Filtri, modulazione e trasmissione AM

Il filtraggio visto in frequenza

Un filtro è un sistema LTI con risposta impulsiva $h$ (Sistemi LTI, risposta impulsiva e convoluzioneUn sistema lineare tempo-invariante (LTI) è completamente descritto dalla sua risposta impulsiva $h=\Sigma[\delta]$: l'uscita è la convoluzione $y=x*h$, cioè $y(t)=\int x(u)h(t-u)du$ (somma $\sum_k x(k)h(n-k)$ nel discreto). Il teorema discende da linearità e tempo-invarianza applicate alla scomposizione del segnale in impulsi.Sistemi LTI, risposta impulsiva e convoluzione →). Nel dominio del tempo $y=x*h$; per il teorema della convoluzione (Proprietà della trasformata di FourierCon le proprietà (linearità, simmetrie, ritardo $\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}$, modulazione $\leftrightarrow$ traslazione in frequenza, scala, dualità, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $E=\frac1{2\pi}\int|X|^2$, derivata $\leftrightarrow j\omega$, moltiplicazione per $t\leftrightarrow j,d/d\omega$, integrazione) quasi tutte le trasformate si ottengono da poche coppie base senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →) in frequenza:

$$Y(\omega)=H(\omega)\,X(\omega),\qquad H(\omega)=\mathcal F[h].$$

• Ingresso aperiodico: l'uscita ha spettro $HX$ (prodotto di funzioni).
• Ingresso periodico $x=\sum a_ke^{jk\omega_0t}$, con spettro $2\pi\sum a_k\delta(\omega-k\omega_0)$: $Y(\omega)=2\pi\sum_ka_kH(k\omega_0)\delta(\omega-k\omega_0)$ (il prodotto con una delta campiona $H$): $b_k=H(k\omega_0)a_k$ (Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodicoLe proprietà della serie di Fourier (linearità, ribaltamento, coniugio, ritardo $\to$ fattore $e^{-jk\omega_0t_1}$, modulazione $\to$ traslazione dei coefficienti, derivata $\to$ fattore $jk\omega_0$, Parseval $P=\sum|a_k|^2$, convoluzione periodica $\to$ prodotto) permettono di calcolare i coefficienti senza integrare. Un LTI stabile con ingresso periodico produce uscita periodica con coefficienti $b_k=H(k\omega_0)a_k$.Serie di Fourier - proprietà e sistemi LTI in regime periodico →).
• Nel discreto $Y(\omega)=H(\omega)X(\omega)$ con le TFtd (Trasformata di Fourier a tempo discreto (TFtd)La TFtd di una sequenza è $X(\omega)=\sum_nx(n)e^{-j\omega n}$, funzione continua e periodica di periodo $2\pi$; si inverte con $x(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(\omega)e^{j\omega n}d\omega$. Ha le stesse proprietà della TF continua (la convoluzione diventa prodotto, $n,x(n)\leftrightarrow jX'$). È la risposta in frequenza dei sistemi discreti; con la TFD e lo zero-padding se ne ottengono campioni arbitrariamente fitti.Trasformata di Fourier a tempo discreto (TFtd) →).

Un filtro non crea frequenze. Il prodotto $H\,X$ può solo annullare, attenuare, amplificare o sfasare le componenti già presenti in $X$. Quindi non esiste un LTI che mandi $\operatorname{sinc}(t/2)$ (spettro $2\operatorname{rect}\left(\frac\omega\pi\right)$, supporto $|\omega|<\frac\pi2$) in $\operatorname{sinc}(2t)$ (spettro $\frac12\operatorname{rect}\left(\frac{\omega}{4\pi}\right)$, supporto $|\omega|<2\pi$). Al contrario, un LTI reale può trasformare $\cos\left(\frac\pi3t\right)$ in $2\cos\left(\frac\pi3t+\frac\pi3\right)$: basta una $H$ con $H\left(\pm\frac\pi3\right)=2e^{\pm j\pi/3}$ (simmetria hermitiana, Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidaleGli esponenziali complessi $e^{j\omega t}$ sono autofunzioni dei sistemi LTI stabili: escono moltiplicati per la risposta in frequenza $H(\omega)=\int h(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau$. Per un sistema reale, $A\cos(\omega_0t+\varphi)$ esce come $A|H(\omega_0)|\cos(\omega_0t+\varphi+\arg H(\omega_0))$: la frequenza non cambia, cambiano ampiezza e fase.Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidale →), perché cambiano solo ampiezza e fase di una componente già presente.

Filtri ideali

I filtri ideali sono definiti dalla $H$ (modulo costante nella banda passante, zero fuori):

Per il passa-basso: da $\operatorname{sinc}\left(\frac tT\right)\leftrightarrow T\operatorname{rect}\left(\frac{T\omega}{2\pi}\right)$ (Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempiLa trasformata di Fourier $X(\omega)=\int x(t)e^{-j\omega t}dt$ estende la serie ai segnali aperiodici; si inverte con $x(t)=\frac1{2\pi}\int X(\omega)e^{j\omega t}d\omega$. Esiste per $x\in L^1$ (e per $x\in L^2$ in senso quadratico). Coppie fondamentali: $e^{-at}u\leftrightarrow\frac1{a+j\omega}$, $e^{-a|t|}\leftrightarrow\frac{2a}{a^2+\omega^2}$, $\operatorname{rect}(t)\leftrightarrow\operatorname{sinc}\frac\omega{2\pi}$, $\operatorname{sinc}(t)\leftrightarrow\operatorname{rect}\frac\omega{2\pi}$.Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempi →) con $\frac{T}{2\pi}=\frac1{2\omega_c}$, cioè $T=\frac\pi{\omega_c}$: $h=\frac1T\operatorname{sinc}\left(\frac tT\right)=\frac{\omega_c}{\pi}\operatorname{sinc}\left(\frac{\omega_ct}\pi\right)$. Esempio (tema d'esame febbraio 2026): $H=\operatorname{rect}\left(\frac\omega7\right)$ ha $\omega_c=\frac72$ e $h(t)=\frac{\sin(7t/2)}{\pi t}=\frac{7}{2\pi}\operatorname{sinc}\left(\frac{7t}{2\pi}\right)$. Per il passa-banda si usa la modulazione: $h_{BP}=2\cos(\omega_0t)\,h_{LP}$ con $\omega_c=\frac B2$.

Non sono realizzabili. $\operatorname{sinc}$ è non nulla per $t<0$ (non causale) e non assolutamente integrabile (non BIBO stabile: lo conferma il fatto che $H$ è discontinua, mentre $h\in L^1$ implicherebbe $H$ continua). Si approssimano con filtri causali e stabili.

Il filtro RC passa-basso

Un resistore $R$ in serie a un condensatore $C$, con ingresso la tensione totale $x$ e uscita la tensione $y$ sul condensatore, soddisfa $$RC\,y'(t)+y(t)=x(t).$$ Con la TF (derivata $\to j\omega$): $(j\omega RC+1)Y=X$, cioè $$H(\omega)=\frac1{1+j\omega RC},\qquad h(t)=\frac1{RC}e^{-t/RC}u(t).$$ È un passa-basso: $|H|=\frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}}$, con $|H(0)|=1$ e $|H|=\frac1{\sqrt2}$ per $\omega_c=\frac1{RC}$ (pulsazione di taglio a $-3$ dB: la potenza si dimezza). Per $R=1$ k$\Omega$ e $C=1\,\mu$F: $RC=1$ ms, $\omega_c=1000$ rad/s, $f_c=\frac{1000}{2\pi}\approx159$ Hz. È stabile ($h\in L^1$) e causale. L'equazione differenziale che lo descrive è un caso di EDOLCC (Equazioni differenziali lineari a coefficienti costantiUn'EDOLCC $\sum a_ky^{(k)}=\sum b_kx^{(k)}$ descrive molti sistemi fisici (circuiti RC, massa-molla-smorzatore). Le soluzioni dell'omogenea formano uno spazio vettoriale di dimensione $n$ con base $t^he^{\lambda t}$ ($\lambda$ radici del polinomio caratteristico $a(s)$). La soluzione generale è libera (dalle condizioni iniziali) più forzata (dall'ingresso); il sistema LTI causale associato ha funzione di trasferimento $b(s)/a(s)$.Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti →).

Connessioni in frequenza

Si ricavano subito dalla proprietà del prodotto.

• Serie: $H=H_1H_2$.
• Parallelo: $H=H_1+H_2$.
• Retroazione (anello con $H_1$ nel ramo diretto e $H_2$ in retroazione): $Y=H_1(X-Z)$ con $Z=H_2Y$, quindi $Y(1+H_1H_2)=H_1X$: $$H=\frac{H_1}{1+H_1H_2}.$$

Esempio (tema d'esame, filtro che "sposta" un triangolo). Un filtro manda $x(t)=\Lambda\left(\frac t3\right)$ nel segnale $y(t)=\Lambda\left(\frac{t+2}3\right)+2\Lambda\left(\frac t3\right)+4\Lambda\left(\frac{t-1}3\right)$. Usando ritardo e linearità: $Y=X\left[e^{j2\omega}+2+4e^{-j\omega}\right]$, quindi $$H(\omega)=e^{j2\omega}+2+4e^{-j\omega},\qquad h(t)=\delta(t+2)+2\delta(t)+4\delta(t-1).$$ Il filtro è la somma di tre copie dell'ingresso (anticipata di 2, ferma, ritardata di 1): non causale (c'è $\delta(t+2)$), BIBO stabile (somma finita di impulsi, $\int|h|=1+2+4=7$). La risposta al gradino è $u(t+2)+2u(t)+4u(t-1)$.

Modulazione di ampiezza (AM)

Per trasmettere un segnale $x(t)$ "in banda base" (per esempio audio, con banda limitata a $\omega_M$) su un canale che lascia passare solo frequenze alte (radio), si trasla lo spettro moltiplicando per una portante $\cos(\omega_0t)$ con $\omega_0\gg\omega_M$.

Modulazione DSB-SC (doppia banda laterale, portante soppressa): $$s(t)=x(t)\cos(\omega_0t)\quad\leftrightarrow\quad S(\omega)=\frac12\left[X(\omega-\omega_0)+X(\omega+\omega_0)\right].$$ Lo spettro $X$ (banda $\omega_M$) è dimezzato e centrato in $\pm\omega_0$. Le due copie non si sovrappongono se $\omega_0\ge\omega_M$.

Demodulazione sincrona. Il ricevitore moltiplica per $\cos(\omega_0t)$ (portante locale) e filtra: $$w(t)=s(t)\cos(\omega_0t)=x(t)\cos^2(\omega_0t)=\frac12x(t)+\frac12x(t)\cos(2\omega_0t),$$ $$W(\omega)=\frac12X(\omega)+\frac14\left[X(\omega-2\omega_0)+X(\omega+2\omega_0)\right].$$ Compare la copia in banda base di $X$ (altezza dimezzata) e due copie a $\pm2\omega_0$. Un passa-basso ideale con guadagno $K=2$ (per compensare il $\frac12$) e frequenza di taglio $\omega_c$ con $\omega_M\le\omega_c\le2\omega_0-\omega_M$ recupera esattamente $x$.

Energia. $E_s=\frac1{2\pi}\int|S|^2=\frac1{2\pi}\cdot2\cdot\frac14\int|X|^2=\frac12E_x$ (se le due copie non si sovrappongono): la modulazione dimezza l'energia.

Errore di fase. Se la portante locale è sfasata, $\cos(\omega_0t+\phi)$: $$s(t)\cos(\omega_0t+\phi)=x\cos(\omega_0t)\cos(\omega_0t+\phi)=\frac12x\cos\phi+\frac12x\cos(2\omega_0t+\phi),$$ (usando $\cos a\cos b=\frac12[\cos(a-b)+\cos(a+b)]$). Dopo il passa-basso con $K=2$ l'uscita è $x(t)\cos\phi$: ampiezza ridotta del fattore $\cos\phi$ e energia ridotta di $\cos^2\phi$. Per $\phi=\pm\frac\pi2$ (portanti in quadratura) l'uscita è nulla. Per questo i ricevitori devono sincronizzare la fase della portante.

Esempio numerico (tema d'esame gennaio 2026, Esercizio 17 · modulazione e demodulazione con errore di fase (tema d'esame gennaio 2026)). $X(\omega)=\Lambda\left(\frac\omega{10\pi}\right)$ (banda $\omega_M=10\pi$): $x(t)=5\operatorname{sinc}^2(5t)$. Energia: $E_x=\frac1{2\pi}\int\Lambda^2\left(\frac\omega{10\pi}\right)d\omega=\frac{10\pi}{2\pi}\int\Lambda^2(v)dv=5\cdot\frac23=\frac{10}3$, quindi con portante $\omega_0>10\pi$: $E_y=\frac{E_x}2=\frac53$ e con errore di fase $\phi$: $E=\frac{10}3\cos^2\phi$.

AM con portante (radio commerciale). $s(t)=[A+x(t)]\cos(\omega_0t)=A\cos(\omega_0t)+x(t)\cos(\omega_0t)$ con $A\ge\max|x|$: la portante $A\cos\omega_0t$ (due righe di Dirac nello spettro) permette di demodulare con un semplice rivelatore di inviluppo (raddrizzatore e filtro) senza sincronizzare la fase. Si paga in energia: parte della potenza sta nella portante, che non porta informazione.

Esempio svolto: filtro passa-banda ottenuto modulando un passa-basso (tema d'esame settembre 2024)

Il sistema LTI $S$ ha risposta impulsiva $h(t)=\operatorname{sinc}\left(\frac tT\right)$. Il segnale reale $x(t)$ è passa-banda: il suo spettro è contenuto in $(-\omega_b,-\omega_a)\cup(\omega_a,\omega_b)$.

1. Causalità. $h$ è non nulla per $t>0$ e per $t<0$: $S$ è non causale.
2. Banda di $h$. $H(\omega)=T\operatorname{rect}\left(\frac{T\omega}{2\pi}\right)=\frac{2\pi}{\omega_0}\operatorname{rect}\left(\frac\omega{\omega_0}\right)$ con $\omega_0=\frac{2\pi}T$: supporto $\left(-\frac{\omega_0}2,\frac{\omega_0}2\right)$ (passa-basso).
3. Instabilità. $H$ è discontinua in $\pm\frac{\omega_0}2$; se $h$ fosse in $L^1$ la sua TF sarebbe continua (Spazi di segnali L1, L2 e L-infinitoGli spazi $L^1$ (area del modulo finita), $L^2$ (energia finita) e $L^\infty$ (segnale limitato) classificano i segnali e dicono quali teoremi si possono usare: $L^1$ per l'esistenza della trasformata di Fourier e la stabilità BIBO, $L^2$ per Parseval. Nel discreto valgono le inclusioni $\ell^1 \subset \ell^2 \subset \ell^\infty$, nel continuo no.Spazi di segnali L1, L2 e L-infinito →), quindi $h\notin L^1$ e $S$ non è BIBO stabile.
4. Uscita se le bande sono disgiunte. Se $\frac{\omega_0}2\le\omega_a$ (il passa-basso arriva sotto la banda di $x$), $H(\omega)X(\omega)=0$ per ogni $\omega$ e l'uscita è identicamente nulla: un LTI non fa passare ciò che il suo spettro non contiene.
5. Un filtro modulato che lascia $x$ inalterato. Si pone $h_1(t)=A\,h(t)\cos(\omega_mt)$. Per la modulazione $H_1(\omega)=\frac A2\left[H(\omega-\omega_m)+H(\omega+\omega_m)\right]$: due rettangoli di larghezza $\omega_0$ centrati in $\pm\omega_m$. Se $\omega_b-\omega_a=\omega_0$ (la banda di $x$ è larga quanto il passa-basso), conviene $\omega_m=\frac{\omega_a+\omega_b}{2}$ (centro della banda di $x$): i rettangoli coincidono con il supporto dello spettro di $x$. In quella zona $H_1=\frac A2\cdot\frac{2\pi}{\omega_0}=\frac{A\pi}{\omega_0}$ e, per avere $H_1=1$ (così $h_1*x=x$), serve $$A=\frac{\omega_0}\pi=\frac2T,\qquad\omega_m=\frac{\omega_a+\omega_b}2.$$ Il filtro $h_1=\frac2T\operatorname{sinc}\left(\frac tT\right)\cos(\omega_mt)$ è un passa-banda ideale centrato sulla banda di $x$ (come in tabella: $h_{BP}=2\cos(\omega_0t)h_{LP}$). Anche $S_1$ è non causale e non stabile.

Errori comuni

• Dimenticare il fattore $\frac12$ nello spettro modulato o il guadagno $2$ del filtro in demodulazione.
• Scegliere un taglio $\omega_c$ che include le copie a $\pm2\omega_0$ (serve $\omega_c<2\omega_0-\omega_M$).
• Credere che un filtro possa spostare in frequenza (serve la moltiplicazione per una portante, che è un sistema non tempo-invariante).
• Usare $h$ del passa-basso ideale in un esercizio di stabilità senza accorgersi che $\operatorname{sinc}\notin L^1$.