)$ con $X=\mathcal F[\operatorname{sinc}\cdot\operatorname{sinc}^2]=\frac1{2\pi}\operatorname{rect}\left(\frac\omega{2\pi}\right)*\Lambda\left(\frac\omega{2\pi}\right)$ e, con $\omega=2\pi v$ , $X(0)=\int_{-1/2}^{1/2}\Lambda(v)dv=1-2\int_0^{1/2}v\,dv=1-\frac14=\frac34$ . (La stima numerica dell'integrale di $\operatorname{sinc}^3$ dà $0{,}7500$ .)

5. Energie con Parseval (tema d'esame giugno 2023). $x(t)=a_1\operatorname{sinc}\left(\frac t{T_1}\right)$ ha $X(\omega)=a_1T_1\operatorname{rect}\left(\frac{T_1\omega}{2\pi}\right)$ , di altezza $a_1T_1$ e supporto $|\omega|<\frac\pi{T_1}$ . $E_x=\frac1{2\pi}\int|X|^2=\frac1{2\pi}a_1^2T_1^2\cdot\frac{2\pi}{T_1}=a_1^2T_1$ . Per $e^{-t}u(t)$ : $E=\frac1{2\pi}\int\frac{d\omega}{1+\omega^2}=\frac1{2\pi}\cdot\pi=\frac12$ ✓ come nel dominio del tempo.

6. Calcolo della TF con la derivata generalizzata (tema d'esame giugno 2025, Esercizio 4 · derivata generalizzata e trasformata di un segnale a tratti (tema d'esame giugno 2025)). Per un segnale lineare a tratti conviene derivare finché compaiono solo impulsi e rettangoli. Se $y=x'$ si ha $Y=j\omega X$ e quindi $X(\omega)=\frac{Y(\omega)}{j\omega}$ , più il termine $\pi Y(0)\delta(\omega)$ (si usa la regola di integrazione con $Y(0)=\int x'=x(+\infty)-x(-\infty)$ ; se $x\to0$ ai due estremi il termine è nullo). Per $x(t)$ che vale $t+1$ su $(-1,0)$ , $1$ su $(0,1)$ , nullo altrove, e $x'=\operatorname{rect}(t+\frac12)-\delta(t-1)$ , $Y(\omega)=\operatorname{sinc}\left(\frac\omega{2\pi}\right)e^{j\omega/2}-e^{-j\omega}$ , $Y(0)=1-1=0$ : $X(\omega)=\frac{\operatorname{sinc}\left(\frac\omega{2\pi}\right)e^{j\omega/2}-e^{-j\omega}}{j\omega}.$ (Controllo numerico in $\omega=1{,}3$ : integrazione diretta e formula danno entrambe $1{,}17463-0{,}36438j$ .)

7. Derivata in frequenza e identificazione di un sistema (tema d'esame settembre 2025). Siano $h(t)=ae^{-bt}u(t)$ , $x(t)=ce^{-ct}u(t)$ e $y(t)=t\,x(t)$ con $a,b,c>0$ . Le trasformate sono $H(\omega)=\frac a{b+j\omega}$ e $X(\omega)=\frac c{c+j\omega}$ (esempio 2 di Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempi). Poiché $y=t\,x$ ed $x\in L^1$ con $t\,x\in L^1$ (decade esponenzialmente), la regola del prodotto per $t$ dà $Y(\omega)=j\frac{dX}{d\omega}=j\cdot c\cdot\frac{-j}{(c+j\omega)^2}=\frac c{(c+j\omega)^2}.$ Un sistema LTI con risposta impulsiva $h$ produce $y$ da $x$ se $H(\omega)X(\omega)=Y(\omega)$ per ogni $\omega$ : $\frac a{b+j\omega}\cdot\frac c{c+j\omega}=\frac c{(c+j\omega)^2}\ \Longleftrightarrow\ \frac a{b+j\omega}=\frac1{c+j\omega}\ \Longleftrightarrow\ a=1,\ b=c.$ Controllo nel tempo: con $h=e^{-ct}u(t)$ e $x=ce^{-ct}u(t)$ la convoluzione vale $c\,t\,e^{-ct}u(t)=t\,x(t)$ ✓ (Calcolo della convoluzione e sue proprietà, caso $a=b$ dei due esponenziali).

Errori comuni

Scrivere $X(\omega-\omega_0)$ per il ritardo (è la modulazione) e $e^{-j\omega t_0}$ per la modulazione.
Dimenticare il valore assoluto nella scala: per $a<0$ il fattore è $\frac1{|a|}$ .
Dimenticare il fattore $2\pi$ nel prodotto (convoluzione in frequenza con $\frac1{2\pi}$ ) e nella dualità.
Usare la regola di integrazione senza il termine $\pi X(0)\delta(\omega)$ quando l'area è non nulla.
Applicare Parseval senza il fattore $\frac1{2\pi}$ .

Versione ripasso

Tabella ( $x\leftrightarrow X$ ): linearità; $x(-t)\to X(-\omega)$ ; $x^*\to X^*(-\omega)$ ; ritardo $x(t-t_0)\to Xe^{-j\omega t_0}$ ; modulazione $xe^{j\omega_0t}\to X(\omega-\omega_0)$ , $x\cos\omega_0t\to\frac12[X(\omega-\omega_0)+X(\omega+\omega_0)]$ ; scala $x(at)\to\frac1{|a|}X(\frac\omega a)$ ; dualità $X(t)\to2\pi x(-\omega)$ ; $x*y\to XY$ ; $xy\to\frac1{2\pi}X*Y$ ; $x'\to j\omega X$ ; $tx\to jX'$ ; $\int_{-\infty}^tx\to\frac{X}{j\omega}+\pi X(0)\delta(\omega)$ ; area $=X(0)$ ; $x(0)=\frac1{2\pi}\int X$ ; $E=\frac1{2\pi}\int|X|^2$ .
Simmetrie: reale $\to$ hermitiana; pari $\to$ pari; reale e pari $\to$ reale e pari; reale e dispari $\to$ immaginaria e dispari.
Esempi: $\operatorname{sinc}^2\frac tT\leftrightarrow T\Lambda\frac{T\omega}{2\pi}$ (prodotto $\to$ convoluzione di due rect); $te^{-at}u\leftrightarrow\frac1{(a+j\omega)^2}$ ; $\operatorname{sinc}$ : area 1, energia 1; $\operatorname{sinc}^3$ : area $\frac34$ ; $a_1\operatorname{sinc}\frac t{T_1}$ : $E=a_1^2T_1$ ; $e^{-t}u$ : $E=\frac12$ .
Derivata generalizzata: $X=\frac{Y}{j\omega}$ (+ $\pi Y(0)\delta(\omega)$ ) con $Y=\mathcal F[x']$ . Es.: $x'=\operatorname{rect}(t+\frac12)-\delta(t-1)\Rightarrow X=\frac{\operatorname{sinc}(\frac\omega{2\pi})e^{j\omega/2}-e^{-j\omega}}{j\omega}$ (Esercizio 4 · derivata generalizzata e trasformata di un segnale a tratti (tema d'esame giugno 2025)).
Errori: ritardo e modulazione scambiati; $|a|$ nella scala; $2\pi$ in prodotto, dualità e Parseval; termine $\pi X(0)\delta$ perso. Vedi Trasformata di Fourier di segnali periodici e generalizzati.