Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti

Molti sistemi fisici sono descritti da un'equazione che lega l'ingresso $x$, l'uscita $y$ e le loro derivate. L'esempio più semplice è un circuito RC; uno meno banale è il sistema massa-molla-smorzatore. Questa nota riprende e adatta al linguaggio dei sistemi ciò che si conosce da Analisi (Equazioni differenziali lineari del secondo ordiney'' + a1(t)y' + a0(t)y = b(t) con coefficienti continui su un intervallo: le soluzioni sono definite su tutto l'intervallo e il problema di Cauchy con y(t0), y'(t0) ha una sola soluzione. L'integrale generale dell'omogenea è c1 y1 + c2 y2 con y1, y2 soluzioni linearmente indipendenti (controllo con il wronskiano); quello della completa è yp + c1 y1 + c2 y2, con yp una soluzione particolare. Stessa struttura per ogni ordine n.Equazioni differenziali lineari del secondo ordine →, Esistenza e unicità per il problema di CauchyProblema di Cauchy: y' = f(t, y), y(t0) = y0. Peano: f continua ⇒ esiste almeno una soluzione locale (non unica: y' = √|y|, y(0) = 0). Cauchy-Lipschitz: f continua e lipschitziana in y (basta f e ∂f/∂y continue) ⇒ soluzione unica in un intorno di t0. La soluzione può esplodere in tempo finito (y' = y², y' = 1 + y²); se f è lipschitziana in y su tutta la striscia [a, b] × R la soluzione esiste su tutto [a, b]. Un'equazione di ordine n si riduce a un sistema del primo ordine.Esistenza e unicità per il problema di Cauchy →): lo scopo è collegare l'equazione alla risposta impulsiva e alla funzione di trasferimento (Laplace unilatera, funzione di trasferimento e stabilitàCon la trasformata unilatera $X(s)=\int_{0^-}^\infty x(t)e^{-st}dt$ le derivate diventano $\mathcal L[y']=sY-y(0^-)$: un problema di Cauchy causale si riduce a un'equazione algebrica, $Y=\frac{b}{a}X+\frac{\text{termini iniziali}}{a}$ (forzata + libera). La funzione di trasferimento è $H(s)=b(s)/a(s)$; il sistema causale è BIBO stabile se e solo se $H$ è propria e tutti i poli hanno parte reale negativa.Laplace unilatera, funzione di trasferimento e stabilità →).

Definizione

Un'equazione differenziale ordinaria lineare a coefficienti costanti (EDOLCC) è $$\sum_{k=0}^{n}a_k\,y^{(k)}(t)=\sum_{k=0}^{m}b_k\,x^{(k)}(t),\qquad a_n\ne0,$$ con $a_k,b_k$ costanti (reali o complesse), $x$ segnale noto (anche generalizzato: può contenere $\delta$, Delta di Dirac e derivate generalizzateLa delta di Dirac $\delta(t)$ è l'impulso ideale: area 1 concentrata in un punto, definita dalla proprietà rivelatrice $\int x(t)\delta(t-t_0)dt = x(t_0)$. Nel discreto la delta di Kronecker vale 1 in $n=0$. La derivata (generalizzata) di un salto di ampiezza $\Delta$ contiene una delta di area $\Delta$; così si derivano i segnali a tratti.Delta di Dirac e derivate generalizzate →) e $y$ incognita. L'esponente $(k)$ indica la derivata $k$-esima. L'intero $n$ è l'ordine dell'equazione. Si introducono i due polinomi $$a(s)=\sum_{k=0}^na_ks^k\ \ (\textbf{polinomio caratteristico}),\qquad b(s)=\sum_{k=0}^mb_ks^k.$$ Ad esempio $y''+7y'+12y=x'-5x$ ha $a(s)=s^2+7s+12$ e $b(s)=s-5$.

Il problema di Cauchy

Per determinare $y$ non basta l'equazione: bisogna assegnare le condizioni iniziali $y(t_0),y'(t_0),\ldots,y^{(n-1)}(t_0)$ (lo "stato" del sistema in $t_0$). Teorema (esistenza e unicità): dato $x$ e le $n$ condizioni iniziali esiste una e una sola soluzione. Per sistemi causali che partono dall'istante $0$ si usano le condizioni in $t=0^-$ (prima che l'ingresso agisca): $y(0^-),\ldots,y^{(n-1)}(0^-)$.

Struttura delle soluzioni

L'equazione è lineare: se $y_1$ e $y_2$ risolvono l'equazione per gli ingressi $x_1,x_2$ allora $\alpha y_1+\beta y_2$ la risolve per $\alpha x_1+\beta x_2$. In particolare:

L'insieme $Y_O$ delle soluzioni dell'omogenea $\sum a_ky^{(k)}=0$ è uno spazio vettoriale di dimensione $n$. La soluzione generale di $a(D)y=b(D)x$ è $y=y_p+y_o$, con $y_p$ una soluzione qualsiasi (particolare) e $y_o\in Y_O$ arbitraria.

Base di $Y_O$ dalle radici di $a(s)$. Si cercano soluzioni del tipo $e^{\lambda t}$: derivando, $y^{(k)}=\lambda^ke^{\lambda t}$ e l'omogenea diventa $a(\lambda)e^{\lambda t}=0$, cioè $a(\lambda)=0$. Si risolve quindi $a(s)=0$:

• radice semplice $\lambda$: il modo $e^{\lambda t}$;
• radice di molteplicità $\mu$: $\mu$ modi $e^{\lambda t},\,t\,e^{\lambda t},\ldots,t^{\mu-1}e^{\lambda t}$.

Se le radici distinte sono $\lambda_1,\ldots,\lambda_r$ con molteplicità $\mu_i$ ($\sum\mu_i=n$), una base di $Y_O$ è $\{t^he^{\lambda_it}:\ 1\le i\le r,\ 0\le h<\mu_i\}$. I segnali di base si chiamano modi del sistema.

Se i coefficienti sono reali e c'è una radice complessa $\lambda=\sigma+j\omega$, anche $\sigma-j\omega$ è radice; la coppia di modi $e^{\sigma t}e^{\pm j\omega t}$ si sostituisce con i due modi reali $e^{\sigma t}\cos\omega t$ e $e^{\sigma t}\sin\omega t$.

(Le basi sono state controllate con la risoluzione simbolica delle equazioni.) Per $a(s)=s^2+7s+12=(s+3)(s+4)$ la soluzione generale dell'omogenea è $y_o(t)=c_1e^{-3t}+c_2e^{-4t}$ con $c_1,c_2$ costanti da fissare con le condizioni iniziali.

Il segno della parte reale detta il comportamento. Un modo $t^he^{\sigma t}\cos(\omega t+\varphi)$ decade a zero per $t\to\infty$ se $\sigma<0$, non decade se $\sigma=0$ (oscilla senza smorzarsi, o cresce come un polinomio se $h\ge1$), diverge se $\sigma>0$. Per questo la stabilità si legge sulle radici (Laplace unilatera, funzione di trasferimento e stabilitàCon la trasformata unilatera $X(s)=\int_{0^-}^\infty x(t)e^{-st}dt$ le derivate diventano $\mathcal L[y']=sY-y(0^-)$: un problema di Cauchy causale si riduce a un'equazione algebrica, $Y=\frac{b}{a}X+\frac{\text{termini iniziali}}{a}$ (forzata + libera). La funzione di trasferimento è $H(s)=b(s)/a(s)$; il sistema causale è BIBO stabile se e solo se $H$ è propria e tutti i poli hanno parte reale negativa.Laplace unilatera, funzione di trasferimento e stabilità →).

Evoluzione libera e forzata

L'uscita dell'equazione con ingresso $x$ e condizioni iniziali date è la somma di due contributi (per linearità):

$$y(t)=\underbrace{y_\ell(t)}_{\text{evoluzione libera}}+\underbrace{y_f(t)}_{\text{evoluzione forzata}}.$$

• $y_\ell$: uscita con ingresso nullo e le condizioni iniziali assegnate. Sta in $Y_O$ (combinazione dei modi).
• $y_f$: uscita con condizioni iniziali nulle (il sistema parte da fermo) e ingresso $x$. È la parte "causata dall'ingresso".

Il sistema LTI causale associato all'equazione è quello che a ogni ingresso $x$ (nullo per $t<0$) associa $y_f$, cioè l'uscita con condizioni iniziali nulle. È lineare, tempo-invariante e causale: ha dunque una risposta impulsiva $h$ (Sistemi LTI, risposta impulsiva e convoluzioneUn sistema lineare tempo-invariante (LTI) è completamente descritto dalla sua risposta impulsiva $h=\Sigma[\delta]$: l'uscita è la convoluzione $y=x*h$, cioè $y(t)=\int x(u)h(t-u)du$ (somma $\sum_k x(k)h(n-k)$ nel discreto). Il teorema discende da linearità e tempo-invarianza applicate alla scomposizione del segnale in impulsi.Sistemi LTI, risposta impulsiva e convoluzione →) e $y_f=h*x$. Nei temi d'esame "il sistema LTI causale associato all'EDOLCC" è esattamente questo.

Risposta impulsiva di un'equazione del primo ordine. Per $y'+\alpha y=\delta(t)$ con condizioni nulle: per $t<0$ è $y=0$; integrando l'equazione su un intorno di $0$ ($\int_{0^-}^{0^+}y'=y(0^+)-y(0^-)$ e $\int y$ è trascurabile se $y$ è limitata) si ottiene $y(0^+)=1$, e per $t>0$ vale l'omogenea con questa condizione iniziale: $y=e^{-\alpha t}$. Quindi $h(t)=e^{-\alpha t}u(t)$. Un impulso "carica" istantaneamente lo stato a $y(0^+)=1$ e poi il sistema evolve liberamente.

Collegamento con la TF. Se il sistema è stabile, trasformando l'equazione con la TF ($y^{(k)}\to(j\omega)^kY$): $a(j\omega)Y(\omega)=b(j\omega)X(\omega)$, cioè $$H(\omega)=\frac{b(j\omega)}{a(j\omega)}.$$ Con la trasformata di Laplace si ha l'analoga $H(s)=\frac{b(s)}{a(s)}$ (funzione di trasferimento): i coefficienti dell'equazione sono i coefficienti dei polinomi (Laplace unilatera, funzione di trasferimento e stabilitàCon la trasformata unilatera $X(s)=\int_{0^-}^\infty x(t)e^{-st}dt$ le derivate diventano $\mathcal L[y']=sY-y(0^-)$: un problema di Cauchy causale si riduce a un'equazione algebrica, $Y=\frac{b}{a}X+\frac{\text{termini iniziali}}{a}$ (forzata + libera). La funzione di trasferimento è $H(s)=b(s)/a(s)$; il sistema causale è BIBO stabile se e solo se $H$ è propria e tutti i poli hanno parte reale negativa.Laplace unilatera, funzione di trasferimento e stabilità →). I poli di $H$ sono radici di $a(s)$ (a meno di semplificazioni con le radici di $b$).

Due sistemi fisici

Circuito RC. Con $x$ tensione di ingresso e $y$ tensione sul condensatore: $RC\,y'+y=x$. È del primo ordine, $a(s)=RC\,s+1$, radice $-\frac1{RC}$, $Y_O=\{c\,e^{-t/RC}\}$, $h(t)=\frac1{RC}e^{-t/RC}u(t)$ (Filtri, modulazione e trasmissione AMIn frequenza un filtro LTI moltiplica: $Y(\omega)=H(\omega)X(\omega)$ (serie, parallelo, retroazione diventano $H_1H_2$, $H_1+H_2$, $\frac{H_1}{1+H_1H_2}$). I filtri ideali (passa-basso, passa-alto, passa-banda) hanno $h$ non causale e instabile; il filtro RC è il passa-basso reale. La modulazione $x(t)\cos\omega_0t$ trasla lo spettro in $\pm\omega_0$ e si demodula con la stessa portante e un passa-basso di guadagno 2.Filtri, modulazione e trasmissione AM →).

Massa-molla-smorzatore. Una massa $m$ attaccata a una molla (costante $k$) e a uno smorzatore (coefficiente $c$), spinta da una forza $x(t)$, ha posizione $y(t)$ che soddisfa $$m\,y''+c\,y'+k\,y=x.$$ Il polinomio $a(s)=ms^2+cs+k$ ha radici $\lambda=\frac{-c\pm\sqrt{c^2-4mk}}{2m}$. Tre regimi:

• $c^2>4mk$ (sovrasmorzato): due radici reali negative, modi esponenziali decrescenti;
• $c^2=4mk$ (smorzamento critico): radice reale doppia, modi $e^{\lambda t},te^{\lambda t}$;
• $c^2<4mk$ (sottosmorzato): radici complesse coniugate $\sigma\pm j\omega$ con $\sigma=-\frac c{2m}<0$: oscillazioni smorzate. Esempio: $m=1$, $c=2$, $k=10$: $\lambda=-1\pm3j$, $y_o=e^{-t}(A\cos3t+B\sin3t)$ (periodo $\frac{2\pi}3$, ampiezza che decade con costante di tempo $1$).

Senza attrito ($c=0$): $a(s)=ms^2+k$, radici $\pm j\sqrt{\frac km}$, oscillazioni non smorzate di pulsazione $\omega_0=\sqrt{k/m}$.

Risonanza. Con $m=1$, $k=4$ ($\omega_0=2$), $c=0$ e forza $x(t)=\cos(2t)u(t)$ (alla pulsazione propria), con condizioni nulle: $y(t)=\frac{t\sin(2t)}4$ (verificata con la soluzione simbolica). L'ampiezza cresce linearmente nel tempo anche se l'ingresso è limitato. Si dice risonante un sistema in cui a un ingresso sinusoidale limitato corrisponde un'uscita del tipo "sinusoide $\times$ polinomio di grado $\ge1$": succede quando le radici di $a(s)$ sono immaginarie pure e coincidono con la pulsazione dell'ingresso. Un sistema risonante non è BIBO stabile (tema d'esame giugno 2024).

Errori comuni

• Dimenticare che la dimensione di $Y_O$ è $n$: servono $n$ condizioni iniziali per fissare le $n$ costanti.
• Con una radice doppia, scrivere solo $e^{\lambda t}$ e non $te^{\lambda t}$.
• Per radici complesse, lasciare i modi complessi quando il sistema è reale invece di scriverli con $\cos$ e $\sin$.
• Confondere evoluzione libera e forzata: la risposta impulsiva è la forzata (condizioni iniziali nulle).
• Dire che $H(\omega)=\frac{b(j\omega)}{a(j\omega)}$ per un sistema non stabile (la TF di $h$ non esiste come funzione).