Serie di Fourier - analisi e sintesi

L'idea

Si è visto che gli esponenziali complessi $e^{j\omega t}$ attraversano un sistema LTI senza cambiare forma (Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidaleGli esponenziali complessi $e^{j\omega t}$ sono autofunzioni dei sistemi LTI stabili: escono moltiplicati per la risposta in frequenza $H(\omega)=\int h(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau$. Per un sistema reale, $A\cos(\omega_0t+\varphi)$ esce come $A|H(\omega_0)|\cos(\omega_0t+\varphi+\arg H(\omega_0))$: la frequenza non cambia, cambiano ampiezza e fase.Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidale →). Se un segnale è una somma di esponenziali, l'uscita è la somma degli esponenziali moltiplicati ciascuno per $H(\omega)$. Resta da capire quali segnali sono somme di esponenziali. La risposta, per i segnali periodici, è: tutti (con condizioni molto larghe). Se $x$ ha periodo $T$, gli esponenziali adatti sono quelli che hanno anch'essi periodo $T$: le armoniche $$e^{jk\omega_0t},\qquad k\in\mathbb{Z},\qquad \omega_0=\frac{2\pi}{T}.$$ La prima armonica ($k=1$) ha periodo $T$ (è la fondamentale), la seconda ($k=2$) periodo $T/2$, e così via; $k=0$ è la costante e $k<0$ gli esponenziali a pulsazione negativa. Ognuna ha periodo $T/|k|$, quindi anche $T$ è un suo periodo (non minimo): una somma di armoniche ha periodo $T$.

Ortogonalità

Sull'insieme dei segnali periodici di periodo $T$ si può definire il prodotto interno $$\langle x,y\rangle=\frac1T\int_Tx(t)\,y^*(t)\,dt,$$ con norma al quadrato $\langle x,x\rangle=\frac1T\int_T|x|^2=P_x$ (la potenza!). Ha le stesse proprietà del prodotto scalare tra vettori complessi (linearità, coniugio, positività). Due segnali sono ortogonali se $\langle x,y\rangle=0$.

Le armoniche sono ortogonali. Per $k\ne m$ interi: $$\langle e^{jk\omega_0t},e^{jm\omega_0t}\rangle=\frac1T\int_0^Te^{j(k-m)\omega_0t}dt=\frac1T\frac{e^{j(k-m)\omega_0T}-1}{j(k-m)\omega_0}=\frac1T\frac{e^{j2\pi(k-m)}-1}{j(k-m)\omega_0}=0,$$ perché $\omega_0T=2\pi$ e $e^{j2\pi n}=1$ per ogni intero $n$. Per $k=m$ l'integrando vale $1$ e il prodotto è $1$. In sintesi $$\langle e^{jk\omega_0t},e^{jm\omega_0t}\rangle=\begin{cases}1&k=m\\0&k\ne m\end{cases}$$ Le armoniche formano una base ortonormale. Esattamente come in $\mathbb{R}^2$ un vettore si scrive $v=\langle v,b_1\rangle b_1+\langle v,b_2\rangle b_2$ usando una base ortonormale $b_1,b_2$ (le componenti sono le proiezioni), un segnale periodico si scrive come combinazione delle armoniche con coefficienti dati dalle proiezioni.

Formule di analisi e di sintesi

Sintesi (ricostruzione): $\displaystyle x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_k\,e^{jk\omega_0t}$.

Analisi (coefficienti): $\displaystyle a_k=\langle x,e^{jk\omega_0t}\rangle=\frac1T\int_Tx(t)\,e^{-jk\omega_0t}\,dt$.

L'integrale si calcola su un qualsiasi intervallo lungo $T$ (per esempio $[-T/2,T/2]$ o $[0,T]$): $x(t)e^{-jk\omega_0t}$ è periodico di periodo $T$ e l'integrale di un periodico non dipende dall'origine.

Come si ricava l'analisi. Si parte dalla sintesi, si moltiplica entrambi i membri per $e^{-jm\omega_0t}$ e si integra su un periodo dividendo per $T$: $$\frac1T\int_Tx(t)e^{-jm\omega_0t}dt=\sum_ka_k\,\frac1T\int_Te^{j(k-m)\omega_0t}dt=\sum_ka_k\,\delta_{km}=a_m.$$ Per ortogonalità sopravvive solo il termine $k=m$.

Significato dei coefficienti.

• $a_0=\frac1T\int_Tx(t)dt$ è il valor medio di $x$ (componente continua).
• $a_k$ è un numero complesso: il suo modulo $|a_k|$ è l'ampiezza della $k$-esima armonica, la sua fase $\arg a_k$ ne è lo sfasamento.
• L'insieme $\{a_k\}$ è lo spettro a righe: righe alle pulsazioni $k\omega_0$ (frequenze $kF$ con $F=1/T$). Tempo e frequenza sono due rappresentazioni dello stesso segnale.

Esempio completo: l'onda quadra

Sia $x(t)=\operatorname{rep}_2\operatorname{rect}(t)$: periodo $T=2$, $\omega_0=\pi$, vale $1$ per $|t|<\frac12$ e $0$ nella restante parte del periodo (duty cycle $\frac{1}{2}$). Si integra su $[-1,1]$, dove $x=\operatorname{rect}(t)$ è non nullo solo in $(-\frac12,\frac12)$: $$a_k=\frac12\int_{-1/2}^{1/2}e^{-jk\pi t}dt.$$ Per $k=0$: $a_0=\frac12\cdot1=\frac12$ (il valor medio: il segnale vale $1$ per metà del periodo). Per $k\ne0$: $$a_k=\frac12\left[\frac{e^{-jk\pi t}}{-jk\pi}\right]_{-1/2}^{1/2}=\frac12\cdot\frac{e^{jk\pi/2}-e^{-jk\pi/2}}{jk\pi}=\frac12\cdot\frac{2j\sin(k\pi/2)}{jk\pi}=\frac{\sin(k\pi/2)}{k\pi}=\frac12\operatorname{sinc}\left(\frac k2\right).$$ (La stessa formula vale per $k=0$ per continuità, perché $\operatorname{sinc}(0)=1$.) Valori: $a_0=\frac12$, $a_1=\frac1\pi\approx0{,}318$, $a_2=0$, $a_3=-\frac1{3\pi}\approx-0{,}106$, $a_4=0$, $a_5=\frac1{5\pi}\approx0{,}064$, ... Le armoniche pari sono nulle (simmetria del segnale) e quelle dispari decadono come $\frac1k$ con segno alternato.

Controllo con Parseval ($P=\sum_k|a_k|^2$, vedi Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodicoLe proprietà della serie di Fourier (linearità, ribaltamento, coniugio, ritardo $\to$ fattore $e^{-jk\omega_0t_1}$, modulazione $\to$ traslazione dei coefficienti, derivata $\to$ fattore $jk\omega_0$, Parseval $P=\sum|a_k|^2$, convoluzione periodica $\to$ prodotto) permettono di calcolare i coefficienti senza integrare. Un LTI stabile con ingresso periodico produce uscita periodica con coefficienti $b_k=H(k\omega_0)a_k$.Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodico →): la potenza vale $P=\frac12\int_{-1/2}^{1/2}1\,dt=\frac12$; la serie dà $a_0^2+2\sum_{k\text{ dispari}\ge1}\frac1{k^2\pi^2}=\frac14+\frac{2}{\pi^2}\cdot\frac{\pi^2}{8}=\frac14+\frac14=\frac12$ ✓ (si usa $\sum_{k\text{ dispari}}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}8$).

Segnali reali e forma trigonometrica

Se $x$ è reale i coefficienti hanno simmetria hermitiana: $a_{-k}=a_k^*$ (parte reale pari, parte immaginaria dispari). Infatti $a_{-k}=\frac1T\int xe^{+jk\omega_0t}=\left[\frac1T\int x\,e^{-jk\omega_0t}\right]^*=a_k^*$, perché $x=x^*$. Allora le armoniche $k$ e $-k$ si accoppiano in un coseno: $$a_ke^{jk\omega_0t}+a_k^*e^{-jk\omega_0t}=2\Re\left[a_ke^{jk\omega_0t}\right]=2|a_k|\cos(k\omega_0t+\arg a_k),$$ e la sintesi diventa la serie trigonometrica $$x(t)=a_0+\sum_{k=1}^{\infty}2|a_k|\cos(k\omega_0t+\arg a_k)=a_0+\sum_{k\ge1}\big[A_k\cos(k\omega_0t)+B_k\sin(k\omega_0t)\big],$$ con $A_k=2\Re[a_k]$ e $B_k=-2\Im[a_k]$ (dato che $\Re[a_ke^{jk\omega_0t}]=\Re[a_k]\cos-\Im[a_k]\sin$). Per l'onda quadra i coefficienti sono reali: $x(t)=\frac12+\frac2\pi\left[\cos\pi t-\frac13\cos3\pi t+\frac15\cos5\pi t-\ldots\right]$.

Quando vale: condizioni di convergenza

Perché la serie abbia senso servono due cose: che i coefficienti esistano (l'integrale converga) e che la serie converga al segnale. Le condizioni sufficienti sono:

• Condizioni di Dirichlet: in un periodo $x$ è assolutamente integrabile, ha un numero finito di discontinuità (di salto, con valori finiti) e un numero finito di massimi e minimi. Sotto queste ipotesi la serie converge puntualmente a $x(t)$ nei punti di continuità e al valor medio dei limiti destro e sinistro nei punti di salto (da qui la convenzione dell'emivalore).
• Teorema di Riesz-Fischer: se $x$ ha energia finita su un periodo ($\int_T|x|^2<\infty$) la serie converge a $x$ in media quadratica: l'energia dell'errore $\int_T|x-x_K|^2$, dove $x_K=\sum_{|k|\le K}a_ke^{jk\omega_0t}$ è la serie troncata, tende a zero per $K\to\infty$. La convergenza in media quadratica non garantisce convergenza in ogni punto.
• Funzionano anche le distribuzioni (per esempio il pettine di Dirac) e le combinazioni lineari delle classi precedenti.

Interpretazione del troncamento. La serie troncata a $K$ armoniche è la migliore approssimazione di $x$ come somma di $2K+1$ armoniche, nel senso dell'errore quadratico (è la proiezione ortogonale, come nel metodo dei minimi quadrati: i coefficienti non cambiano se si aggiungono altre armoniche).

Il fenomeno di Gibbs

Vicino a un salto le somme parziali non convergono in modo uniforme: oscillano e presentano un picco che non diminuisce al crescere di $K$, ma si restringe. L'altezza del picco resta circa il $9\%$ (esattamente $\approx8{,}95\%$) del salto. Per l'onda quadra con salto $1$ il picco massimo vicino al salto vale $1{,}09$ per qualsiasi $K$ grande (calcolato numericamente: $1{,}0912$ con $K=9$, $1{,}0896$ con $K=49$, $1{,}0895$ con $K=199$).

Nel secondo grafico (vicino al salto in $t=\frac12$) il picco vale ancora circa $1{,}09$: aumentando le armoniche l'oscillazione si addensa contro il salto, ma non si abbassa. L'energia dell'errore tende comunque a zero (media quadratica), perché la zona dell'errore diventa sempre più stretta.

Applicazione: eliminando le armoniche ad alta frequenza di un segnale periodico disturbato si ricostruisce il segnale utile (filtraggio selettivo delle armoniche, come "filtro" in frequenza: Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodicoLe proprietà della serie di Fourier (linearità, ribaltamento, coniugio, ritardo $\to$ fattore $e^{-jk\omega_0t_1}$, modulazione $\to$ traslazione dei coefficienti, derivata $\to$ fattore $jk\omega_0$, Parseval $P=\sum|a_k|^2$, convoluzione periodica $\to$ prodotto) permettono di calcolare i coefficienti senza integrare. Un LTI stabile con ingresso periodico produce uscita periodica con coefficienti $b_k=H(k\omega_0)a_k$.Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodico →).

Errori comuni

• Scegliere $\omega_0=2\pi/T$ con il periodo sbagliato (non il minimo): con un periodo multiplo i coefficienti risultano nulli per i $k$ non multipli, ma il risultato è consistente (vedi la regola del cambio di scala in Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodicoLe proprietà della serie di Fourier (linearità, ribaltamento, coniugio, ritardo $\to$ fattore $e^{-jk\omega_0t_1}$, modulazione $\to$ traslazione dei coefficienti, derivata $\to$ fattore $jk\omega_0$, Parseval $P=\sum|a_k|^2$, convoluzione periodica $\to$ prodotto) permettono di calcolare i coefficienti senza integrare. Un LTI stabile con ingresso periodico produce uscita periodica con coefficienti $b_k=H(k\omega_0)a_k$.Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodico →).
• Dimenticare il fattore $\frac1T$ nell'analisi.
• Integrare su un intervallo che non è un periodo.
• Dimenticare che $a_{-k}=a_k^*$ vale solo per segnali reali.
• Aspettarsi che le somme parziali "aderiscano" ai salti: c'è sempre il picco di Gibbs.