Numeri complessi, formula di Eulero ed esponenziali complessi

In Segnali e Sistemi i numeri complessi non sono un'eredità di Analisi: sono lo strumento di lavoro di tutto il corso. Una sinusoide si scrive come somma di due esponenziali complessi, l'uscita di un sistema si calcola moltiplicando un numero complesso, la trasformata di Fourier è un integrale di esponenziali complessi. Qui si ripassa ciò che serve, con i calcoli che tornano negli esami (per la teoria dei numeri complessi vedi anche Numeri complessiI numeri complessi estendono i reali introducendo l'unità immaginaria $i$ ($i^2 = -1$) e possono essere rappresentati in forma algebrica, trigonometrica o polare. Tramite la formula di Eulero e le proprietà del modulo e dell'argomento, è possibile calcolare agilmente prodotti, potenze e radici ennesime.Numeri complessi →). In questo corso l'unità immaginaria si indica con $j$ (come in elettronica), non con $i$.

Forma cartesiana e forma polare

Un numero complesso $x$ si può scrivere in due modi.

• Cartesiana: $x = a + jb$, con $a = \Re[x]$ parte reale e $b = \Im[x]$ parte immaginaria.
• Polare: $x = |x|\, e^{j\varphi}$, con modulo $|x| = \sqrt{a^2 + b^2}$ e fase (argomento) $\varphi = \arg x$.

Il passaggio dall'una all'altra:

$$a = |x|\cos\varphi, \qquad b = |x|\sin\varphi, \qquad \varphi = \arctan\frac{b}{a} + \begin{cases} 0 & a \ge 0 \\ \pi & a < 0 \end{cases}$$

Perché il termine $+\pi$. La funzione $\arctan$ restituisce sempre un angolo in $(-\pi/2, \pi/2)$, cioè vede soltanto il rapporto $b/a$ e non distingue $x$ da $-x$ (hanno lo stesso rapporto). Se $a < 0$ il numero sta nel secondo o nel terzo quadrante e l'angolo giusto è quello di $\arctan(b/a)$ ruotato di mezzo giro. Conviene sempre fare un disegnino sul piano di Gauss prima di scrivere la fase. Quando serve non-ambiguità si prende la fase in $(-\pi, \pi]$.

Esempi.

1. $x = 1 + j$: $|x| = \sqrt{1+1} = \sqrt 2$, $\varphi = \arctan 1 = \pi/4$ (primo quadrante). Quindi $x = \sqrt2\, e^{j\pi/4}$.
2. $x = -3j$: $a = 0$, $b = -3$. Il numero sta sul semiasse immaginario negativo, quindi $|x| = 3$ e $\varphi = -\pi/2$ (si verifica: $3 e^{-j\pi/2} = 3(\cos(-\pi/2) + j \sin(-\pi/2)) = -3j$ ✓).
3. $x = -2$: $|x| = 2$, e siccome $a < 0$ e $b = 0$ si ha $\varphi = \arctan 0 + \pi = \pi$. Infatti $2 e^{j\pi} = -2$.
4. Da polare a cartesiana: $\sqrt2\, e^{j\pi/4} = \sqrt2 (\cos\frac\pi4 + j\sin\frac\pi4) = \sqrt2 \left(\frac{1}{\sqrt2} + j\frac{1}{\sqrt2}\right) = 1 + j$.

Periodicità della fase. $e^{j\varphi} = e^{j(\varphi + 2\pi k)}$ per ogni intero $k$: due fasi che differiscono per un multiplo di $2\pi$ sono lo stesso numero. Per questo $e^{j3\pi} = e^{j\pi} = -1$.

Operazioni

La somma è comoda in cartesiana, il prodotto in polare: in polare moltiplicare significa moltiplicare i moduli e sommare le fasi. Il coniugato inverte il segno della fase ed è utilissimo perché $x\, x^* = |x|^2$ è reale.

Come si porta in forma cartesiana un quoziente. Si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore, così il denominatore diventa il reale $|y|^2$:

$$\frac{1}{3 - 2j} = \frac{1}{3-2j}\cdot\frac{3+2j}{3+2j} = \frac{3 + 2j}{3^2 + 2^2} = \frac{3}{13} + j\,\frac{2}{13}.$$

La formula di Eulero

$$e^{j\alpha} = \cos\alpha + j\sin\alpha \qquad (\alpha \in \mathbb{R}).$$

Il numero $e^{j\alpha}$ sta sulla circonferenza di raggio 1 del piano complesso, a un angolo $\alpha$ dall'asse reale. Da qui, sommando e sottraendo $e^{j\alpha}$ e $e^{-j\alpha}$, si ottengono le due identità di Eulero:

$$\cos\alpha = \frac{e^{j\alpha} + e^{-j\alpha}}{2}, \qquad \sin\alpha = \frac{e^{j\alpha} - e^{-j\alpha}}{2j}.$$

Sono la chiave del corso: ogni sinusoide è la somma di due esponenziali complessi a pulsazioni opposte, $+\omega$ e $-\omega$. Un sistema lineare tempo-invariante tratta ciascun esponenziale in modo semplicissimo (vedi Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidaleGli esponenziali complessi $e^{j\omega t}$ sono autofunzioni dei sistemi LTI stabili: escono moltiplicati per la risposta in frequenza $H(\omega)=\int h(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau$. Per un sistema reale, $A\cos(\omega_0t+\varphi)$ esce come $A|H(\omega_0)|\cos(\omega_0t+\varphi+\arg H(\omega_0))$: la frequenza non cambia, cambiano ampiezza e fase.Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidale →), e la sinusoide si ricostruisce alla fine.

Una sinusoide in forma canonica. Si chiama forma canonica l'espressione $A\cos(\omega t + \varphi)$ con $A \ge 0$. Una combinazione di $\cos$ e $\sin$ alla stessa pulsazione si porta sempre a questa forma. Esempio: $\cos\omega t - \sin\omega t$. Si cerca $A$ e $\varphi$ tali che $A\cos(\omega t + \varphi) = A\cos\varphi\cos\omega t - A\sin\varphi\sin\omega t$. Confrontando i coefficienti: $A\cos\varphi = 1$ e $A\sin\varphi = 1$, da cui $A = \sqrt{1+1} = \sqrt2$ e $\varphi = \pi/4$. Quindi

$$\cos\omega t - \sin\omega t = \sqrt2\cos\left(\omega t + \frac\pi4\right).$$

(Il risultato è stato controllato numericamente su un intervallo di valori di $t$.)

Esponenziali complessi nel tempo

I segnali fondamentali del corso sono gli esponenziali complessi

$$x(t) = e^{st} = e^{(\sigma + j\omega)t} = e^{\sigma t}\, e^{j\omega t}, \qquad s = \sigma + j\omega \in \mathbb{C}.$$

Il modulo e la fase si leggono direttamente: $|x(t)| = e^{\sigma t}$ e $\arg x(t) = \omega t$. Quindi:

• se $\sigma = 0$ il segnale è un esponenziale immaginario puro $e^{j\omega t}$: il punto ruota sulla circonferenza unitaria con velocità angolare $\omega$ (in rad/s). Ha modulo costante 1, parte reale $\cos\omega t$, parte immaginaria $\sin\omega t$;
• se $\sigma < 0$ il modulo decresce: la traiettoria è una spirale che si stringe verso l'origine (oscillazione smorzata);
• se $\sigma > 0$ cresce: spirale che si allarga.

Esempio numerico. $x(t) = 10\, e^{(-2 + j\pi/4)t}$. Qui $\sigma = -2$, $\omega = \pi/4$. All'istante $t = 1$:

$$x(1) = 10\, e^{-2}\, e^{j\pi/4} \quad\Rightarrow\quad |x(1)| = 10 e^{-2} \approx 1{,}353,\quad \arg x(1) = \frac\pi4,$$

cioè $x(1) \approx 0{,}957 + 0{,}957\,j$. La parte reale è $\Re[x(t)] = 10 e^{-2t}\cos(\pi t/4)$: una cosinusoide con inviluppo $\pm 10 e^{-2t}$.

La pulsazione $\omega$ si misura in rad/s e la frequenza è $f = \omega/2\pi$ in Hz; il periodo di $e^{j\omega t}$ è $T = 2\pi/\omega = 1/f$ (vedi Segnali periodici, sinusoidi ed esponenziali immaginari puriUn segnale continuo è periodico di periodo T se x(t+T)=x(t); $e^{j2\pi f_0t}$ ha periodo minimo $1/|f_0|$ e una somma di periodici è periodica solo se il rapporto dei periodi è razionale. A tempo discreto $e^{j2\pi\nu n}$ è periodico solo se $\nu$ è razionale, e le pulsazioni che differiscono di $2\pi$ sono lo stesso segnale: ogni sinusoide si riporta alla forma canonica con $\omega\in[0,\pi]$.Segnali periodici, sinusoidi ed esponenziali immaginari puri →).

Due strumenti di calcolo da tenere a portata di mano

Nei calcoli di Fourier compaiono continuamente una somma geometrica e un integrale esponenziale, validi anche per esponenti complessi.

Serie geometrica. Per $\alpha \in \mathbb{C}$:

$$\sum_{n=0}^{N-1}\alpha^n = \frac{1 - \alpha^N}{1 - \alpha}\ (\alpha \ne 1), \qquad \sum_{n=0}^{\infty}\alpha^n = \frac{1}{1-\alpha}\ \text{ se } |\alpha| < 1,$$

e per $|\alpha| \ge 1$ la serie infinita non converge. In particolare, con $\alpha = e^{\beta - j\theta}$ è $|\alpha| = e^{\beta}$, quindi la serie $\sum_{n \ge 0} e^{(\beta - j\theta)n}$ converge solo per $\beta < 0$.

Integrale esponenziale. Per $\alpha \in \mathbb{C}$, $\alpha \ne 0$:

$$\int_{t_0}^{t_1} e^{\alpha t}\, dt = \frac{e^{\alpha t_1} - e^{\alpha t_0}}{\alpha}.$$

Applicazione 1: un integrale su un intervallo simmetrico. Con $\alpha = j\omega$ e estremi $\pm\frac12$:

$$\int_{-1/2}^{1/2} e^{j\omega t}\, dt = \frac{e^{j\omega/2} - e^{-j\omega/2}}{j\omega} = \frac{2j\sin(\omega/2)}{j\omega} = \frac{2\sin(\omega/2)}{\omega}.$$

Il risultato è reale (e pari in $\omega$): è il primo esempio del fatto che un segnale reale e pari ha una trasformata reale e pari. Il valore in $\omega = 0$ si ottiene per continuità e vale $1$ (è $\int_{-1/2}^{1/2} 1\, dt$).

Applicazione 2: la somma di Dirichlet. Si vuole calcolare $\sum_{n=-9}^{9} e^{-j\theta n}$. Si riporta l'indice a partire da zero con $m = n + 9$, che va da $0$ a $18$:

$$\sum_{n=-9}^{9} e^{-j\theta n} = \sum_{m=0}^{18} e^{-j\theta(m - 9)} = e^{j9\theta}\sum_{m=0}^{18} e^{-j\theta m} = e^{j9\theta}\,\frac{1 - e^{-j19\theta}}{1 - e^{-j\theta}}.$$

Per renderlo reale si estrae da numeratore e denominatore il fattore "centrale" (esponente a metà):

$$e^{j9\theta}\,\frac{e^{-j19\theta/2}\,\left(e^{j19\theta/2} - e^{-j19\theta/2}\right)}{e^{-j\theta/2}\left(e^{j\theta/2} - e^{-j\theta/2}\right)} = e^{j9\theta - j\frac{19}{2}\theta + j\frac12\theta}\,\frac{2j\sin(19\theta/2)}{2j\sin(\theta/2)} = \frac{\sin(19\theta/2)}{\sin(\theta/2)},$$

dove l'esponente totale è $9 - 9{,}5 + 0{,}5 = 0$, quindi i fattori di fase spariscono. In generale, per una finestra di $2N+1$ campioni:

$$\sum_{n=-N}^{N} e^{-j\theta n} = \frac{\sin\left(\frac{2N+1}{2}\theta\right)}{\sin\frac\theta2}.$$

È la trasformata di una finestra rettangolare discreta (Trasformata di Fourier a tempo discreto (TFtd)La TFtd di una sequenza è $X(\omega)=\sum_nx(n)e^{-j\omega n}$, funzione continua e periodica di periodo $2\pi$; si inverte con $x(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(\omega)e^{j\omega n}d\omega$. Ha le stesse proprietà della TF continua (la convoluzione diventa prodotto, $n,x(n)\leftrightarrow jX'$). È la risposta in frequenza dei sistemi discreti; con la TFD e lo zero-padding se ne ottengono campioni arbitrariamente fitti.Trasformata di Fourier a tempo discreto (TFtd) →) e compare in vari temi d'esame. (Con $\theta = 0{,}7$ e $N = 9$ i due membri valgono entrambi $1{,}0459\ldots$: controllato numericamente.)

Errori comuni

• Scrivere la fase come $\arctan(b/a)$ senza controllare il quadrante: $-2$ non ha fase $0$, ha fase $\pi$.
• Dimenticare che $|e^{j\alpha}| = 1$ per $\alpha$ reale: $|e^{-j\omega t_0}| = 1$, un ritardo non cambia il modulo.
• Calcolare il modulo con $jb$ al posto di $b$: nella formula $\sqrt{a^2 + b^2}$ entrano le parti reale e immaginaria (numeri reali), non il numero $jb$.
• Sommare le fasi in una somma (le fasi si sommano solo nei prodotti).