Esercizio 23dalla coppia ingresso-uscita all'equazione differenziale (tema d'esame febbraio 2024)

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Teoria usata: Trasformata di Laplace - definizione e regione di convergenzaLa trasformata di Laplace (bilatera) $X(s)=\int x(t)e^{-st}dt$, con $s=\sigma+j\omega$, generalizza la TF a segnali che non stanno in $L^1$. Esiste solo nella regione di convergenza (ROC), una striscia verticale ${\sigma_1<\mathrm{Re},s<\sigma_2}$ (semipiano destro se il segnale è causale, sinistro se anticausale): la stessa espressione di $X(s)$ con ROC diverse corrisponde a segnali diversi. La TF è $X(s)$ calcolata sull'asse immaginario, se questo sta nella ROC.Trasformata di Laplace - definizione e regione di convergenza →, Laplace unilatera, funzione di trasferimento e stabilitàCon la trasformata unilatera $X(s)=\int_{0^-}^\infty x(t)e^{-st}dt$ le derivate diventano $\mathcal L[y']=sY-y(0^-)$: un problema di Cauchy causale si riduce a un'equazione algebrica, $Y=\frac{b}{a}X+\frac{\text{termini iniziali}}{a}$ (forzata + libera). La funzione di trasferimento è $H(s)=b(s)/a(s)$; il sistema causale è BIBO stabile se e solo se $H$ è propria e tutti i poli hanno parte reale negativa.Laplace unilatera, funzione di trasferimento e stabilità →, Antitrasformata di Laplace di funzioni razionaliPer antitrasformare una funzione razionale $X(s)=b(s)/a(s)$ si porta in forma propria con la divisione tra polinomi (resto $\to$ $\delta$ e derivate), si scompone in fratti semplici con il metodo dei limiti (poli semplici), con i termini in $1/(s-p)^k$ (poli multipli) o con $\frac{A(s-\sigma)+B\omega}{(s-\sigma)^2+\omega^2}$ (coppie complesse), e si antitrasforma termine a termine scegliendo causale o anticausale secondo la ROC.Antitrasformata di Laplace di funzioni razionali →.

(1) Le trasformate

Ingresso. $x(t)=e^{-2t}u(t)$: dalla formula con $A=1$, $B=0$, $\sigma=-2$, $\omega=0$ (oppure direttamente $e^{s_0t}u\leftrightarrow\frac1{s-s_0}$ con $s_0=-2$): $$X(s)=\frac1{s+2},\qquad\mathrm{ROC}:\ \mathrm{Re}\,s>-2.$$ Uscita. Si separano i due termini: $u(t)\leftrightarrow\frac1s$ ($\mathrm{Re}\,s>0$, formula con $A=1$, $\sigma=\omega=0$ dà $\frac{s}{s^2}$ cioè $\frac1s$) e $\cos(3t)u(t)\leftrightarrow\frac s{s^2+9}$ ($A=1$, $B=0$, $\sigma=0$, $\omega=3$): $$Y(s)=\frac1s+\frac s{s^2+9}.$$

(2) La funzione di trasferimento e l'equazione

$H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}$ (con stato nullo, $Y=HX$): $$H(s)=(s+2)\left[\frac1s+\frac s{s^2+9}\right]=(s+2)\cdot\frac{(s^2+9)+s^2}{s(s^2+9)}=\frac{(s+2)(2s^2+9)}{s(s^2+9)}.$$ Sviluppando il numeratore: $(s+2)(2s^2+9)=2s^3+4s^2+9s+18$, e il denominatore $s(s^2+9)=s^3+9s$: $$\boxed{H(s)=\frac{2s^3+4s^2+9s+18}{s^3+9s}}$$ L'equazione differenziale. I coefficienti dei polinomi sono quelli dell'equazione: $a(s)=s^3+9s$ (cioè $y'''+9y'$) e $b(s)=2s^3+4s^2+9s+18$ (cioè $2x'''+4x''+9x'+18x$): $$y'''+9y'=2x'''+4x''+9x'+18x.$$ (Equazione del terzo ordine. Si verifica che $x=e^{-2t}u$ produce $y=(1+\cos3t)u$: nel prodotto $H(s)X(s)$ il fattore $(s+2)$ del numeratore semplifica il polo $\frac1{s+2}$ dell'ingresso.)

(3) Stabilità

Il grado del numeratore coincide con quello del denominatore (3 e 3): la funzione è bipropria e la stabilità dipende dai poli. I poli sono le radici di $s^3+9s=s(s^2+9)$: $s=0$ e $s=\pm3j$. Non c'è cancellazione con il numeratore ($b(s)=(s+2)(2s^2+9)$ ha radici $-2$ e $\pm\frac{3}{\sqrt2}j$, diverse da $0,\pm3j$). Tutti i poli hanno parte reale nulla, non strettamente negativa: il sistema non è BIBO stabile (un ingresso sinusoidale a $\omega=3$ o un gradino produce un'uscita illimitata, come $t\sin3t$ o $t$). (Laplace unilatera, funzione di trasferimento e stabilitàCon la trasformata unilatera $X(s)=\int_{0^-}^\infty x(t)e^{-st}dt$ le derivate diventano $\mathcal L[y']=sY-y(0^-)$: un problema di Cauchy causale si riduce a un'equazione algebrica, $Y=\frac{b}{a}X+\frac{\text{termini iniziali}}{a}$ (forzata + libera). La funzione di trasferimento è $H(s)=b(s)/a(s)$; il sistema causale è BIBO stabile se e solo se $H$ è propria e tutti i poli hanno parte reale negativa.Laplace unilatera, funzione di trasferimento e stabilità →: poli immaginari semplici $\Rightarrow$ instabile.)

(4) La risposta impulsiva

Si porta $H$ in forma propria con la divisione ($m=n$): $H(s)=2+\frac{4s^2-9s+18}{s^3+9s}$ (infatti $2(s^3+9s)=2s^3+18s$ e $2s^3+4s^2+9s+18-(2s^3+18s)=4s^2-9s+18$). Fratti semplici con un polo reale e una coppia complessa: $$\frac{4s^2-9s+18}{s(s^2+9)}=\frac Cs+\frac{As+3B}{s^2+9}.$$

• $C=\lim_{s\to0}sH_{\text{res}}=\frac{18}{9}=2$.
• Per $A$ e $B$ si valuta in due punti, per esempio $s=1$ e $s=-1$: $\frac{4-9+18}{1\cdot10}=\frac{13}{10}=2+\frac{A+3B}{10}\Rightarrow A+3B=-7$; $\frac{4+9+18}{(-1)(10)}=-\frac{31}{10}=-2+\frac{-A+3B}{10}\Rightarrow-A+3B=-11$. Sommando: $6B=-18\Rightarrow B=-3$; sottraendo: $2A=4\Rightarrow A=2$.

(Confermato da $\frac{2s-9}{s^2+9}+\frac2s$ ottenuto con il calcolo simbolico.) Quindi $$H(s)=2+\frac2s+2\frac s{s^2+9}-3\frac3{s^2+9},\qquad h(t)=2\delta(t)+u(t)\left[2+2\cos(3t)-3\sin(3t)\right].$$ Si osserva: $2\delta(t)$ perché $m=n$; la costante $2$ (polo in $s=0$: integratore, non decade) e l'oscillazione non smorzata (poli $\pm3j$): $h\notin L^1$ ⇒ instabile, coerentemente con il punto 3.

(5) L'uscita a $v(t)=\delta(t)-2e^{-2t}u(t)$

$v=\delta-2x$ è combinazione lineare di $\delta$ (la cui risposta è $h$) e di $x$ (la cui risposta è $y$). Per linearità: $$S[v]=h-2y=2\delta(t)+u(t)\left[2+2\cos3t-3\sin3t\right]-2\left[1+\cos3t\right]u(t)=2\delta(t)-3\sin(3t)\,u(t).$$ $$\boxed{S[v](t)=2\delta(t)-3\sin(3t)\,u(t).}$$ Verifica con Laplace: $V(s)=1-\frac2{s+2}=\frac{s}{s+2}$ e $H V=\frac{(s+2)(2s^2+9)}{s(s^2+9)}\cdot\frac s{s+2}=\frac{2s^2+9}{s^2+9}=2-\frac9{s^2+9}$, che si antitrasforma in $2\delta(t)-3\sin(3t)u(t)$ (perché $\frac9{s^2+9}=3\cdot\frac3{s^2+9}\leftrightarrow3\sin3t$) ✓. Il risultato è anche più semplice: l'ingresso $v$ ha eliminato il polo in $s=0$ e il fattore $(s+2)$, lasciando solo i poli $\pm3j$.

Errori comuni

• Dimenticare di semplificare $(s+2)$ con $X(s)$ e lasciare un calcolo inutilmente lungo; oppure non riconoscere $(s+2)(2s^2+9)$ nel numeratore.
• Scrivere l'equazione con coefficienti in ordine inverso: $y'''+9y'$ ha il coefficiente di $y''$ e $y$ nulli ($a_2=a_0=0$).
• Dire che il sistema è stabile perché i poli "non hanno parte reale positiva": serve parte reale strettamente negativa.
• Dimenticare il termine $2\delta(t)$ in $h$ (grado uguale).
• Calcolare $S[v]$ con la convoluzione con $v$ invece di usare la linearità.