Trasformata di Fourier a tempo discreto (TFtd)

La trasformata di Fourier a tempo discreto (TFtd, in inglese DTFT) è la trasformata dei segnali discreti aperiodici. Come la TF per i segnali continui aperiodici (Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempiLa trasformata di Fourier $X(\omega)=\int x(t)e^{-j\omega t}dt$ estende la serie ai segnali aperiodici; si inverte con $x(t)=\frac1{2\pi}\int X(\omega)e^{j\omega t}d\omega$. Esiste per $x\in L^1$ (e per $x\in L^2$ in senso quadratico). Coppie fondamentali: $e^{-at}u\leftrightarrow\frac1{a+j\omega}$, $e^{-a|t|}\leftrightarrow\frac{2a}{a^2+\omega^2}$, $\operatorname{rect}(t)\leftrightarrow\operatorname{sinc}\frac\omega{2\pi}$, $\operatorname{sinc}(t)\leftrightarrow\operatorname{rect}\frac\omega{2\pi}$.Trasformata di Fourier - definizione, inversione ed esempi →), produce uno spettro continuo; e in più, poiché le pulsazioni discrete sono definite modulo $2\pi$ (Segnali periodici, sinusoidi ed esponenziali immaginari puriUn segnale continuo è periodico di periodo T se x(t+T)=x(t); $e^{j2\pi f_0t}$ ha periodo minimo $1/|f_0|$ e una somma di periodici è periodica solo se il rapporto dei periodi è razionale. A tempo discreto $e^{j2\pi\nu n}$ è periodico solo se $\nu$ è razionale, e le pulsazioni che differiscono di $2\pi$ sono lo stesso segnale: ogni sinusoide si riporta alla forma canonica con $\omega\in[0,\pi]$.Segnali periodici, sinusoidi ed esponenziali immaginari puri →), lo spettro è periodico di periodo $2\pi$.

Definizione

$$\boxed{X(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)\,e^{-j\omega n}\quad(\text{analisi}),\qquad x(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(\omega)\,e^{j\omega n}\,d\omega\quad(\text{sintesi}).}$$

Perché la sintesi. $X(\omega)$ è una funzione periodica di periodo $2\pi$ in $\omega$, e la formula di analisi è proprio uno sviluppo in serie di Fourier di $X$ in $\omega$ (con la variabile $\omega$ al posto di $t$, periodo $2\pi$ e coefficienti $x(-n)$ per le armoniche $e^{jn\omega}$). Le armoniche sono ortogonali: $\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{j\omega(n-m)}d\omega=\delta_{nm}$. Moltiplicando l'analisi per $\frac1{2\pi}e^{j\omega m}$ e integrando su un periodo sopravvive il solo termine $n=m$, cioè $x(m)$. Il ruolo di tempo e frequenza è scambiato rispetto alla serie.

Esistenza. Se $x\in\ell^1$ ($\sum|x(n)|<\infty$, Spazi di segnali L1, L2 e L-infinitoGli spazi $L^1$ (area del modulo finita), $L^2$ (energia finita) e $L^\infty$ (segnale limitato) classificano i segnali e dicono quali teoremi si possono usare: $L^1$ per l'esistenza della trasformata di Fourier e la stabilità BIBO, $L^2$ per Parseval. Nel discreto valgono le inclusioni $\ell^1 \subset \ell^2 \subset \ell^\infty$, nel continuo no.Spazi di segnali L1, L2 e L-infinito →) la serie converge (assolutamente) e $X$ è continua. Per $x\in\ell^2$ si ha convergenza in media quadratica. Costanti e sinusoidi si trattano con le $\delta$ (periodiche). Nel discreto, per una sequenza di energia finita non servono condizioni sui massimi e sulle discontinuità.

Legame con i sistemi. La risposta in frequenza di un sistema LTI discreto stabile è $H(\omega)=\sum_nh(n)e^{-j\omega n}$, cioè la TFtd di $h$ (Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidaleGli esponenziali complessi $e^{j\omega t}$ sono autofunzioni dei sistemi LTI stabili: escono moltiplicati per la risposta in frequenza $H(\omega)=\int h(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau$. Per un sistema reale, $A\cos(\omega_0t+\varphi)$ esce come $A|H(\omega_0)|\cos(\omega_0t+\varphi+\arg H(\omega_0))$: la frequenza non cambia, cambiano ampiezza e fase.Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidale →), e per ingresso $x$ l'uscita ha $Y=HX$.

Coppie fondamentali

1. Impulso. $\delta(n)\leftrightarrow1$ e $\delta(n-n_0)\leftrightarrow e^{-j\omega n_0}$.

2. Esponenziale causale. $x(n)=a^nu(n)$ con $|a|<1$ (condizione di sommabilità, $\sum|a|^n=\frac1{1-|a|}$): $$X(\omega)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(ae^{-j\omega}\right)^n=\frac{1}{1-ae^{-j\omega}}.$$ Si è usata la serie geometrica di ragione $ae^{-j\omega}$, il cui modulo è $|a|<1$. Il modulo quadro: $|1-ae^{-j\omega}|^2=(1-a\cos\omega)^2+a^2\sin^2\omega=1+a^2-2a\cos\omega$, quindi $$|X(\omega)|^2=\frac{1}{1+a^2-2a\cos\omega}.$$ Per $a=\frac12$: $|X|^2=\frac1{\frac54-\cos\omega}$ (massimo $4$ in $\omega=0$, minimo $\frac49$ in $\omega=\pi$): passa-basso.

3. Finestra rettangolare $w_N(n)=1$ per $|n|\le N$ ($2N+1$ campioni). Con la somma di Dirichlet (Numeri complessi, formula di Eulero ed esponenziali complessiUn numero complesso si scrive in forma cartesiana a+jb o polare |x|e^{jφ}; il prodotto moltiplica i moduli e somma le fasi. La formula di Eulero e^{jα}=cos α + j sin α lega esponenziali e sinusoidi e permette di trattare tutti i segnali del corso come somme di esponenziali complessi e^{(σ+jω)t}.Numeri complessi, formula di Eulero ed esponenziali complessi →): $$W_N(\omega)=\sum_{n=-N}^{N}e^{-j\omega n}=e^{j\omega N}\sum_{m=0}^{2N}e^{-j\omega m}=e^{j\omega N}\frac{1-e^{-j\omega(2N+1)}}{1-e^{-j\omega}}=\frac{\sin\left(\frac{2N+1}2\omega\right)}{\sin\frac\omega2}.$$ (Il passaggio vale per $\omega\neq2\pi k$; l'espressione si prolunga per continuità, con valore $2N+1$ in $\omega=2\pi k$.) È il nucleo di Dirichlet: reale e pari come il segnale, periodico (nel continuo il rect dà un sinc non periodico). Zeri in $\omega=\frac{2\pi k}{2N+1}$, $k$ non multiplo di $2N+1$. Per $N=5$ il valore in $0$ è $11$.

4. Costante e sinusoidi (con delta periodiche): $1\leftrightarrow2\pi\sum_k\delta(\omega-2\pi k)$, $e^{j\omega_0n}\leftrightarrow2\pi\sum_k\delta(\omega-\omega_0-2\pi k)$, $\cos(\omega_0n)\leftrightarrow\pi\sum_k\left[\delta(\omega-\omega_0-2\pi k)+\delta(\omega+\omega_0-2\pi k)\right]$.

5. Gradino. $u(n)\leftrightarrow\frac1{1-e^{-j\omega}}+\pi\sum_k\delta(\omega-2\pi k)$ (parte dispari più la media $\frac12$; vedi la regola di somma corrente sotto).

Proprietà

Sono le stesse della TF continua (Proprietà della trasformata di FourierCon le proprietà (linearità, simmetrie, ritardo $\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}$, modulazione $\leftrightarrow$ traslazione in frequenza, scala, dualità, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $E=\frac1{2\pi}\int|X|^2$, derivata $\leftrightarrow j\omega$, moltiplicazione per $t\leftrightarrow j,d/d\omega$, integrazione) quasi tutte le trasformate si ottengono da poche coppie base senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →), con le convoluzioni in frequenza intese sul periodo $2\pi$:

Le dimostrazioni sono quelle del continuo con somme: per esempio il ritardo: $\sum x(n-n_0)e^{-j\omega n}=\sum x(m)e^{-j\omega(m+n_0)}=e^{-j\omega n_0}X$. Per la derivata in frequenza: $\frac{dX}{d\omega}=\sum x(n)(-jn)e^{-j\omega n}$, quindi $\mathcal F[nx(n)]=j\frac{dX}{d\omega}$.

Esempio: $n\,a^nu(n)$ (tema d'esame, area di $n\,a^nu(n)$). Dalla coppia 2: $\frac{d}{d\omega}\left(1-ae^{-j\omega}\right)^{-1}=-\frac{ja\,e^{-j\omega}}{(1-ae^{-j\omega})^2}$, moltiplicando per $j$: $$na^nu(n)\leftrightarrow\frac{a\,e^{-j\omega}}{\left(1-ae^{-j\omega}\right)^2},\qquad\text{area }X(0)=\frac a{(1-a)^2}\ \left(=\sum_nna^n\right).$$ Esempio dell'incremento: il sistema $y(n)=x(n)-x(n-1)$ ("derivata discreta") ha $H=1-e^{-j\omega}=e^{-j\omega/2}\,2j\sin\frac\omega2$: guadagno $|H|=2|\sin\frac\omega2|$, nullo in $\omega=0$ (passa-alto). Con l'incremento si trova anche la TFtd del segno discreto $v(n)$ ($=1$ per $n\ge0$, $-1$ per $n<0$): $v(n)-v(n-1)=2\delta(n)$, quindi $(1-e^{-j\omega})V(\omega)=2$ e $V(\omega)=\frac{2}{1-e^{-j\omega}}$ (senza termini in $\delta$ perché $v$ ha valor medio nullo), come nel tema d'esame di febbraio 2023.

Per scala: il discreto non ha la regola di scala, ma ha due operazioni analoghe:

• decimazione $y(n)=x(Mn)$: $Y(\omega)=\frac1M\sum_{m=0}^{M-1}X\left(\frac{\omega-2\pi m}M\right)$ (lo spettro si dilata di $M$ e si sommano $M$ repliche: aliasing se $X$ occupa più di $\frac\pi M$);
• espansione con zeri $y(n)=x(n/L)$ per $n$ multiplo di $L$, $0$ altrove: $Y(\omega)=X(L\omega)$ (lo spettro si comprime e si ripete $L$ volte in $[0,2\pi)$).

(La formula della decimazione è stata verificata numericamente su una sequenza casuale.)

Sistemi discreti in frequenza

Per un sistema con $H(\omega)=\sum h(n)e^{-j\omega n}$ la fase e il modulo si calcolano come nel continuo (Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidaleGli esponenziali complessi $e^{j\omega t}$ sono autofunzioni dei sistemi LTI stabili: escono moltiplicati per la risposta in frequenza $H(\omega)=\int h(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau$. Per un sistema reale, $A\cos(\omega_0t+\varphi)$ esce come $A|H(\omega_0)|\cos(\omega_0t+\varphi+\arg H(\omega_0))$: la frequenza non cambia, cambiano ampiezza e fase.Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidale →). Due esempi d'esame (febbraio 2024 e febbraio 2023):

• $h_1(n)=\delta(n+1)-\frac12\delta(n)$: $H_1=e^{j\omega}-\frac12$ e $|H_1|^2=\left|\cos\omega-\frac12+j\sin\omega\right|^2=\cos^2\omega-\cos\omega+\frac14+\sin^2\omega=\frac54-\cos\omega$. Il sistema $h_2(n)=2^{-n}u(n)$ ha $H_2=\frac1{1-\frac12e^{-j\omega}}$ e $|H_2|^2=\frac1{\frac54-\cos\omega}$ (coppia 2). La serie ha $H_1H_2=\frac{e^{j\omega}\left(1-\frac12e^{-j\omega}\right)}{1-\frac12e^{-j\omega}}=e^{j\omega}$: un anticipo $h(n)=\delta(n+1)$ (Esercizio 7 · cascata di due sistemi discreti e ingresso sinusoidale (tema d'esame febbraio 2024)).
• Passa-tutto: $H_2(\omega)=\frac{1-2e^{-j\omega}}{1-\frac12e^{-j\omega}}$. Si calcola $|1-2e^{-j\omega}|^2=5-4\cos\omega$ e $|1-\frac12e^{-j\omega}|^2=\frac54-\cos\omega=\frac14(5-4\cos\omega)$, quindi $|H_2|^2=4$: $|H_2|=2$ per ogni $\omega$ (Esercizio 8 · sistema anticausale e filtro passa-tutto (tema d'esame febbraio 2023)).

TFtd, TFD e zero-padding

Se $x$ è una sequenza finita su $\{0,1,\ldots,N-1\}$ la somma ha $N$ termini: $X(\omega)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\omega n}$. Prendendo la sua ripetizione periodica di periodo $M\ge N$ (si aggiungono $M-N$ zeri: zero-padding) e calcolandone la TFD (Trasformata di Fourier discreta (TFD)La TFD è la serie di Fourier dei segnali discreti periodici di periodo $N$: servono solo $N$ armoniche, $X(k)=\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j2\pi kn/N}$ e $x(n)=\sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{j2\pi kn/N}$. È un prodotto matrice-vettore in $\mathbb{C}^N$ (la matrice di Fourier); la convoluzione circolare diventa prodotto, $N X(k)Y(k)$. La FFT la calcola in $O(N\log N)$.Trasformata di Fourier discreta (TFD) →): $$X_M(k)=\frac1M\sum_{n=0}^{M-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi}Mkn}=\frac1MX\left(\frac{2\pi k}M\right).$$ La TFD di $M$ punti contiene $M$ campioni equispaziati di $X(\omega)$ nel periodo $[0,2\pi)$ (a meno del fattore $\frac1M$). Con $M$ grande a piacere si campiona $X$ con risoluzione arbitrariamente fine: è lo strumento per visualizzare lo spettro di un segnale finito (domanda teorica ricorrente nei temi d'esame; dettagli pratici in FFT e zero-padding - TF, TFtd e asse delle pulsazioniLa FFT dei campioni di un segnale a durata finita, moltiplicata per il passo $T_c$, approssima la trasformata di Fourier: $X(\omega_k)\approx T_c,\mathtt{fft}(x,M)[k]$ con $\omega_k=\frac{2\pi k}{MT_c}$ (e fattore di fase $e^{-j\omega t_0}$ se l'asse parte da $t_0$). Lo zero-padding ($M>N$) infittisce i punti della stessa TFtd senza aggiungere informazione; la risoluzione dipende dalla durata osservata. Per un segnale reale $|X|$ è simmetrico: il picco in $k$ ha un gemello in $M-k$.FFT e zero-padding - TF, TFtd e asse delle pulsazioni →). Lo zero-padding non aggiunge informazione: il segnale è lo stesso, si calcolano solo più punti della stessa curva continua.

Errori comuni

• Dimenticare che $X$ è periodica $2\pi$: la banda "alta" è vicino a $\pi$, non a $\infty$.
• Applicare la formula $\frac1{1-ae^{-j\omega}}$ con $|a|\ge1$ (la serie non converge).
• Usare la regola di scala del continuo: nel discreto servono decimazione ed espansione.
• Dimenticare di sommare le repliche nella decimazione.