Salta al contenuto
Note per Studenti Esercizio 11 · risposta impulsiva modulata e risposta al gradino (tema d'esame febbraio 2024)

Esercizio 11risposta impulsiva modulata e risposta al gradino (tema d'esame febbraio 2024)

Esame
In questa pagina 5

Testo (tema d'esame febbraio 2024, esercizio 2, 7 punti). Sia h(t)=−2cos⁡(3πt)⋅rect⁡(t)h(t)=-2\cos(3\pi t)\cdot\operatorname{rect}(t) la risposta impulsiva di un sistema LTI a tempo continuo LL.

  1. Discutere la causalità e la stabilità di LL.
  2. Calcolare H(ω)H(\omega), cioè la risposta in frequenza di LL. Tale funzione ha supporto finito?
  3. Determinare l'uscita del sistema quando l'ingresso è x(t)=cos⁡(3πt)x(t)=\cos(3\pi t).
  4. Determinare la risposta indiciale di LL, cioè il segnale y(t)=h∗u(t)y(t)=h*u(t).

Teoria usata: Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTIPer un sistema LTI le proprietà si leggono sulla risposta impulsiva $h$: causale se $h$ è nulla per $t<0$; reale se $h$ è reale; statico se $h=K\delta$; BIBO stabile se e solo se $h$ è assolutamente integrabile (sommabile nel discreto). Serie e parallelo corrispondono a $h_1h_2$ e $h_1+h_2$.Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTI →, Proprietà della trasformata di FourierCon le proprietà (linearità, simmetrie, ritardo $\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}$, modulazione $\leftrightarrow$ traslazione in frequenza, scala, dualità, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $E=\frac1{2\pi}\int|X|^2$, derivata $\leftrightarrow j\omega$, moltiplicazione per $t\leftrightarrow j,d/d\omega$, integrazione) quasi tutte le trasformate si ottengono da poche coppie base senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →, Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidaleGli esponenziali complessi $e^{j\omega t}$ sono autofunzioni dei sistemi LTI stabili: escono moltiplicati per la risposta in frequenza $H(\omega)=\int h(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau$. Per un sistema reale, $A\cos(\omega_0t+\varphi)$ esce come $A|H(\omega_0)|\cos(\omega_0t+\varphi+\arg H(\omega_0))$: la frequenza non cambia, cambiano ampiezza e fase.Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidale →, Sistemi LTI, risposta impulsiva e convoluzioneUn sistema lineare tempo-invariante (LTI) è completamente descritto dalla sua risposta impulsiva $h=\Sigma[\delta]$: l'uscita è la convoluzione $y=xh$, cioè $y(t)=\int x(u)h(t-u)du$ (somma $\sum_k x(k)h(n-k)$ nel discreto). Il teorema discende da linearità e tempo-invarianza applicate alla scomposizione del segnale in impulsi.Sistemi LTI, risposta impulsiva e convoluzione →.

Grafico interattivo: Risposta impulsiva h(t) = −2cos(3πt)·rect(t): un'oscillazione di durata 1 (supporto (−1/2, 1/2)), con valori da −2 a 1

(1) Causalità e stabilità

rect⁡(t)\operatorname{rect}(t) vale 11 per ∣t∣<12|t|<\frac12: hh ha supporto (−12,12)\left(-\frac12,\frac12\right), nonnullo per t<0t<0 ⇒ sistema non causale. Inoltre ∣h(t)∣≤2|h(t)|\le2 su un intervallo di lunghezza 11, quindi ∫∣h∣≤2<∞\int|h|\le2<\infty, h∈L1h\in L^1 ⇒ sistema stabile.

(2) Risposta in frequenza

Il coseno modula rect⁡\operatorname{rect} (Proprietà della trasformata di FourierCon le proprietà (linearità, simmetrie, ritardo $\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}$, modulazione $\leftrightarrow$ traslazione in frequenza, scala, dualità, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $E=\frac1{2\pi}\int|X|^2$, derivata $\leftrightarrow j\omega$, moltiplicazione per $t\leftrightarrow j,d/d\omega$, integrazione) quasi tutte le trasformate si ottengono da poche coppie base senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →): cos⁡(ω0t)x(t)↔12[X(ω−ω0)+X(ω+ω0)]\cos(\omega_0t)x(t)\leftrightarrow\frac12\left[X(\omega-\omega_0)+X(\omega+\omega_0)\right]. Con x=rect⁡↔sinc⁡(ω2π)x=\operatorname{rect}\leftrightarrow\operatorname{sinc}\left(\frac\omega{2\pi}\right) e ω0=3π\omega_0=3\pi: H(ω)=−2⋅12[sinc⁡(ω−3π2π)+sinc⁡(ω+3π2π)]=−[sinc⁡(ω−3π2π)+sinc⁡(ω+3π2π)].H(\omega)=-2\cdot\frac12\left[\operatorname{sinc}\left(\frac{\omega-3\pi}{2\pi}\right)+\operatorname{sinc}\left(\frac{\omega+3\pi}{2\pi}\right)\right]=-\left[\operatorname{sinc}\left(\frac{\omega-3\pi}{2\pi}\right)+\operatorname{sinc}\left(\frac{\omega+3\pi}{2\pi}\right)\right]. HH è la somma di due sinc⁡\operatorname{sinc} (cambiati di segno) centrati in ±3π\pm3\pi: non ha supporto finito (un segnale a durata limitata ha banda illimitata: sinc⁡\operatorname{sinc} non si annulla identicamente). In ω=0\omega=0 (il sinc⁡\operatorname{sinc} è pari) vale H(0)=−2sinc⁡(32)=−2⋅sin⁡(3π/2)3π/2=−2⋅−13π/2=43πH(0)=-2\operatorname{sinc}\left(\frac32\right)=-2\cdot\frac{\sin(3\pi/2)}{3\pi/2}=-2\cdot\frac{-1}{3\pi/2}=\frac{4}{3\pi}, che è l'area di hh: ∫−1/21/2−2cos⁡3πt dt=−23π[sin⁡3πt]−1/21/2=−23π(−1−1)=43π\int_{-1/2}^{1/2}-2\cos3\pi t\,dt=-\frac{2}{3\pi}\left[\sin3\pi t\right]_{-1/2}^{1/2}=-\frac2{3\pi}(-1-1)=\frac4{3\pi} ✓.

(3) Uscita a x=cos⁡(3πt)x=\cos(3\pi t)

L'ingresso è una sinusoide di pulsazione ω0=3π\omega_0=3\pi (Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidaleGli esponenziali complessi $e^{j\omega t}$ sono autofunzioni dei sistemi LTI stabili: escono moltiplicati per la risposta in frequenza $H(\omega)=\int h(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau$. Per un sistema reale, $A\cos(\omega_0t+\varphi)$ esce come $A|H(\omega_0)|\cos(\omega_0t+\varphi+\arg H(\omega_0))$: la frequenza non cambia, cambiano ampiezza e fase.Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidale →): H(3π)=−[sinc⁡(0)+sinc⁡(3)]=−[1+0]=−1,H(3\pi)=-\left[\operatorname{sinc}(0)+\operatorname{sinc}(3)\right]=-\left[1+0\right]=-1, perché sinc⁡(3π−3π2π)=sinc⁡(0)=1\operatorname{sinc}\left(\frac{3\pi-3\pi}{2\pi}\right)=\operatorname{sinc}(0)=1 e sinc⁡(6π2π)=sinc⁡(3)=sin⁡3π3π=0\operatorname{sinc}\left(\frac{6\pi}{2\pi}\right)=\operatorname{sinc}(3)=\frac{\sin3\pi}{3\pi}=0. Quindi ∣H(3π)∣=1|H(3\pi)|=1 e arg⁡H(3π)=π\arg H(3\pi)=\pi (numero reale negativo): h∗x(t)=∣H(3π)∣cos⁡(3πt+arg⁡H(3π))=cos⁡(3πt+π)=−cos⁡(3πt).h*x(t)=|H(3\pi)|\cos\left(3\pi t+\arg H(3\pi)\right)=\cos(3\pi t+\pi)=-\cos(3\pi t). (Verificato numericamente: H(3π)=−1,0000H(3\pi)=-1{,}0000.)

(4) Risposta indiciale

y(t)=h∗u(t)=∫−∞th(τ) dτy(t)=h*u(t)=\int_{-\infty}^th(\tau)\,d\tau (Sistemi LTI, risposta impulsiva e convoluzioneUn sistema lineare tempo-invariante (LTI) è completamente descritto dalla sua risposta impulsiva $h=\Sigma[\delta]$: l'uscita è la convoluzione $y=x*h$, cioè $y(t)=\int x(u)h(t-u)du$ (somma $\sum_k x(k)h(n-k)$ nel discreto). Il teorema discende da linearità e tempo-invarianza applicate alla scomposizione del segnale in impulsi.Sistemi LTI, risposta impulsiva e convoluzione →): l'integrale cumulativo di hh. Tre casi in base a dove sta tt rispetto al supporto (−12,12)\left(-\frac12,\frac12\right):

  • t<−12t<-\frac12: y(t)=0y(t)=0 (hh è ancora nulla).
  • −12<t<12-\frac12<t<\frac12: y(t)=∫−1/2t−2cos⁡(3πτ) dτ=−23π[sin⁡(3πτ)]−1/2t=−23π[sin⁡(3πt)−sin⁡(−3π2)]y(t)=\int_{-1/2}^t-2\cos(3\pi\tau)\,d\tau=-\frac{2}{3\pi}\left[\sin(3\pi\tau)\right]_{-1/2}^{t}=-\frac2{3\pi}\left[\sin(3\pi t)-\sin\left(-\frac{3\pi}2\right)\right]. Poiché sin⁡(−3π2)=+1\sin\left(-\frac{3\pi}2\right)=+1: y(t)=23π(1−sin⁡(3πt)).y(t)=\frac{2}{3\pi}\left(1-\sin(3\pi t)\right).
  • t>12t>\frac12: y(t)=∫−1/21/2h=−23π[sin⁡3π2−sin⁡(−3π2)]=−23π(−1−1)=43πy(t)=\int_{-1/2}^{1/2}h=-\frac{2}{3\pi}\left[\sin\frac{3\pi}2-\sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right)\right]=-\frac{2}{3\pi}(-1-1)=\frac{4}{3\pi} (costante, l'area di hh).

y(t)={0t<−1223π(1−sin⁡3πt)−12<t<1243πt>12y(t)=\begin{cases}0&t<-\frac12\\[2pt]\frac{2}{3\pi}\left(1-\sin3\pi t\right)&-\frac12<t<\frac12\\[2pt]\frac4{3\pi}&t>\frac12\end{cases} Controlli. Continuità: in t=−12t=-\frac12: 23π(1−sin⁡(−3π2))=23π(1−1)=0\frac2{3\pi}\left(1-\sin\left(-\frac{3\pi}2\right)\right)=\frac2{3\pi}(1-1)=0 ✓; in t=12t=\frac12: 23π(1−sin⁡3π2)=23π⋅2=43π\frac{2}{3\pi}\left(1-\sin\frac{3\pi}2\right)=\frac2{3\pi}\cdot2=\frac4{3\pi} ✓. Il valore finale 43π≈0,4244\frac4{3\pi}\approx0{,}4244 è l'area di hh, cioè H(0)H(0) ✓. Derivata: y′(t)=−23π⋅3πcos⁡(3πt)=−2cos⁡(3πt)=h(t)y'(t)=-\frac{2}{3\pi}\cdot3\pi\cos(3\pi t)=-2\cos(3\pi t)=h(t) ✓. (Integrazione numerica: y(−0,25)=0,36233y(-0{,}25)=0{,}36233 contro 0,362260{,}36226; y(0)=0,21211y(0)=0{,}21211 contro 0,212210{,}21221; y(0,5)=0,42441y(0{,}5)=0{,}42441 contro 0,424410{,}42441.)

Grafico interattivo: Risposta indiciale s(t) = h∗u(t): nulla per t < −1/2, (2/3π)(1−sin 3πt) in (−1/2, 1/2), costante 4/(3π) ≈ 0,424 per t > 1/2

Errori comuni

  • Sbagliare il segno di sin⁡(−3π2)\sin\left(-\frac{3\pi}2\right): vale +1+1 (e quindi y=23π(1−sin⁡3πt)y=\frac{2}{3\pi}(1-\sin3\pi t) e non (−1−sin⁡…)(-1-\sin\ldots)).
  • Dire "causale" perché hh è un'onda: il supporto è simmetrico attorno a 00.
  • Valutare H(3π)H(3\pi) dimenticando la seconda replica del sinc (qui vale sinc⁡(3)=0\operatorname{sinc}(3)=0, ma in generale va inclusa).
  • Concludere che HH ha supporto finito perché "è una combinazione di cose finite": il sinc ha supporto infinito.

Versione ripasso

Testo. h=−2cos⁡(3πt)rect⁡(t)h=-2\cos(3\pi t)\operatorname{rect}(t): causalità/stabilità, HH (supporto finito?), uscita a cos⁡3πt\cos3\pi t, risposta indiciale (febbraio 2024).

Teoria collegata