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Note per Studenti Esercizio 16 · trasformata di segnali triangolari e prodotto con una finestra (tema d'esame febbraio 2025)

Esercizio 16trasformata di segnali triangolari e prodotto con una finestra (tema d'esame febbraio 2025)

Esame
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Testo (tema d'esame febbraio 2025, esercizio 2, 7 punti). Si considerino i segnali x1(t)x_1(t) e x2(t)x_2(t) rappresentati nelle figure del tema, identicamente nulli fuori dall'intervallo rappresentato: x1x_1 è un trapezio simmetrico di altezza 12\frac12, costante tra t=−1t=-1 e t=1t=1, con rampe tra ±1\pm1 e ±2\pm2; x2x_2 è una spezzata simmetrica che vale −1-1 in t=0t=0, 12\frac12 in t=±1t=\pm1 e 00 per ∣t∣≥2|t|\ge2.

  1. Esprimere x1x_1 e x2x_2 tramite la funzione Λ(t)=(1−∣t∣)rect⁡(t2)\Lambda(t)=(1-|t|)\operatorname{rect}\left(\frac t2\right) (impulso triangolare).
  2. Osservando che Λ(t)=rect⁡∗rect⁡(t)\Lambda(t)=\operatorname{rect}*\operatorname{rect}(t), calcolare la trasformata di Fourier a tempo continuo di x1x_1 e x2x_2.
  3. Sia Y(ω)=sinc⁡(ω2π)Y(\omega)=\operatorname{sinc}\left(\frac\omega{2\pi}\right). Calcolare z(t)=F−1[Y(ω)∗X1(ω)](t)z(t)=\mathcal F^{-1}\left[Y(\omega)*X_1(\omega)\right](t) (F−1\mathcal F^{-1} è la trasformata di Fourier inversa).

Teoria usata: Trasformazioni elementari e simmetrie dei segnaliRibaltamento $x(-t)$, traslazione $x(t-t_0)$ e scala $x(t/a)$ permettono di costruire ogni segnale a partire da pochi modelli ($\operatorname{rect}$, $\Lambda$, $u$). L'ordine di scala e traslazione conta. Un segnale si scompone in parte pari e dispari, reale e immaginaria, hermitiana e antihermitiana; la ripetizione periodica $\operatorname{rep}_{T}x$ costruisce segnali periodici.Trasformazioni elementari e simmetrie dei segnali →, Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempiLa trasformata di Fourier $X(\omega)=\int x(t)e^{-j\omega t}dt$ estende la serie ai segnali aperiodici; si inverte con $x(t)=\frac1{2\pi}\int X(\omega)e^{j\omega t}d\omega$. Esiste per $x\in L^1$ (e per $x\in L^2$ in senso quadratico). Coppie fondamentali: $e^{-at}u\leftrightarrow\frac1{a+j\omega}$, $e^{-a|t|}\leftrightarrow\frac{2a}{a^2+\omega^2}$, $\operatorname{rect}(t)\leftrightarrow\operatorname{sinc}\frac\omega{2\pi}$, $\operatorname{sinc}(t)\leftrightarrow\operatorname{rect}\frac\omega{2\pi}$.Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempi →, Proprietà della trasformata di FourierCon le proprietà (linearità, simmetrie, ritardo $\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}$, modulazione $\leftrightarrow$ traslazione in frequenza, scala, dualità, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $E=\frac1{2\pi}\int|X|^2$, derivata $\leftrightarrow j\omega$, moltiplicazione per $t\leftrightarrow j,d/d\omega$, integrazione) quasi tutte le trasformate si ottengono da poche coppie base senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →, Calcolo della convoluzione e sue proprietàIl supporto della convoluzione è la somma dei supporti, $\operatorname{rect}*\operatorname{rect}=\Lambda$, e due esponenziali causali danno $(e^{-bt}-e^{-at})/(a-b)$. Si calcola con il metodo grafico a casi (ribaltare, traslare, individuare gli intervalli di sovrapposizione). Proprietà: lineare, commutativa, associativa, $\delta$ è l'elemento neutro, la traslazione si somma, l'area è il prodotto delle aree.Calcolo della convoluzione e sue proprietà →.

Grafico interattivo: x₁(t) = Λ(t/2) − ½Λ(t): trapezio di altezza 1/2 (costante per |t| ≤ 1), nullo per |t| ≥ 2

Grafico interattivo: x₂(t) = Λ(t/2) − 2Λ(t): vale −1 in t = 0, 1/2 in t = ±1, nullo per |t| ≥ 2

(1) Espressione con Λ\Lambda

Λ(t)\Lambda(t) è il triangolo di altezza 11 e semibase 11 (Trasformazioni elementari e simmetrie dei segnaliRibaltamento $x(-t)$, traslazione $x(t-t_0)$ e scala $x(t/a)$ permettono di costruire ogni segnale a partire da pochi modelli ($\operatorname{rect}$, $\Lambda$, $u$). L'ordine di scala e traslazione conta. Un segnale si scompone in parte pari e dispari, reale e immaginaria, hermitiana e antihermitiana; la ripetizione periodica $\operatorname{rep}_{T}x$ costruisce segnali periodici.Trasformazioni elementari e simmetrie dei segnali →); Λ(t2)\Lambda\left(\frac t2\right) è dilatato: altezza 11 e semibase 22. Si cercano combinazioni lineari che riproducano i punti notevoli.

x1x_1. Valori: 12\frac12 in ∣t∣≤1|t|\le1, rampe fino a 00 in ∣t∣=2|t|=2. Si prova x1=Λ(t2)−12Λ(t)x_1=\Lambda\left(\frac t2\right)-\frac12\Lambda(t). Verifica nei punti: in t=0t=0: 1−12=121-\frac12=\frac12 ✓; in t=±1t=\pm1: Λ(12)=12\Lambda\left(\frac12\right)=\frac12 e Λ(1)=0\Lambda(1)=0, quindi 12\frac12 ✓; in t=±2t=\pm2: 0−0=00-0=0 ✓; tra 11 e 22 è lineare ✓. Una seconda rappresentazione equivalente, come somma di tre triangoli traslati di larghezza 22 e altezza 12\frac12 (le loro rampe si compensano nel plateau): x1(t)=Λ(t2)−12Λ(t)=12Λ(t+1)+12Λ(t)+12Λ(t−1).x_1(t)=\Lambda\left(\frac t2\right)-\frac12\Lambda(t)=\frac12\Lambda(t+1)+\frac12\Lambda(t)+\frac12\Lambda(t-1). (L'uguaglianza segue da Λ(t2)=12Λ(t+1)+Λ(t)+12Λ(t−1)\Lambda\left(\frac t2\right)=\frac12\Lambda(t+1)+\Lambda(t)+\frac12\Lambda(t-1): tre triangoli pesati 12,1,12\frac12,1,\frac12 si sommano in un triangolo largo il doppio.)

x2x_2. Valori: −1-1 in 00, 12\frac12 in ±1\pm1, 00 in ±2\pm2. Si prova x2=Λ(t2)−2Λ(t)x_2=\Lambda\left(\frac t2\right)-2\Lambda(t): in t=0t=0: 1−2=−11-2=-1 ✓; in t=±1t=\pm1: 12−0=12\frac12-0=\frac12 ✓; in t=±2t=\pm2: 00 ✓; in t=±12t=\pm\frac12: Λ(14)−2Λ(12)=34−1=−14\Lambda\left(\frac14\right)-2\Lambda\left(\frac12\right)=\frac34-1=-\frac14 (vertice della spezzata tra il minimo e il massimo). Equivalente: x2(t)=Λ(t2)−2Λ(t)=12Λ(t+1)−Λ(t)+12Λ(t−1).x_2(t)=\Lambda\left(\frac t2\right)-2\Lambda(t)=\frac12\Lambda(t+1)-\Lambda(t)+\frac12\Lambda(t-1).

(2) Le trasformate

Poiché Λ=rect⁡∗rect⁡\Lambda=\operatorname{rect}*\operatorname{rect}, per il teorema della convoluzione F[Λ]=[sinc⁡(ω2π)]2\mathcal F[\Lambda]=\left[\operatorname{sinc}\left(\frac\omega{2\pi}\right)\right]^2 (Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempiLa trasformata di Fourier $X(\omega)=\int x(t)e^{-j\omega t}dt$ estende la serie ai segnali aperiodici; si inverte con $x(t)=\frac1{2\pi}\int X(\omega)e^{j\omega t}d\omega$. Esiste per $x\in L^1$ (e per $x\in L^2$ in senso quadratico). Coppie fondamentali: $e^{-at}u\leftrightarrow\frac1{a+j\omega}$, $e^{-a|t|}\leftrightarrow\frac{2a}{a^2+\omega^2}$, $\operatorname{rect}(t)\leftrightarrow\operatorname{sinc}\frac\omega{2\pi}$, $\operatorname{sinc}(t)\leftrightarrow\operatorname{rect}\frac\omega{2\pi}$.Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempi →): Λ(t)↔sinc⁡2(ω2π),Λ(t2)↔2sinc⁡2(2ω2π)=2sinc⁡2(ωπ)\Lambda(t)\leftrightarrow\operatorname{sinc}^2\left(\frac\omega{2\pi}\right),\qquad\Lambda\left(\frac t2\right)\leftrightarrow2\operatorname{sinc}^2\left(\frac{2\omega}{2\pi}\right)=2\operatorname{sinc}^2\left(\frac\omega\pi\right) (regola di scala x(t/a)→aX(aω)x(t/a)\to aX(a\omega) con a=2a=2).

Prima forma (dalla differenza): X1(ω)=2sinc⁡2(ωπ)−12sinc⁡2(ω2π),X2(ω)=2sinc⁡2(ωπ)−2sinc⁡2(ω2π).X_1(\omega)=2\operatorname{sinc}^2\left(\frac\omega\pi\right)-\frac12\operatorname{sinc}^2\left(\frac\omega{2\pi}\right),\qquad X_2(\omega)=2\operatorname{sinc}^2\left(\frac\omega\pi\right)-2\operatorname{sinc}^2\left(\frac\omega{2\pi}\right).

Seconda forma (dai triangoli traslati). Con ritardi t∓1→e∓jωt\mp1\to e^{\mp j\omega} e 12(ejω+e−jω)=cos⁡ω\frac12\left(e^{j\omega}+e^{-j\omega}\right)=\cos\omega: X1(ω)=12sinc⁡2(ω2π)[ejω+1+e−jω]=12sinc⁡2(ω2π)[1+2cos⁡ω],X_1(\omega)=\frac12\operatorname{sinc}^2\left(\frac\omega{2\pi}\right)\left[e^{j\omega}+1+e^{-j\omega}\right]=\frac12\operatorname{sinc}^2\left(\frac\omega{2\pi}\right)\left[1+2\cos\omega\right], X2(ω)=sinc⁡2(ω2π)[12ejω−1+12e−jω]=sinc⁡2(ω2π)[cos⁡ω−1].X_2(\omega)=\operatorname{sinc}^2\left(\frac\omega{2\pi}\right)\left[\tfrac12e^{j\omega}-1+\tfrac12e^{-j\omega}\right]=\operatorname{sinc}^2\left(\frac\omega{2\pi}\right)\left[\cos\omega-1\right]. Le due forme coincidono: dalla relazione sinc⁡(ωπ)=sin⁡ωω=sinc⁡(ω2π)cos⁡ω2\operatorname{sinc}\left(\frac\omega\pi\right)=\frac{\sin\omega}\omega=\operatorname{sinc}\left(\frac\omega{2\pi}\right)\cos\frac\omega2 (da sin⁡ω=2sin⁡ω2cos⁡ω2\sin\omega=2\sin\frac\omega2\cos\frac\omega2) segue 2sinc⁡2(ωπ)=sinc⁡2(ω2π)(1+cos⁡ω)2\operatorname{sinc}^2\left(\frac\omega\pi\right)=\operatorname{sinc}^2\left(\frac\omega{2\pi}\right)(1+\cos\omega), e quindi X1=sinc⁡2(ω2π)[1+cos⁡ω−12]=12sinc⁡2(ω2π)[1+2cos⁡ω]X_1=\operatorname{sinc}^2\left(\frac\omega{2\pi}\right)\left[1+\cos\omega-\frac12\right]=\frac12\operatorname{sinc}^2\left(\frac\omega{2\pi}\right)\left[1+2\cos\omega\right] ✓ e X2=sinc⁡2(ω2π)[1+cos⁡ω−2]=sinc⁡2(ω2π)[cos⁡ω−1]X_2=\operatorname{sinc}^2\left(\frac\omega{2\pi}\right)\left[1+\cos\omega-2\right]=\operatorname{sinc}^2\left(\frac\omega{2\pi}\right)\left[\cos\omega-1\right] ✓. (Confrontate con l'integrazione numerica in ω=0,7; 1,1; 3\omega=0{,}7;\ 1{,}1;\ 3.)

Controlli. X1(0)=12⋅1⋅3=32X_1(0)=\frac12\cdot1\cdot3=\frac32 = area di x1x_1: trapezio con basi 44 e 22 e altezza 12\frac12: (4+2)2⋅12=32\frac{(4+2)}2\cdot\frac12=\frac32 ✓. X2(0)=1⋅(1−1)=0X_2(0)=1\cdot(1-1)=0 = area di x2x_2: l'area negativa vicino all'origine compensa quella positiva ai lati ✓.

(3) La convoluzione in frequenza

Si ricorda la regola (Proprietà della trasformata di FourierCon le proprietà (linearità, simmetrie, ritardo $\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}$, modulazione $\leftrightarrow$ traslazione in frequenza, scala, dualità, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $E=\frac1{2\pi}\int|X|^2$, derivata $\leftrightarrow j\omega$, moltiplicazione per $t\leftrightarrow j,d/d\omega$, integrazione) quasi tutte le trasformate si ottengono da poche coppie base senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →): al prodotto nel tempo corrisponde 12π\frac1{2\pi} volte la convoluzione in frequenza: F[x1 y]=12πX1∗Y\mathcal F[x_1\,y]=\frac1{2\pi}X_1*Y. Quindi Y(ω)∗X1(ω)=2π F[x1(t) y(t)],z=F−1[Y∗X1]=2π x1(t) y(t),Y(\omega)*X_1(\omega)=2\pi\,\mathcal F\left[x_1(t)\,y(t)\right],\qquad z=\mathcal F^{-1}\left[Y*X_1\right]=2\pi\,x_1(t)\,y(t), dove y(t)=F−1[Y]=rect⁡(t)y(t)=\mathcal F^{-1}[Y]=\operatorname{rect}(t) (perché rect⁡(t)↔sinc⁡(ω2π)\operatorname{rect}(t)\leftrightarrow\operatorname{sinc}\left(\frac\omega{2\pi}\right)). Il prodotto x1(t)rect⁡(t)x_1(t)\operatorname{rect}(t) è non nullo solo per ∣t∣<12|t|<\frac12 e lì x1(t)=12x_1(t)=\frac12 (plateau del trapezio, che si estende fino a ∣t∣≤1|t|\le1). Perciò z(t)=2π⋅12rect⁡(t)=πrect⁡(t).z(t)=2\pi\cdot\frac12\operatorname{rect}(t)=\pi\operatorname{rect}(t).

Errori comuni

  • Dimenticare il fattore 12π\frac1{2\pi} (e quindi 2π2\pi) nella regola del prodotto/convoluzione in frequenza.
  • Scrivere F[Λ(t/2)]=sinc⁡2(ωπ)\mathcal F[\Lambda(t/2)]=\operatorname{sinc}^2\left(\frac\omega\pi\right) senza il fattore 22 della scala.
  • Usare le rampe di x2x_2 senza controllare i valori intermedi (per x2x_2 conviene verificare anche in t=±12t=\pm\frac12).
  • Non accorgersi che x1x_1 vale esattamente 12\frac12 su tutto ∣t∣<1|t|<1, quindi su tutta la finestra rect⁡(t)\operatorname{rect}(t).

Versione ripasso

Testo. x1x_1 trapezio (12\frac12 su ∣t∣≤1|t|\le1, nullo per ∣t∣≥2|t|\ge2), x2x_2 (−1-1 in 00, 12\frac12 in ±1\pm1, 00 in ±2\pm2): (1) con Λ\Lambda; (2) TF con Λ=rect⁡∗rect⁡\Lambda=\operatorname{rect}*\operatorname{rect}; (3) z=F−1[Y∗X1]z=\mathcal F^{-1}[Y*X_1] con Y=sinc⁡ω2πY=\operatorname{sinc}\frac\omega{2\pi} (febbraio 2025).

Teoria collegata