Sistemi e loro proprietà

Un sistema è una trasformazione $\Sigma$ che a un segnale di ingresso $x$ associa un segnale di uscita $$y = \Sigma[x],\qquad\text{ad esempio } y(t) = \Sigma[x](t).$$ Il sistema opera sull'intero segnale $x$: il valore $y(t)$ in un istante può dipendere dai valori di $x$ in tanti istanti, e non solo in $t$. Quando si scrive $y(t)=\Sigma[x(t)]$ si intende, per comodità, "il valore di $y$ nell'istante $t$".

Classificazione in base ai segnali. Un sistema è continuo se ingresso e uscita sono segnali a tempo continuo (un integratore), discreto se sono a tempo discreto (la somma corrente $y(n)=\sum_{k\le n}x(k)$), ibrido se cambia la natura del segnale: il campionatore ($x(t)\to x(nT_c)$, da continuo a discreto) e l'interpolatore (da discreto a continuo, vedi Teorema del campionamento, interpolazione e aliasingTeorema di Shannon: un segnale a banda limitata $\omega_M$ si ricostruisce esattamente dai campioni se $T_c<\pi/\omega_M$ (frequenza di campionamento maggiore di quella di Nyquist $2f_{\max}$), con la formula di interpolazione ideale $x(t)=\sum_nx(nT_c)\operatorname{sinc}\left(\frac{t-nT_c}{T_c}\right)$. Sotto Nyquist c'è aliasing: le frequenze alte si confondono con quelle basse e l'informazione è persa.Teorema del campionamento, interpolazione e aliasing →).

Lo scopo della nota è imparare a classificare un sistema dalla sua legge ingresso-uscita. Il grosso del corso riguarderà la classe più semplice, i sistemi lineari tempo-invarianti (Sistemi LTI, risposta impulsiva e convoluzioneUn sistema lineare tempo-invariante (LTI) è completamente descritto dalla sua risposta impulsiva $h=\Sigma[\delta]$: l'uscita è la convoluzione $y=x*h$, cioè $y(t)=\int x(u)h(t-u)du$ (somma $\sum_k x(k)h(n-k)$ nel discreto). Il teorema discende da linearità e tempo-invarianza applicate alla scomposizione del segnale in impulsi.Sistemi LTI, risposta impulsiva e convoluzione →).

Memoria e causalità

Il valore dell'uscita nell'istante $t$ può dipendere dal passato dell'ingresso ($x$ in $(-\infty,t)$), dal presente ($x(t)$) e dal futuro ($x$ in $(t,+\infty)$).

• Statico (senza memoria, istantaneo): $y(t)$ dipende solo da $x(t)$, cioè $y(t)=f(x(t))$ — eventualmente anche dall'istante $t$ come parametro. Esempi: $y = x^2$, $y=|x|$, $y=3x$.
• Dinamico (con memoria): $y(t)$ dipende anche da altri istanti.
• Causale: $y(t)$ dipende solo da $x$ nel passato e nel presente, cioè da $x(\tau)$ con $\tau\le t$. È l'unica classe realizzabile in tempo reale (non si può usare un dato che non è ancora arrivato). Anticausale: dipende solo da presente e futuro. Non causale: dipende sia dal passato sia dal futuro (o da un futuro anche solo in parte).
• A memoria finita: dipende solo da $x$ in un intervallo limitato, come la media mobile.

Ogni sistema statico è causale (usa solo il presente). Tipici sistemi dinamici: il ritardo $y(t) = x(t-t_0)$ con $t_0>0$ (causale), l'anticipo $y(t)=x(t+t_0)$ con $t_0>0$ (non causale), l'integratore $y(t)=\int_{-\infty}^tx(\tau)d\tau$ (causale), la media mobile $y(t) = \frac1{2T}\int_{t-T}^{t+T}x(\tau)\,d\tau$ (non causale: usa il futuro fino a $t+T$).

Linearità

Un sistema è lineare se vale il principio di sovrapposizione degli effetti: per ogni coppia di ingressi $x_1,x_2$ e per ogni coppia di costanti $a,b$, $$\Sigma[a\,x_1+b\,x_2] = a\,\Sigma[x_1]+b\,\Sigma[x_2].$$ Equivale a due condizioni: additività ($\Sigma[x_1+x_2]=\Sigma[x_1]+\Sigma[x_2]$) e omogeneità ($\Sigma[a\,x]=a\,\Sigma[x]$).

Test rapido. Un sistema lineare manda l'ingresso nullo nell'uscita nulla ($a=0$ nell'omogeneità). Quindi se $x\equiv0$ produce $y\not\equiv0$ non è lineare. Per esempio $y(t)=x(t-1)+1$ è un sistema "affine", non lineare: con $x=0$ dà $y=1$.

Esempi.

• $y=x^2$: scegliendo $x_1=x_2=1$ si ha $\Sigma[x_1+x_2]=\Sigma[2]=4$ ma $\Sigma[x_1]+\Sigma[x_2]=1+1=2$. Non lineare (violata l'additività).
• $y=|x|$: con $x_1=1$, $a=-1$: $\Sigma[-x_1]=1\ne-\Sigma[x_1]=-1$. Non lineare (violata l'omogeneità con $a<0$).
• Integratore: $\Sigma[ax_1+bx_2]=\int(ax_1+bx_2)=a\int x_1+b\int x_2$ ✓ lineare.
• $y(t)=t\,x(t)$: $\Sigma[ax_1+bx_2]=t(ax_1+bx_2)=a\,tx_1+b\,tx_2$ ✓ lineare (il fattore $t$ non dipende da $x$).

Tempo-invarianza

Un sistema è tempo-invariante se un ritardo dell'ingresso produce lo stesso ritardo dell'uscita (principio di ripetibilità dell'esperimento: ripetere domani lo stesso esperimento dà lo stesso risultato, traslato di un giorno). Formalmente: se $y(t)=\Sigma[x](t)$ allora per ogni $t_0$ $$\Sigma[x(\cdot-t_0)](t)=y(t-t_0).$$ Il test è sempre lo stesso: si calcolano due quantità e si confrontano.

1. Prima ritardo, poi sistema: nella legge del sistema si sostituisce $x(t)$ con $x(t-t_0)$.
2. Prima sistema, poi ritardo: nell'espressione di $y(t)$ si sostituisce $t$ con $t-t_0$ (ovunque compaia $t$, anche fuori da $x$).

Se i due risultati coincidono per ogni $x$ il sistema è tempo-invariante.

Esempio TI: la media mobile. $y(t) = \frac1{2T}\int_{t-T}^{t+T}x(u)\,du$. (2) $y(t-t_0)=\frac1{2T}\int_{t-t_0-T}^{t-t_0+T}x(u)\,du$. (1) Il sistema applicato a $x(\cdot-t_0)$: $\frac1{2T}\int_{t-T}^{t+T}x(u-t_0)\,du$, e con il cambio di variabile $v=u-t_0$ gli estremi diventano $t-T-t_0$ e $t+T-t_0$: $\frac1{2T}\int_{t-t_0-T}^{t-t_0+T}x(v)\,dv$. Uguale a (2): TI.

Esempio non TI: $y(t)=t\,x(t)$. (1) $\Sigma[x(\cdot-t_0)](t)=t\,x(t-t_0)$. (2) $y(t-t_0)=(t-t_0)\,x(t-t_0)$. Differiscono (per $t_0\ne0$): non TI. L'ingrediente che rompe la tempo-invarianza è il coefficiente $t$ che dipende dal tempo.

Altri esempi non TI. $y(t)=x(-t)$ (ribaltamento: ritardare l'ingresso anticipa l'uscita); $y(t)=x(2t)$ (cambio di scala); $y(t)=x(t)$ per $t\neq0$ e $x^2(0)$ per $t=0$ (condizione su $t$). Regola pratica: ogni sistema in cui compare esplicitamente $t$ fuori dall'argomento di $x$, o in cui $t$ è moltiplicato per un coefficiente $\ne1$ dentro l'argomento, non è TI.

Stabilità BIBO

Un sistema è BIBO stabile (bounded input, bounded output) se a ogni ingresso limitato in ampiezza, $|x(t)|\le L_x<\infty$, corrisponde un'uscita limitata, $|y(t)|\le L_y<\infty$ (con $L_y$ che può dipendere da $L_x$). Si dimostra con una stima, si nega con un controesempio.

• Stabile: media mobile: $|y(t)|\le\frac1{2T}\int_{t-T}^{t+T}|x|\le\frac{1}{2T}\cdot2T\cdot L_x=L_x$ ✓. La somma di un numero finito di campioni, come $y(n)=x(n)-\frac12x(n-2)-\frac12x(n+2)$, è sempre stabile: $|y|\le2L_x$.
• Non stabile: integratore. L'ingresso limitato $x=u(t)$ dà $y(t)=\int_0^tu=t\,u(t)\to\infty$. Anche $y(t)=t\,x(t)$ è instabile: con $x=1$ si ottiene $y(t)=t$.

Invertibilità e realtà

Un sistema è invertibile se esiste un sistema inverso $\Sigma^{-1}$ tale che $\Sigma^{-1}[\Sigma[x]]=x$ per ogni ingresso $x$ della classe considerata. Il ritardo è invertibile (l'inverso è l'anticipo), l'integratore è invertibile (l'inverso è la derivata), $y=x^2$ no (lo stesso $y$ nasce da $x$ e da $-x$), né $y=|x|$ a meno di ammettere solo ingressi non negativi. L'invertibilità dipende dalla classe di ingressi ammessi.

Un sistema è reale se a ingressi reali corrispondono uscite reali.

Tabella di esempi

Perché $y(t)=x(2t)$ non è causale: per $t>0$ è $2t>t$ e quindi l'uscita guarda nel futuro dell'ingresso. Perché il ribaltamento non è causale: per $t<0$ usa $x(-t)$ con $-t>t$, cioè il futuro.

Connessioni

Due sistemi $\Sigma_1,\Sigma_2$ si combinano in tre modi:

• serie (cascata): $y=\Sigma_2[\Sigma_1[x]]$;
• parallelo: $y=\Sigma_1[x]+\Sigma_2[x]$;
• retroazione: l'uscita viene riportata all'ingresso: $y=\Sigma_1[x-z]$ con $z=\Sigma_2[y]$.

Per i sistemi LTI queste operazioni hanno una forma semplice sia nel tempo (Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTIPer un sistema LTI le proprietà si leggono sulla risposta impulsiva $h$: causale se $h$ è nulla per $t<0$; reale se $h$ è reale; statico se $h=K\delta$; BIBO stabile se e solo se $h$ è assolutamente integrabile (sommabile nel discreto). Serie e parallelo corrispondono a $h_1*h_2$ e $h_1+h_2$.Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTI →) sia in frequenza.

Due segnali speciali

Due ingredienti permetteranno di descrivere un sistema LTI con un solo segnale:

• l'autofunzione: un segnale che il sistema restituisce moltiplicato per una costante, $\Sigma[x]=\lambda x$ ($\lambda$ è l'autovalore). Per i sistemi LTI sono gli esponenziali complessi (Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidaleGli esponenziali complessi $e^{j\omega t}$ sono autofunzioni dei sistemi LTI stabili: escono moltiplicati per la risposta in frequenza $H(\omega)=\int h(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau$. Per un sistema reale, $A\cos(\omega_0t+\varphi)$ esce come $A|H(\omega_0)|\cos(\omega_0t+\varphi+\arg H(\omega_0))$: la frequenza non cambia, cambiano ampiezza e fase.Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidale →);
• la risposta impulsiva $g(t)=\Sigma[\delta](t)$: l'uscita quando l'ingresso è l'impulso ideale (anche $g(n)=\Sigma[\delta](n)$ nel discreto).

Errori comuni

• Verificare la linearità con valori numerici particolari e concludere "lineare": un esempio numerico serve solo per negare.
• Dimenticare che $x(t)=0$ deve dare $y(t)=0$ in un sistema lineare.
• Nel test di tempo-invarianza, sostituire $t\to t-t_0$ solo dentro $x$ e non anche negli altri punti dove compare $t$.
• Dire "statico perché non c'è un integrale": $y(t)=x(t-1)$ non ha integrali ma è dinamico.
• Confondere "non causale" con "anticausale".