Esercizio 17modulazione e demodulazione con errore di fase (tema d'esame gennaio 2026)

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Teoria usata: Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempiLa trasformata di Fourier $X(\omega)=\int x(t)e^{-j\omega t}dt$ estende la serie ai segnali aperiodici; si inverte con $x(t)=\frac1{2\pi}\int X(\omega)e^{j\omega t}d\omega$. Esiste per $x\in L^1$ (e per $x\in L^2$ in senso quadratico). Coppie fondamentali: $e^{-at}u\leftrightarrow\frac1{a+j\omega}$, $e^{-a|t|}\leftrightarrow\frac{2a}{a^2+\omega^2}$, $\operatorname{rect}(t)\leftrightarrow\operatorname{sinc}\frac\omega{2\pi}$, $\operatorname{sinc}(t)\leftrightarrow\operatorname{rect}\frac\omega{2\pi}$.Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempi →, Proprietà della trasformata di FourierCon le proprietà (linearità, simmetrie, ritardo $\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}$, modulazione $\leftrightarrow$ traslazione in frequenza, scala, dualità, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $E=\frac1{2\pi}\int|X|^2$, derivata $\leftrightarrow j\omega$, moltiplicazione per $t\leftrightarrow j,d/d\omega$, integrazione) quasi tutte le trasformate si ottengono da poche coppie base senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →, Filtri, modulazione e trasmissione AMIn frequenza un filtro LTI moltiplica: $Y(\omega)=H(\omega)X(\omega)$ (serie, parallelo, retroazione diventano $H_1H_2$, $H_1+H_2$, $\frac{H_1}{1+H_1H_2}$). I filtri ideali (passa-basso, passa-alto, passa-banda) hanno $h$ non causale e instabile; il filtro RC è il passa-basso reale. La modulazione $x(t)\cos\omega_0t$ trasla lo spettro in $\pm\omega_0$ e si demodula con la stessa portante e un passa-basso di guadagno 2.Filtri, modulazione e trasmissione AM →.

(1) Il segnale $x(t)$

Si vuole $x$ tale che $X(\omega)=\Lambda\left(\frac\omega{10\pi}\right)$. Dalla coppia $\operatorname{sinc}^2\left(\frac tT\right)\leftrightarrow T\Lambda\left(\frac{T\omega}{2\pi}\right)$ (il quadrato del $\operatorname{sinc}$ nel tempo è un triangolo in frequenza, Proprietà della trasformata di FourierCon le proprietà (linearità, simmetrie, ritardo $\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}$, modulazione $\leftrightarrow$ traslazione in frequenza, scala, dualità, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $E=\frac1{2\pi}\int|X|^2$, derivata $\leftrightarrow j\omega$, moltiplicazione per $t\leftrightarrow j,d/d\omega$, integrazione) quasi tutte le trasformate si ottengono da poche coppie base senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →): si impone $\frac{T}{2\pi}=\frac1{10\pi}$, cioè $T=\frac15$. Allora $$\operatorname{sinc}^2(5t)\leftrightarrow\frac15\Lambda\left(\frac\omega{10\pi}\right)\quad\Longrightarrow\quad x(t)=5\operatorname{sinc}^2(5t).$$ (Nel testo originale lo si ricava per dualità: $\mathcal F\left[\operatorname{sinc}^2\left(\frac t{2\pi}\right)\right]=2\pi\Lambda(\omega)$ e con la scala $B=10\pi$; si ottiene lo stesso segnale.) Lo spettro ha banda $\omega_M=10\pi$ (supporto $|\omega|<10\pi$).

(2) Il segnale modulato

Con la proprietà di modulazione $x\cos(\omega_0t)\leftrightarrow\frac12\left[X(\omega-\omega_0)+X(\omega+\omega_0)\right]$: $$Y(\omega)=\frac12\Lambda\left(\frac{\omega-\omega_0}{10\pi}\right)+\frac12\Lambda\left(\frac{\omega+\omega_0}{10\pi}\right).$$ Sono due triangoli di altezza $\frac12$ (metà del triangolo originale) e semibase $10\pi$, centrati in $+\omega_0$ e $-\omega_0$. Si sovrappongono solo se $\omega_0<10\pi$: con $\omega_0>20\pi$ (ipotesi del testo, più forte del necessario $\omega_0\ge10\pi$) sono ben separati.

(Nella figura $\omega_0=40\pi\approx125{,}7$: i triangoli occupano $\omega_0\pm31{,}4$.)

(3) Le energie

Parseval: $E=\frac1{2\pi}\int|X(\omega)|^2d\omega$. Per $x$, con $\Lambda$ pari e $u=\frac{\omega}{10\pi}$ ($d\omega=10\pi\,du$): $$E_x=\frac1{2\pi}\int_{-10\pi}^{10\pi}\Lambda^2\left(\frac\omega{10\pi}\right)d\omega=\frac{10\pi}{2\pi}\int_{-1}^{1}(1-|u|)^2du=5\cdot2\int_0^1(1-u)^2du=10\cdot\frac13=\frac{10}3.$$ Per $y$: le due copie sono disgiunte, ciascuna con ampiezza $\frac12$ e spostata in frequenza (lo spostamento non cambia l'energia), quindi $$E_y=\frac1{2\pi}\int|Y|^2d\omega=\frac1{2\pi}\left[\frac14\int|X(\omega-\omega_0)|^2d\omega+\frac14\int|X(\omega+\omega_0)|^2d\omega\right]=\frac14E_x+\frac14E_x=\frac12E_x=\frac12\cdot\frac{10}3=\frac53.$$ (Il quadrato della somma delle due copie è la somma dei quadrati perché le copie non si sovrappongono: i termini misti sono nulli.) La modulazione con un coseno dimezza l'energia. (Verificato numericamente nel tempo: $E_x=3{,}33333$ e $E_y=1{,}66667$.)

(4) Demodulazione sincrona

$$w(t)=y(t)\cos(\omega_0t)=x(t)\cos^2(\omega_0t)=\frac12x(t)+\frac12x(t)\cos(2\omega_0t),$$ usando $\cos^2\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}2$. In frequenza: $$W(\omega)=\frac12X(\omega)+\frac14\left[X(\omega-2\omega_0)+X(\omega+2\omega_0)\right].$$ Lo spettro di ampiezza ha tre triangoli: uno in banda base (centrato in $0$, altezza $\frac12$) e due a $\pm2\omega_0$ (altezza $\frac14$).

Per recuperare esattamente $x$ il filtro passa-basso ideale deve:

• avere guadagno $K=2$, per compensare il fattore $\frac12$ della copia in banda base ($2\cdot\frac12X=X$);
• avere un taglio $\omega_c$ che includa tutta la copia in banda base (supporto $|\omega|<10\pi$) ed escluda le copie a $\pm2\omega_0$ (che iniziano in $2\omega_0-10\pi$): $$10\pi\le\omega_c\le2\omega_0-10\pi.$$ Con $\omega_0>20\pi$ l'intervallo è non vuoto ($2\omega_0-10\pi>30\pi$); anche per $\omega_0\ge10\pi$ lo è. Il segnale recuperato è esattamente $x$.

(5) Errore di fase

$$\hat w_\phi(t)=x(t)\cos(\omega_0t)\cos(\omega_0t+\phi)=\frac12x(t)\left[\cos(\phi)+\cos(2\omega_0t+\phi)\right],$$ usando $\cos a\cos b=\frac12[\cos(a-b)+\cos(a+b)]$ con $a=\omega_0t$, $b=\omega_0t+\phi$ (da cui $\cos(a-b)=\cos(-\phi)=\cos\phi$). Il termine $\frac12x\cos(2\omega_0t+\phi)$ ha lo spettro in $\pm2\omega_0$ e il filtro lo elimina. Resta $\frac12x(t)\cos\phi$, che il guadagno $K=2$ porta a $$z(t)=x(t)\cos\phi.$$ L'energia dell'uscita è $$E[z]=\cos^2\phi\int|x|^2dt=E_x\cos^2\phi=\frac{10}3\cos^2\phi.$$ Valore minimo: $E=0$, ottenuto per $\cos\phi=0$, cioè $\phi=\pm\frac\pi2$ (e i multipli dispari): con le portanti in quadratura il segnale utile scompare completamente. Per $\phi=\frac\pi3$ l'energia è $\frac{10}3\cdot\frac14=\frac56$ (verificato numericamente: $0{,}83333$), per $\phi=0$ vale $\frac{10}3$. Per questo i ricevitori sincroni devono agganciare la fase della portante.

Errori comuni

• Dimenticare il guadagno $K=2$ (l'uscita sarebbe $\frac12x$) o scegliere un taglio troppo alto (gli $\pm2\omega_0$ passerebbero).
• Dire che $E_y=E_x$: la modulazione con un coseno dimezza l'energia.
• Calcolare l'energia dell'errore di fase come $E_x\cos\phi$ invece di $E_x\cos^2\phi$ (l'energia è quadratica nell'ampiezza).
• Dimenticare che per $\phi=\pm\frac\pi2$ l'uscita è identicamente nulla.