Esercizio 9filtro y(n) = x(n) - x(n-2) e ingresso a durata finita (tema d'esame febbraio 2026)

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Teoria usata: Sistemi LTI, risposta impulsiva e convoluzioneUn sistema lineare tempo-invariante (LTI) è completamente descritto dalla sua risposta impulsiva $h=\Sigma[\delta]$: l'uscita è la convoluzione $y=xh$, cioè $y(t)=\int x(u)h(t-u)du$ (somma $\sum_k x(k)h(n-k)$ nel discreto). Il teorema discende da linearità e tempo-invarianza applicate alla scomposizione del segnale in impulsi.Sistemi LTI, risposta impulsiva e convoluzione →, Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTIPer un sistema LTI le proprietà si leggono sulla risposta impulsiva $h$: causale se $h$ è nulla per $t<0$; reale se $h$ è reale; statico se $h=K\delta$; BIBO stabile se e solo se $h$ è assolutamente integrabile (sommabile nel discreto). Serie e parallelo corrispondono a $h_1h_2$ e $h_1+h_2$.Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTI →, Trasformata di Fourier a tempo discreto (TFtd)La TFtd di una sequenza è $X(\omega)=\sum_nx(n)e^{-j\omega n}$, funzione continua e periodica di periodo $2\pi$; si inverte con $x(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(\omega)e^{j\omega n}d\omega$. Ha le stesse proprietà della TF continua (la convoluzione diventa prodotto, $n,x(n)\leftrightarrow jX'$). È la risposta in frequenza dei sistemi discreti; con la TFD e lo zero-padding se ne ottengono campioni arbitrariamente fitti.Trasformata di Fourier a tempo discreto (TFtd) →, Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidaleGli esponenziali complessi $e^{j\omega t}$ sono autofunzioni dei sistemi LTI stabili: escono moltiplicati per la risposta in frequenza $H(\omega)=\int h(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau$. Per un sistema reale, $A\cos(\omega_0t+\varphi)$ esce come $A|H(\omega_0)|\cos(\omega_0t+\varphi+\arg H(\omega_0))$: la frequenza non cambia, cambiano ampiezza e fase.Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidale →, Calcolo della convoluzione e sue proprietàIl supporto della convoluzione è la somma dei supporti, $\operatorname{rect}*\operatorname{rect}=\Lambda$, e due esponenziali causali danno $(e^{-bt}-e^{-at})/(a-b)$. Si calcola con il metodo grafico a casi (ribaltare, traslare, individuare gli intervalli di sovrapposizione). Proprietà: lineare, commutativa, associativa, $\delta$ è l'elemento neutro, la traslazione si somma, l'area è il prodotto delle aree.Calcolo della convoluzione e sue proprietà →.

(1) Risposta impulsiva, stabilità, causalità

Con ingresso $\delta(n)$: $h(n)=\delta(n)-\delta(n-2)$. In valori: $h(0)=1$, $h(1)=0$, $h(2)=-1$, $h(n)=0$ altrove.

• Causale: $h(n)=0$ per $n<0$ (l'uscita usa solo $x(n)$ e $x(n-2)$, presente e passato).
• Stabile: filtro FIR (un numero finito di campioni non nulli), $\sum|h|=|1|+|0|+|-1|=2<\infty$ (Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTIPer un sistema LTI le proprietà si leggono sulla risposta impulsiva $h$: causale se $h$ è nulla per $t<0$; reale se $h$ è reale; statico se $h=K\delta$; BIBO stabile se e solo se $h$ è assolutamente integrabile (sommabile nel discreto). Serie e parallelo corrispondono a $h_1*h_2$ e $h_1+h_2$.Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTI →).

(2) Risposta in frequenza

$$H(\omega)=\sum_nh(n)e^{-j\omega n}=1-e^{-j2\omega}.$$ Si raccoglie il fattore "centrale" $e^{-j\omega}$ (a metà tra i due ritardi $0$ e $2$): $1-e^{-j2\omega}=e^{-j\omega}\left(e^{j\omega}-e^{-j\omega}\right)=e^{-j\omega}\cdot2j\sin\omega$. Quindi $$H(\omega)=2j\,\sin\omega\;e^{-j\omega},\qquad|H(\omega)|=2\,|\sin\omega|.$$ Il modulo è $0$ per $\omega=0$ e $\omega=\pm\pi$, e vale al massimo $2$ per $\omega=\pm\frac\pi2$. Taglia sia le basse frequenze (la continua, $\omega=0$) sia la più alta ($\omega=\pi$) e lascia passare le frequenze intermedie: è un filtro passa-banda (centrato in $\omega=\frac\pi2$, cioè $\nu=\frac14$).

Controllo: $|1-e^{-j2\omega}|^2=2-2\cos2\omega=4\sin^2\omega$ ✓.

(3) Frequenze annullate

L'uscita a $w(n)=A\cos(2\pi\nu n+\varphi)$ è $A\,|H(2\pi\nu)|\cos(\ldots)$ (Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidaleGli esponenziali complessi $e^{j\omega t}$ sono autofunzioni dei sistemi LTI stabili: escono moltiplicati per la risposta in frequenza $H(\omega)=\int h(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau$. Per un sistema reale, $A\cos(\omega_0t+\varphi)$ esce come $A|H(\omega_0)|\cos(\omega_0t+\varphi+\arg H(\omega_0))$: la frequenza non cambia, cambiano ampiezza e fase.Risposta in frequenza e risposta a ingresso sinusoidale →), con $|H(2\pi\nu)|=2|\sin(2\pi\nu)|$. Si annulla se $\sin(2\pi\nu)=0$, cioè $2\pi\nu=k\pi$, $\nu=\frac k2$ ($k$ intero). Nell'intervallo $[0,\frac12]$ restano $\nu=0$ e $\nu=\frac12$: la costante e la sinusoide più veloce $(-1)^n$ (cioè $\omega=0$ e $\omega=\pi$) sono soppresse.

(4) Convoluzione con un ingresso finito

L'ingresso è $x(0)=1$, $x(1)=2$, $x(2)=3$ (tre campioni, supporto $[0,2]$). La risposta impulsiva ha supporto $[0,2]$. Il supporto di $y=x*h$ è $[0+0,\,2+2]=[0,4]$, quindi $3+3-1=5$ campioni (Calcolo della convoluzione e sue proprietàIl supporto della convoluzione è la somma dei supporti, $\operatorname{rect}*\operatorname{rect}=\Lambda$, e due esponenziali causali danno $(e^{-bt}-e^{-at})/(a-b)$. Si calcola con il metodo grafico a casi (ribaltare, traslare, individuare gli intervalli di sovrapposizione). Proprietà: lineare, commutativa, associativa, $\delta$ è l'elemento neutro, la traslazione si somma, l'area è il prodotto delle aree.Calcolo della convoluzione e sue proprietà →).

Si calcola $y(n)=x(n)-x(n-2)$ nel supporto:

• $y(0)=x(0)-x(-2)=1-0=1$;
• $y(1)=x(1)-x(-1)=2-0=2$;
• $y(2)=x(2)-x(0)=3-1=2$;
• $y(3)=x(3)-x(1)=0-2=-2$;
• $y(4)=x(4)-x(2)=0-3=-3$;
• altrove $y(n)=0$.

$$y=(1,\,2,\,2,\,-2,\,-3)\quad\text{per }n=0,\ldots,4.$$ Controlli. (i) La somma di $y$ deve valere $\sum x\cdot\sum h=6\cdot0=0$ (regola dell'area): $1+2+2-2-3=0$ ✓. (ii) Il valore finale coerente col filtro: gli ultimi campioni sono $-x(n-2)$, cioè l'opposto degli ultimi due campioni di $x$ spostati ($-2,-3$) ✓. (Verificato con np.convolve([1,2,3],[1,0,-1]).)

Errori comuni

• Scrivere $H(\omega)=1-e^{-j\omega}$ (ritardo di un campione invece di due).
• Concludere "passa-alto" perché $|H(0)|=0$: ma si annulla anche in $\omega=\pi$ (qui è un passa-banda).
• Dimenticare che $\nu\in[0,\frac12]$ corrisponde a $\omega=2\pi\nu\in[0,\pi]$.
• Calcolare solo $3$ campioni di uscita (la lunghezza è $5$).