Esercizio 4derivata generalizzata e trasformata di un segnale a tratti (tema d'esame giugno 2025)

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Teoria usata: Segnali - supporto, area, valor medio, energia e potenzaUn segnale è una funzione del tempo (continuo $t$ o discreto $n$). Si descrive con pochi numeri: estensione, area, valor medio, energia $\int|x|^2$ e potenza (energia media). Energia finita implica potenza nulla; potenza finita non nulla implica energia infinita; per i segnali periodici tutto si calcola su un periodo.Segnali - supporto, area, valor medio, energia e potenza →, Spazi di segnali L1, L2 e L-infinitoGli spazi $L^1$ (area del modulo finita), $L^2$ (energia finita) e $L^\infty$ (segnale limitato) classificano i segnali e dicono quali teoremi si possono usare: $L^1$ per l'esistenza della trasformata di Fourier e la stabilità BIBO, $L^2$ per Parseval. Nel discreto valgono le inclusioni $\ell^1 \subset \ell^2 \subset \ell^\infty$, nel continuo no.Spazi di segnali L1, L2 e L-infinito →, Delta di Dirac e derivate generalizzateLa delta di Dirac $\delta(t)$ è l'impulso ideale: area 1 concentrata in un punto, definita dalla proprietà rivelatrice $\int x(t)\delta(t-t_0)dt = x(t_0)$. Nel discreto la delta di Kronecker vale 1 in $n=0$. La derivata (generalizzata) di un salto di ampiezza $\Delta$ contiene una delta di area $\Delta$; così si derivano i segnali a tratti.Delta di Dirac e derivate generalizzate →, Proprietà della trasformata di FourierCon le proprietà (linearità, simmetrie, ritardo $\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}$, modulazione $\leftrightarrow$ traslazione in frequenza, scala, dualità, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $E=\frac1{2\pi}\int|X|^2$, derivata $\leftrightarrow j\omega$, moltiplicazione per $t\leftrightarrow j,d/d\omega$, integrazione) quasi tutte le trasformate si ottengono da poche coppie base senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →, Trasformata di Fourier di segnali periodici e generalizzatiCon le delta di Dirac in frequenza si trasformano anche segnali non integrabili: $1\leftrightarrow2\pi\delta(\omega)$, $e^{j\omega_0t}\leftrightarrow2\pi\delta(\omega-\omega_0)$, $\cos\omega_0t\leftrightarrow\pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]$, $u(t)\leftrightarrow\pi\delta(\omega)+\frac1{j\omega}$. Un segnale periodico con coefficienti $a_k$ ha spettro a righe $2\pi\sum a_k\delta(\omega-k\omega_0)$: la periodizzazione nel tempo è un campionamento in frequenza.Trasformata di Fourier di segnali periodici e generalizzati →.

(1) Energia, potenza, norma $L^1$, spazi

$$E_x=\int|x|^2dt=\int_{-1}^{0}(t+1)^2dt+\int_0^11\,dt=\left[\frac{(t+1)^3}3\right]_{-1}^0+1=\frac13+1=\frac43.$$ $$\|x\|_1=\int_{-1}^0(t+1)\,dt+\int_0^11\,dt=\frac12+1=\frac32.$$ (Il primo integrale è l'area del triangolo di base $1$ e altezza $1$.) L'energia è finita, quindi la potenza è nulla: $P_x=\lim_{T\to\infty}\frac1T\int_{-T/2}^{T/2}|x|^2=\lim\frac{E_x}{T}=0$. Poiché $\|x\|_1<\infty$, $E_x<\infty$ e $x$ è limitato ($\max=1$): $x$ appartiene a $L^1$, $L^2$ e $L^\infty$ (segnale limitato a supporto limitato).

(2) La derivata generalizzata

Regola (Delta di Dirac e derivate generalizzateLa delta di Dirac $\delta(t)$ è l'impulso ideale: area 1 concentrata in un punto, definita dalla proprietà rivelatrice $\int x(t)\delta(t-t_0)dt = x(t_0)$. Nel discreto la delta di Kronecker vale 1 in $n=0$. La derivata (generalizzata) di un salto di ampiezza $\Delta$ contiene una delta di area $\Delta$; così si derivano i segnali a tratti.Delta di Dirac e derivate generalizzate →): derivata ordinaria nei tratti in cui $x$ è derivabile, più un impulso in ogni salto, di area uguale all'ampiezza del salto.

• $t<-1$: $x=0$, derivata $0$.
• $-1<t<0$: $x=t+1$, derivata $1$.
• $0<t<1$: $x=1$, derivata $0$.
• $t>1$: $x=0$, derivata $0$.
• In $t=-1$ il segnale è continuo (vale $0$ da entrambe le parti): nessun impulso. In $t=0$ è continuo (i limiti valgono entrambi $1$): nessun impulso, solo un cambio di pendenza. In $t=1$ c'è un salto da $1$ a $0$, ampiezza $-1$: compare l'impulso $-\delta(t-1)$.

Quindi, ricordando che $\operatorname{rect}\left(t+\frac12\right)$ vale $1$ per $-1<t<0$: $$y(t)=\operatorname{rect}\left(t+\tfrac12\right)-\delta(t-1).$$ $$\int_{-\infty}^{+\infty}y(t)\,dt=\underbrace{1}_{\text{area del rect}}-\underbrace{1}_{\text{area della }\delta}=0.$$ Lo si legge anche come $\lim_{T\to\infty}x(T)-\lim_{T\to-\infty}x(T)=0-0$ (l'integrale della derivata è la variazione del segnale).

(3) La TF di $y$

Si usano $\operatorname{rect}(t)\leftrightarrow\operatorname{sinc}\left(\frac\omega{2\pi}\right)$, il ritardo/anticipo ($x(t+t_0)\leftrightarrow X(\omega)e^{j\omega t_0}$) e $\delta(t-1)\leftrightarrow e^{-j\omega}$: $$\operatorname{rect}\left(t+\tfrac12\right)\leftrightarrow\operatorname{sinc}\left(\frac\omega{2\pi}\right)e^{j\omega/2},\qquad\delta(t-1)\leftrightarrow e^{-j\omega}.$$ $$\boxed{Y(\omega)=\operatorname{sinc}\left(\frac\omega{2\pi}\right)e^{j\omega/2}-e^{-j\omega}.}$$ Verifica: $Y(0)=1-1=0$, coerente con $\int y=0$.

(4) La TF di $x$

Poiché $x=u*y$ e la convoluzione diventa prodotto (Proprietà della trasformata di FourierCon le proprietà (linearità, simmetrie, ritardo $\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}$, modulazione $\leftrightarrow$ traslazione in frequenza, scala, dualità, convoluzione $\leftrightarrow$ prodotto, Parseval $E=\frac1{2\pi}\int|X|^2$, derivata $\leftrightarrow j\omega$, moltiplicazione per $t\leftrightarrow j,d/d\omega$, integrazione) quasi tutte le trasformate si ottengono da poche coppie base senza integrare.Proprietà della trasformata di Fourier →): $$X(\omega)=\left[\pi\delta(\omega)+\frac1{j\omega}\right]Y(\omega)=\pi\,Y(\omega)\,\delta(\omega)+\frac{Y(\omega)}{j\omega}.$$ Il prodotto di $Y$ (continua) per $\delta(\omega)$ vale $Y(0)\delta(\omega)$ (proprietà rivelatrice), e $Y(0)=0$: il termine con la delta scompare. Resta $$\boxed{X(\omega)=\frac{Y(\omega)}{j\omega}=\frac{\operatorname{sinc}\left(\frac\omega{2\pi}\right)e^{j\omega/2}-e^{-j\omega}}{j\omega}.}$$ La singolarità apparente in $\omega=0$ è eliminabile (numeratore e denominatore si annullano): il limite vale $X(0)=\frac32=\int x$. Si vede con lo sviluppo $\operatorname{sinc}\left(\frac\omega{2\pi}\right)e^{j\omega/2}\approx\left(1-\frac{\omega^2}{24}\right)\left(1+\frac{j\omega}2\right)\approx1+\frac{j\omega}{2}$ e $e^{-j\omega}\approx1-j\omega$: numeratore $\approx\frac{3}{2}j\omega$, quindi $X(0)=\frac32$ ✓, uguale all'area $\|x\|_1$ trovata al punto 1 (perché $x\ge0$).

Controlli numerici. Integrando direttamente $\int x(t)e^{-j\omega t}dt$ si ottiene in $\omega=1{,}3$: $1{,}17463-0{,}36438j$, identico alla formula; in $\omega=5$: $-0{,}16313+0{,}09509j$ per entrambi i metodi.

Errori comuni

• Dimenticare l'impulso $-\delta(t-1)$ nella derivata (e quindi sbagliare l'integrale di $y$, che non sarebbe nullo).
• Mettere un impulso nei punti $t=-1$ e $t=0$ (il segnale è continuo lì: cambia solo la pendenza).
• Antitrasformare $\frac{Y}{j\omega}$ senza controllare il termine $\pi Y(0)\delta(\omega)$ (qui è nullo perché $Y(0)=0$, cioè $x\to0$ a $\pm\infty$).
• Calcolare $E_x$ come $\int x\,dt$ (area) invece di $\int|x|^2dt$.