Esercizio 2proprietà, risposta impulsiva e risposta in frequenza di un sistema discreto (tema d'esame giugno 2023)

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Teoria usata: Sistemi e loro proprietàUn sistema trasforma un segnale di ingresso in uno di uscita, $y=\Sigma[x]$. Le proprietà da saper verificare sono: memoria (statico/dinamico), causalità, linearità (additività + omogeneità), tempo-invarianza, stabilità BIBO, invertibilità, realtà. Per negare una proprietà basta un controesempio; per affermarla serve una dimostrazione con segnali generici.Sistemi e loro proprietà →, Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTIPer un sistema LTI le proprietà si leggono sulla risposta impulsiva $h$: causale se $h$ è nulla per $t<0$; reale se $h$ è reale; statico se $h=K\delta$; BIBO stabile se e solo se $h$ è assolutamente integrabile (sommabile nel discreto). Serie e parallelo corrispondono a $h_1*h_2$ e $h_1+h_2$.Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTI →, Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidaleGli esponenziali complessi $e^{j\omega t}$ sono autofunzioni dei sistemi LTI stabili: escono moltiplicati per la risposta in frequenza $H(\omega)=\int h(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau$. Per un sistema reale, $A\cos(\omega_0t+\varphi)$ esce come $A|H(\omega_0)|\cos(\omega_0t+\varphi+\arg H(\omega_0))$: la frequenza non cambia, cambiano ampiezza e fase.Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidale →, Segnali periodici, sinusoidi ed esponenziali immaginari puriUn segnale continuo è periodico di periodo T se x(t+T)=x(t); $e^{j2\pi f_0t}$ ha periodo minimo $1/|f_0|$ e una somma di periodici è periodica solo se il rapporto dei periodi è razionale. A tempo discreto $e^{j2\pi\nu n}$ è periodico solo se $\nu$ è razionale, e le pulsazioni che differiscono di $2\pi$ sono lo stesso segnale: ogni sinusoide si riporta alla forma canonica con $\omega\in[0,\pi]$.Segnali periodici, sinusoidi ed esponenziali immaginari puri →.

(1) Le proprietà

Per la tempo-invarianza (test del confronto): ritardo prima, sistema poi, dà $x(n-n_0)-\frac12x(n-n_0-2)-\frac12x(n-n_0+2)$; sistema prima, ritardo poi, dà $y(n-n_0)$ con $n$ sostituito ovunque con $n-n_0$: stessa espressione ✓.

(2) Risposta impulsiva

Con $x=\delta$ si ha $y(n)=\delta(n)-\frac12\delta(n-2)-\frac12\delta(n+2)$: $$h(n)=-\frac12\,\delta(n+2)+\delta(n)-\frac12\,\delta(n-2).$$ Tre campioni non nulli: un filtro FIR (sempre stabile, $\sum|h|=2$).

(3) Risposta in frequenza

$H(\omega)=\sum_nh(n)e^{-j\omega n}=-\frac12e^{j2\omega}+1-\frac12e^{-j2\omega}$. Con la formula di Eulero $\frac{e^{j2\omega}+e^{-j2\omega}}2=\cos2\omega$: $$H(\omega)=1-\cos(2\omega).$$ È reale, pari, periodica di periodo $\pi$ (e quindi anche $2\pi$) e non negativa: $|H(\omega)|=1-\cos2\omega=2\sin^2\omega$. Si annulla per $2\omega=2\pi k$, cioè $\omega=k\pi$ (in particolare $\omega=0$ e $\omega=\pm\pi$) e vale al massimo $2$ per $\omega=\pm\frac\pi2$. È un filtro passa-banda che sopprime la continua e la frequenza più alta ($\omega=\pi$).

(4) Uscita per $x(n)=a+b\sin(\pi n+c)$

Si identificano le componenti in frequenza di $x$. La costante $a$ ha pulsazione $0$. Per la sinusoide, $\sin(\pi n+c)=\sin(\pi n)\cos c+\cos(\pi n)\sin c=(-1)^n\sin c$ (perché $\sin\pi n=0$ per $n$ intero): è la sinusoide più veloce possibile, a pulsazione $\pi$. Quindi $$x(n)=a+b\sin c\,(-1)^n,$$ con componenti a $\omega=0$ e $\omega=\pi$. Poiché $H(0)=1-\cos0=0$ e $H(\pm\pi)=1-\cos2\pi=0$, entrambe le componenti sono soppresse: $$y(n)=0\quad\forall n.$$ Verifica diretta: $y(n)=x(n)-\frac12x(n-2)-\frac12x(n+2)$ e $x$ ha periodo $2$ ($x(n\pm2)=x(n)$), quindi $y(n)=x(n)\left[1-\frac12-\frac12\right]=0$ ✓. (Controllato numericamente con $a=2$, $b=3$, $c=0{,}7$: $|y|<10^{-13}$.)

Errori comuni

• Dire "non causale e quindi anticausale": anticausale richiede dipendenza solo da presente e futuro.
• Dire "dinamico perché c'è una somma": è dinamico perché dipende da altri istanti.
• Scrivere $H(\omega)=1-\cos\omega$ (dimenticando che gli sfasamenti sono di due campioni, non uno).
• Non riconoscere che $\sin(\pi n+c)$ per $n$ intero è $(-1)^n\sin c$ e dire che il sistema "lascia passare una sinusoide".