Proprietà della trasformata di Laplace

Sia $x(t)\leftrightarrow X(s)$ con ROC $R$ (Trasformata di Laplace - definizione e regione di convergenzaLa trasformata di Laplace (bilatera) $X(s)=\int x(t)e^{-st}dt$, con $s=\sigma+j\omega$, generalizza la TF a segnali che non stanno in $L^1$. Esiste solo nella regione di convergenza (ROC), una striscia verticale ${\sigma_1<\mathrm{Re},s<\sigma_2}$ (semipiano destro se il segnale è causale, sinistro se anticausale): la stessa espressione di $X(s)$ con ROC diverse corrisponde a segnali diversi. La TF è $X(s)$ calcolata sull'asse immaginario, se questo sta nella ROC.Trasformata di Laplace - definizione e regione di convergenza →). Le proprietà seguono dalla definizione $X(s)=\int x(t)e^{-st}dt$ con cambi di variabile, e sono analoghe a quelle della TF (Proprietà della trasformata di FourierCon le proprietà (linearità, simmetrie, ritardo $\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}$, modulazione $\leftrightarrow$ traslazione in frequenza, scala, dualità, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $E=\frac1{2\pi}\int|X|^2$, derivata $\leftrightarrow j\omega$, moltiplicazione per $t\leftrightarrow j,d/d\omega$, integrazione) quasi tutte le trasformate si ottengono da poche coppie base senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →) con $s$ al posto di $j\omega$.

Tabella

Dimostrazioni e commenti

• Ritardo. Con $u=t-t_0$: $\int x(t-t_0)e^{-st}dt=\int x(u)e^{-s(u+t_0)}du=e^{-st_0}X(s)$. Sull'asse immaginario è $e^{-j\omega t_0}$, come in Fourier.
• Modulazione esponenziale. $\int e^{s_0t}x(t)e^{-st}dt=\int x(t)e^{-(s-s_0)t}dt=X(s-s_0)$. Moltiplicare per $e^{s_0t}$ trasla la trasformata e sposta la ROC di $\mathrm{Re}\,s_0$ (lo spettro si "sposta" in orizzontale per la parte reale, in verticale per la parte immaginaria: $\mathrm{Im}\,s_0$ corrisponde a una modulazione in frequenza).
• Ribaltamento. Con $u=-t$: $\int x(-t)e^{-st}dt=\int x(u)e^{su}du=X(-s)$, con ROC specchiata rispetto all'asse immaginario: un segnale causale diventa anticausale. Esempio: $e^{-t}u(t)\leftrightarrow\frac{1}{s+1}$ ($\mathrm{Re}\,s>-1$); $e^{t}u(-t)$ ha trasformata $\frac{1}{-s+1}=-\frac{1}{s-1}$ con $\mathrm{Re}\,s<1$ ✓.
• Scala. Con $u=at$ (per $a>0$): $\int x(at)e^{-st}dt=\frac1a\int x(u)e^{-(s/a)u}du$.
• Derivata in $s$. $\frac{dX}{ds}=\int x(t)(-t)e^{-st}dt=-\mathcal L[t\,x(t)]$. Applicandola ripetutamente a $\frac{1}{s-s_0}$: $t\,e^{s_0t}u\leftrightarrow\frac1{(s-s_0)^2}$, e in generale $\frac{t^k}{k!}e^{s_0t}u\leftrightarrow\frac{1}{(s-s_0)^{k+1}}$. È l'origine dei termini $t^ke^{pt}$ per poli multipli.
• Derivata nel tempo. Integrando per parti: $\int x'(t)e^{-st}dt=\left[x\,e^{-st}\right]_{-\infty}^{+\infty}+s\int xe^{-st}dt=sX(s)$ (i termini di bordo spariscono nella ROC). Per segnali con discontinuità vale la derivata generalizzata (Delta di Dirac e derivate generalizzateLa delta di Dirac $\delta(t)$ è l'impulso ideale: area 1 concentrata in un punto, definita dalla proprietà rivelatrice $\int x(t)\delta(t-t_0)dt = x(t_0)$. Nel discreto la delta di Kronecker vale 1 in $n=0$. La derivata (generalizzata) di un salto di ampiezza $\Delta$ contiene una delta di area $\Delta$; così si derivano i segnali a tratti.Delta di Dirac e derivate generalizzate →): per esempio $u'=\delta\leftrightarrow s\cdot\frac1s=1$ ✓ e $\delta'\leftrightarrow s$. La ROC può allargarsi se $sX(s)$ semplifica un polo in $s=0$.
• Integrazione. $\int_{-\infty}^tx=x*u$, e $u\leftrightarrow\frac1s$ ($\mathrm{Re}\,s>0$): per la convoluzione si ottiene $\frac{X(s)}s$.
• Convoluzione. Come in Fourier: $\int\!\!\int x(u)y(t-u)du\,e^{-st}dt=X(s)Y(s)$. La ROC è almeno l'intersezione delle due, ma può essere più grande se un polo di $X$ è cancellato da uno zero di $Y$. È la proprietà principale: un sistema LTI con $Y=H\cdot X$ (funzione di trasferimento $H$).

Teoremi del valore iniziale e finale (per segnali causali, con la trasformata unilatera). Se $x$ è causale, senza impulsi in $t=0$: $$x(0^+)=\lim_{s\to\infty}sX(s),\qquad\lim_{t\to\infty}x(t)=\lim_{s\to0}sX(s),$$ il secondo valido se tutti i poli di $sX(s)$ hanno parte reale negativa (se no il limite nel tempo non esiste). Esempio: $X(s)=\frac{s+3}{(s+1)(s+2)}$: $\lim_{s\to\infty}sX=1$ (valore iniziale $x(0^+)=1$) e $\lim_{s\to0}sX=0$ (il segnale tende a zero). Si verifica: $X=\frac{2}{s+1}-\frac1{s+2}$, $x(t)=(2e^{-t}-e^{-2t})u(t)$, $x(0^+)=1$, $x(\infty)=0$ ✓.

Esempi svolti

1. Il ritardo con esponenziale (tema d'esame giugno 2025, Esercizio 4 · derivata generalizzata e trasformata di un segnale a tratti (tema d'esame giugno 2025) usa la stessa idea per Fourier). Se $x(t)=e^{-4t}u(t)\leftrightarrow\frac1{s+4}$ ($\mathrm{Re}\,s>-4$) e $v(t)=2e^{-4(t-5)}u(t-5)=2x(t-5)$, allora $V(s)=\frac{2e^{-5s}}{s+4}$ con la stessa ROC. Per un sistema LTI con funzione di trasferimento $H$ (tempo-invariante) l'uscita a $v$ è $2y(t-5)$ se $y$ è l'uscita a $x$: si risparmia il calcolo.

2. Convoluzioni di esponenziali (tema d'esame gennaio 2024). Siano $x(t)=e^{-at}u(t)$ e $y(t)=e^{-bt}u(t)$, $X=\frac1{s+a}$, $Y=\frac1{s+b}$.

• $v=x*x$: $V(s)=\frac1{(s+a)^2}\Rightarrow v(t)=t\,e^{-at}u(t)$ (polo doppio: modo $te^{-at}$).
• $w=x*y$ con $a\ne b$: $W(s)=\frac1{(s+a)(s+b)}$. Con i fratti semplici $\frac{1}{(s+a)(s+b)}=\frac1{b-a}\left[\frac1{s+a}-\frac1{s+b}\right]$ si ottiene $$w(t)=\frac{e^{-at}-e^{-bt}}{b-a}\,u(t).$$
• Stabilità del sistema LTI con $h=w$: $w\in L^1$ se e solo se entrambi $a>0$ e $b>0$ (se uno dei due è $\le 0$ un termine non decade).
• Risposta al gradino: $Y_s(s)=\frac{W(s)}{s}=\frac{1}{s(s+a)(s+b)}=\frac{A}{s}+\frac B{s+a}+\frac C{s+b}$ con $A=\frac1{ab}$, $B=\frac{1}{a(a-b)}$, $C=\frac1{b(b-a)}$, quindi $$s(t)=\left[\frac1{ab}+\frac{e^{-at}}{a(a-b)}+\frac{e^{-bt}}{b(b-a)}\right]u(t).$$ (Coefficienti e antitrasformata verificati con calcolo simbolico.) Con $a=1$, $b=2$: $s(t)=\left[\frac12-e^{-t}+\frac12e^{-2t}\right]u(t)$, che vale $0$ in $t=0$ e tende a $\frac12=\frac1{ab}$.

3. Modulazione. $e^{-2t}\cos(3t)u(t)\leftrightarrow\frac{s+2}{(s+2)^2+9}$, applicando $s\to s+2$ alla trasformata del coseno $\frac{s}{s^2+9}$ (Trasformata di Laplace - definizione e regione di convergenzaLa trasformata di Laplace (bilatera) $X(s)=\int x(t)e^{-st}dt$, con $s=\sigma+j\omega$, generalizza la TF a segnali che non stanno in $L^1$. Esiste solo nella regione di convergenza (ROC), una striscia verticale ${\sigma_1<\mathrm{Re},s<\sigma_2}$ (semipiano destro se il segnale è causale, sinistro se anticausale): la stessa espressione di $X(s)$ con ROC diverse corrisponde a segnali diversi. La TF è $X(s)$ calcolata sull'asse immaginario, se questo sta nella ROC.Trasformata di Laplace - definizione e regione di convergenza →).

4. Integrazione. $e^{-at}u\leftrightarrow\frac1{s+a}$; la sua somma corrente è $\int_0^te^{-a\tau}d\tau=\frac{1-e^{-at}}{a}$ e la trasformata $\frac1{s(s+a)}=\frac1a\left[\frac1s-\frac1{s+a}\right]$ ✓.

Errori comuni

• Dimenticare di cambiare la ROC (specchiata nel ribaltamento, spostata nella modulazione).
• Scrivere $e^{-st_0}$ con il segno sbagliato nel ritardo (un ritardo di $t_0>0$ dà $e^{-st_0}$).
• Dimenticare il segno meno nella derivata in $s$ ($tx\leftrightarrow-X'$).
• Usare il teorema del valore finale quando ci sono poli con parte reale non negativa.